Вообще говоря, операция свёртки многомерного глобального вектора скорости (GVV) на четырёхмерное пространство необходимо, когда мы хотим получить представление о проекции многомерного действительного пространства на наше реальное четырёхмерное. К слову, GVV можно свернуть и до двухмерного пространства, когда этого оказывается достаточно для описания процесса. В такой операции могут помочь кватернион [1], представленный в следующем виде: \[e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d} \tag{1.1}\] где: \(a, b, d\) — вещественные числа, \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) — мнимые единицы, которые задаются по следующему правилу: \[\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1\] \[\mathbf{i} \mathbf{j} = -\mathbf{j} \mathbf{i} = \mathbf{k} ,\quad \mathbf{j} \mathbf{k} = -\mathbf{k} \mathbf{j} = \mathbf{i} ,\quad \mathbf{k} \mathbf{i} = -\mathbf{i} \mathbf{k} = \mathbf{j} \tag{1.2}\] Тогда глобальный вектор скорости \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \] можно свернуть (спроецировать) на кватернион по следующему правилу: \[\mathbf{V} \to V \tag{1.3}\] \[V = c \cdot e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d} \tag{1.4}\] где кватернион (1.1) просто домножается на скорость света — \(c\).

Для GVV и для кватерниона работает их основное свойство — их модули равны скорости света: \[|\mathbf{V}| = |V| = c \tag{1.5}\] Далее посмотрим, как такую свёртку можно применить в различным системам 4-х мерных координат: декартовой, цилиндрической и сферической.