Это небольшое приложение покажет, как находятся модули глобальных векторов импульса и силы. На данный момент мы будем использовать классическую массу, зависящую от скорости [1]: \[m = m_0 \gamma, \quad \gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2}, \quad \beta = v/c \qquad (1.1)\] Начнём с глобального вектора импульса, который мы уже получили здесь \[\mathbf{P} = m_0 c \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (1.2)\] и умножим его самого на себя: \[\mathbf{P}\cdot \mathbf{P} = (m_0 c)^2 \gamma^2 \qquad (1.3)\] Отсюда следует, что модуль глобального вектора импульса будет находиться так: \[|\mathbf{P}| = m_0 c \gamma \qquad (1.4)\]

Как известно из курса физики, сила — это производная от импульса по времени: \[\mathbf{F} = {\Bbb{d} \mathbf{P} \over \Bbb{d}t} \qquad (1.5)\] При этом подразумевается, что скорость \(v\) зависит от времени, следовательно: \(\beta = \beta(t)\). Продифференцируем глобальный вектор импульса, и получим глобальный вектор силы (GVF): \[\mathbf{F} = m_0 a \left\{0, \pm 1,\, \pm 2\beta,\, \pm 3\beta^2,\, \ldots,\, \pm n\beta^{n-1} \right\} \qquad (1.6)\] где: \(a = c\beta^{'}_t \) — ускорение. Как мы видим, координата при единичном векторе \(\mathbf{j_0}\) равна нулю, т.е. координата времени не участвует в GVF, что вполне логично.

Формула (1.6) представляет собой второй закон Ньютона [1] для глобального вектора.

Теперь найдём модуль GVF из формулы (1.6). Для этого напомним, что сумма степенного ряда, который получается при скалярном перемножении в этой формуле, находится так: \[\sum \limits_{n=1}^{\infty} n^2 x^{2(n-1)} = {1 + x^2 \over (1 - x^2)^3} \qquad (1.7)\] Модуль любого вектора, в том числе и GVF, находится так: \[|\mathbf{F}| = \sqrt{\mathbf{F}\cdot \mathbf{F}} \qquad (1.8)\] Подставляя в (1.8) формулу (1.6) и сразу сворачивая полученный степенной ряд по (1.7), окончательно получаем модуль глобального вектора силы: \[|\mathbf{F}| = m_{0} a\gamma^3 \sqrt{1 + \beta^2} \qquad (1.9)\] В следующем разделе мы покажем связь между глобальными векторами импульса и силы с энергией.