Для того, чтобы перейти от глобального вектора скорости (GVV) к четырёхмерным координатам нашего пространства необходимо сдеть проекцию (свёртку) GVV на наше пространство. В этом нам хорошо помогают кватернионы. С другой стороны, для любой точки всегда можно найти систему, в которой она будет двигаться прямолинейно и равномерно (первый закон Ньютона). Это означает, что для точки можно подобрать соответствующую систему координат, в которой это движение будет пространственно одномерно. А уже отсюда следует: Этот факт хорошо иллюстрирует следующий пример.

Следовательно, нам нужно найти соответствующую систему координат, где наша точка будет совершать одномерно-пространственное движение. Если точка движется по окружности, то самая подходящая система координат — цилиндрическая, которая была нами представлена в предыдущей части этой работы. В ней относительная скорость \(\beta_r\), представляющая в этой системе радиус, и есть единственная пространственная координата. Но в отображении нашей пространственно трёхмерной системы координат, движение такой точки займёт две координаты. Остаётся одна пространственная координата, значение которой берётся из GVV: \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta_r^n = \frac{c}{\gamma} \big( \mathbf{j_0} + \mathbf{j_{1.1}}\, \beta_r \sin(\omega t) + \mathbf{j_{1.2}}\, \beta_r \cos(\omega t) + \mathbf{j_2}\, \beta_r^2 + \mathbf{j_3}\, \beta_r^3 + \ldots \big) \tag{3.1}\] Здесь первые три слагаемые представляют собой систему координат с известными данными о вращении точки: \[ \mathbf{V}_{0,1,2} = \frac{c}{\gamma} \big( \mathbf{j_0} + \mathbf{j_{1.1}}\, \beta_r \sin(\omega t) + \mathbf{j_{1.2}}\, \beta_r \cos(\omega t) \big) \tag{3.2}\] а остальные слагаемые — это вероятностные векторы, которые могут входить в формулу по-одному, суммой нескольких векторов (частичной свёрткой), или все вместе, и представлять собой третью пространственную координату. Это предположение следует из того факта, что мы не знаем, какое именно слагаемое из (3.1), при \(n \ge 2\), представляет третью координату. А потому вполне логично ввести вероятность появления того или иного слагаемого (или их частичную свёртку) в качестве третьей координаты: \[ \mathbf{V}_{3} = \pm\, \mathbf{j_2} \frac{c}{\gamma} \sqrt{\tilde\beta_r^4 + \tilde\beta_r^6 + \tilde\beta_r^8 + ...} = \pm\, \mathbf{j_2} \frac{c}{\gamma} \sqrt{\sum \limits_{n=2}^{\infty} \tilde\beta_r^{2n}} \tag{3.3}\] Знак тильды над относительной скоростью \(\tilde\beta_r\) означает, что вероятность появления этого слагаемого равна 1/2. Т.е. при подсчёте формулы (3.3), на каждом шаге итерации, нужно вычислять вероятность появления в ней каждого из слагаемых: \[\tilde\beta_r^{n} = \beta_r^{n} \cdot int(rand\, 2) \tag{3.4}\] \(int(rand\, 2)\) — случайное целое число: 0 или 1.
Также, необходимо получать знак плюс или минус перед формулой (3.3) с той же вероятностью — 1/2.

Формула (3.3) отражает точку в системе GVV. Для того, чтобы отразить её движение в неподвижной системе координат и в нашем четырёхмерном пространстве, необходимо создать на него проекцию (или свёртку). В этом нам, как и ранее, будет помогать кватернион, при помощи которого это делается довольно просто. Также, здесь мы применим приведенную в прошлой части этой работы, цилиндрическую систему координат.

Собственно, вся основная работа уже проделана и основные формулы для отображения результатов известны: (2.6-2.7, 3.3). Остаётся вместо неизвестной относительной скорости \(\beta_z\), подставить вероятностную скорость из (3.3): \[ \beta_z = \pm\, \sqrt{\sum \limits_{n=2}^{\infty} \tilde\beta_r^{2n}} \tag{3.5}\] получив таким образом вероятностную цилиндрическую систему координат. Тогда свёрнутый до нашего пространства GVV будет находиться так: \[ \mathbf{V}_{||} = c\, \big( \mathbf{i_0} A + \mathbf{i_1} B + \mathbf{i_2} C + \mathbf{i_3} D \big) \] \[\begin{cases} A = \gamma_s \gamma_c \gamma_z - \beta_r^2 \beta_z \sin(\omega t) \cos(\omega t) \\ B = \beta_r \sin(\omega t) \gamma_c \gamma_z + \beta_r \beta_z \cos(\omega t) \gamma_s \\ C = \beta_r \cos(\omega t) \gamma_s \gamma_z - \beta_r \beta_z \sin(\omega t) \gamma_c \\ D = \beta_z \gamma_s \gamma_c + \beta_r^2 \sin(\omega t) \cos(\omega t) \gamma_z \\ \end{cases}\] \[\gamma_s = \sqrt{1 - \beta_r^2 \sin(\omega t)^2},\, \gamma_c = \sqrt{1 - \beta_r^2 \cos(\omega t)^2},\, \gamma_z = \sqrt{1 - \beta_z^2} \tag{3.6}\] Где: \(\mathbf{i_0} \ldots \mathbf{i_3}\) — еденичные векторы нашего 4-х мерного пространства, а \(\beta_z\) находится из (3.5).
Теперь мы смело можем получать наглядные графики при помощи любого математического редактора.

Посмотрим на графики вероятных направлений относительной скорости \(\beta_r = 0.1\) в различных плоскостях (для 30000 точек)

Графики вероятных направлений относительной скорости \(\beta_r = 0.5\) в различных плоскостях

Графики вероятных направлений относительной скорости \(\beta_r = 0.9\) в различных плоскостях

В последнем случае, в 3-D плоскости, геометрически получаются две скрученные ленты, закрученные друг относительно друга (рис.25). Подпрограмму для построения этих графиков под MathCAD можно взять здесь.