Сразу же нужно оговориться, что здесь мы будем рассматривать четырёхмерную цилиндрическую систему координат, отличающуюся от классической трёхмерной [1] наличием ещё одной координаты, которая обычно представляет собой время в неподвижной системе отсчёта. Она хорошо работает в упрощённом виде, когда точка вращается с угловой частотой \(\omega\) вокруг какого-либо центра по радиусу \(r\), и одновременно движется по координате \(z\) со скоростью \(v_z\), перпендикулярной плоскости вращения. Тогда мы сразу же можем принять следующие очевидные соотношения между перечисленными параметрами и \(a, b, d\) в (1.1) из предыдущей части: \[\begin{cases} a = \arcsin(\beta_r \sin(\omega t)) \\ b = \arcsin(\beta_r \cos(\omega t))\\ d = \arcsin(\beta_z) \end{cases} \tag{2.1}\] При этом, радиус связан с угловой частотой так: \[\beta_r = {\omega r \over c} \tag{2.2}\] а относительная скорость по координате \(z\) находится так: \[\beta_z = {v_z \over c} \tag{2.3}\] Учитывая, что \[\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} \tag{2.4}\] найдём линейную форму цилиндрического кватерниона \[ V = c \cdot e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d} = c\, (A + \mathbf{i} B + \mathbf{j} C + \mathbf{k} D) \tag{2.5}\] в котором: \[\begin{cases} A = \gamma_s \gamma_c \gamma_z - \beta_r^2 \beta_z \sin(\omega t) \cos(\omega t) \\ B = \beta_r \sin(\omega t) \gamma_c \gamma_z + \beta_r \beta_z \cos(\omega t) \gamma_s \\ C = \beta_r \cos(\omega t) \gamma_s \gamma_z - \beta_r \beta_z \sin(\omega t) \gamma_c \\ D = \beta_z \gamma_s \gamma_c + \beta_r^2 \sin(\omega t) \cos(\omega t) \gamma_z \\ \tag{2.6} \end{cases}\] \[\gamma_s = \sqrt{1 - \beta_r^2 \sin(\omega t)^2},\, \gamma_c = \sqrt{1 - \beta_r^2 \cos(\omega t)^2},\, \gamma_z = \sqrt{1 - \beta_z^2} \tag{2.7}\] Линейная форма замечательна тем, что её, в свою очередь, можно преобразовать в аналогичную векторную форму \[ V \to \mathbf{V}_{||} \tag{2.8}\] представляющая собой такой же свёрнутый линейный вектор: \[ \mathbf{V}_{||} = c\, \big( \mathbf{i_0} A + \mathbf{i_1} B + \mathbf{i_2} C + \mathbf{i_3} D \big) \tag{2.9}\] где: \(\mathbf{i_n}\) — единичные векторы нашего 4-х мерного реального пространства, которым можно поставить в соответствие более привычные координаты: \[ \mathbf{i_0} \to t \\ \mathbf{i_1} \to X \\ \mathbf{i_2} \to Y \\ \mathbf{i_3} \to Z \tag{2.10}\] А теперь необходимо проверить, что в полученном линейном кватернионе, и аналогичном ему векторе, выполняется главное свойство GVV: \[ |V| = |\mathbf{V}_{||}| = c \tag{2.11}\] Теперь мы можем выбирать любую форму представления свёрнутого GVV, которая нам будет удобнее: (2.5) или (2.9).

Интегрируя (2.5) или (2.9) мы получим свёрнутый вектор длины: \[ L = \int \limits_0^t V\, \partial t \tag{2.12}\] или \[ \mathbf{L}_{||} = \int \limits_0^t \mathbf{V}_{||}\, \partial t \tag{2.13}\] По аналогии с (2.9), можно представить линейный вектор длины так: \[ \mathbf{L}_{||} = c\, \left( \mathbf{i_0} \int \limits_0^t A\, \partial t + \mathbf{i_1} \int \limits_0^t B\, \partial t + \mathbf{i_2} \int \limits_0^t C\, \partial t + \mathbf{i_3} \int \limits_0^t D\, \partial t \right) \tag{2.14}\] Этот вектор мы будем использовать дальнейших выводах.

Будет интересно рассмотреть некоторые частные случаи формулы (2.6). Первый такой случай возникает в большинстве ситуаций в нашем мире, когда продольная и круговая скорости много меньше скорости света: \[\begin{cases} A = 1 \\ B = \beta_r \sin(\omega t) \\ C = \beta_r \cos(\omega t) \\ D = \beta_z \\ \tag{2.15} \end{cases}, \quad \beta_r, \beta_z \ll 1\] Тогда выходит, что по координатам X и Y движется точка с круговой сокростью \(v_r\) по окружности, и одновременно линейно — по координате Z, со скоростью \(v_z\), т.е. получаем классическое представление о нашем пространстве: \[ \mathbf{V}_{||} = \mathbf{i_0} c + \mathbf{i_1} v_r \sin(\omega t) + \mathbf{i_2} v_r \cos(\omega t) + \mathbf{i_3} v_z \tag{2.16}\] Далее мы будем представлять наглядные графики полученных формул, в которых, условно, \(c=1\). А также, поскольку нельзя показать все четыре координаты, мы будем отражать только три из них: X, Y и Z.

Интегрируя скорость мы получаем длину:

По мере увеличения скоростей, ситуация с нашим пространством начинает меняться. Когда скорость по координате Z достигает световой, то время в подвижной системе почти останавливается (\(A=0\)), а скорость по координатам X и Y становится фактически пропорциональна ускорению: \[\begin{cases} A = 0 \\ B = \beta_r \cos(\omega t) \\ C = - \beta_r \sin(\omega t) \\ D = 1 \\ \tag{2.17} \end{cases}, \quad \beta_r \ll 1,\, \beta_z=1 \]

Интегрируя скорость мы получаем длину:

Ещё один частный случай можно представить, если приравнять линейную и круговую скорости к \(c\). В отличие от предыдущего случая здесь координата времени имеет периодический характер, впрочем, как и все остальные: \[\begin{cases} A = - \sin(\omega t) \cos(\omega t) \\ B = \cos(\omega t)\, |\cos(\omega t)| \\ C = - \sin(\omega t)\, |\sin(\omega t)| \\ D = |\sin(\omega t) \cos(\omega t)| \\ \tag{2.18} \end{cases}, \quad \beta_r=1,\, \beta_z=1\]

Интегрируя скорость мы получаем длину:

Также, ещё один частный случай можно получить, если принять круговую скорость, равной \(c\), а линейную скорость приравнять к нулю. Можно наблюдать интересное явление, когда, несмотря на отсутствие начального движения по координате Z, ненулевая скорость здесь всё же имеется: \[\begin{cases} A = |\sin(\omega t) \cos(\omega t)| \\ B = \sin(\omega t)\, |\sin(\omega t)| \\ C = \cos(\omega t)\, |\cos(\omega t)| \\ D = \sin(\omega t) \cos(\omega t) \\ \tag{2.19} \end{cases}, \quad \beta_r=1,\, \beta_z=0\]

Интегрируя скорость мы получаем длину:

Необычный результат мы получим, если в последнем случае сделаем скорость по Z ненулевой, но значительно меньшей скорости света. При этом, график скорости останется почти таким же, а вот график длины приобретёт следующий вид:

В следующих частях этой работы мы исследуем сферическую и декартову систему координат, также применяя кватернионы для проекции глобального вектора на наше 4-х мерное пространство.