Если Первое свойство работает в любом пространстве, то дествие второго и третьего — будут распостраняться только на Лоренцево единичное пространство. Напомним, что таковым мы называем пространство, описываемое общим вектором \(\mathbf{R}\), который получен путём преобразования Лоренц-фактора: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\}, \quad \gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2} \qquad (2.1)\]

Первое свойство предполагает, что общий вектор скорости \(\mathbf{R}(t)\) всегда перпендикулярен общему вектору ускорения \(\mathbf{R}'(t)\), откуда: \(\mathbf{R}(t)\cdot \mathbf{R}'(t) = 0\). Здесь и далее, производная будет браться по \(t\). Давайте сейчас докажем, что длина этого нового вектора ускорения будет равна: \[|\mathbf{R}'(t)| = {\beta'(t) \over 1 - \beta(t)^2}, \quad \beta(t) = {v(t) \over c} \qquad (2.2)\] Для этого сначала введём некоторые обозначения: \[\mathbf{r_1} = \left\{1,\, \beta(t),\, \beta(t)^2,\, \ldots,\, \beta(t)^n \right\} \] \[\mathbf{r_2} = \left\{0,\, 1,\, 2\beta(t),\, \ldots,\, n \beta(t)^{n-1} \right\} \] Тогда производная от общего вектора скорости будет находиться так: \[\mathbf{R}'(t) = - \gamma(t) \beta(t) \beta'(t) \mathbf{r_1} + {\beta'(t) \over \gamma(t)} \mathbf{r_2} \qquad (2.3)\] Теперь умножим полученный вектор сам на себя и получим квадрат его модуля: \[\mathbf{R}'(t)\cdot \mathbf{R}'(t) = |\mathbf{R}'(t)|^2 \qquad (2.4)\] Перемножим вектор (2.3) по правилам скалярного умножения: \[|\mathbf{R}'(t)|^2 = \beta'(t)^2 \left( \gamma(t)^2 \beta(t)^2 \mathbf{r_1}^2 - 2 \beta(t) \mathbf{r_1} \mathbf{r_2} + {1 \over \gamma(t)^2} \mathbf{r_2}^2 \right) \qquad (2.5)\] Для окончательного результата нам необходимо получить скалярные суммы от произведений векторов: \[\mathbf{r_1}^2 = \gamma(t)^2 \] \[\mathbf{r_1} \mathbf{r_2} = \beta(t) \left(1 + 2\beta(t)^2 + \ldots + n\beta(t)^{2(n-1)} \right) = \gamma(t)^4 \beta(t) \] \[\mathbf{r_2}^2 = \left(1 + 4\beta(t)^2 + \ldots + n^2\beta(t)^{2(n-1)} \right) = \gamma(t)^6 (1 + \beta(t)^2) \] Последнее произведение векторов образует сумму следующего степенного ряда: \[1 + 4x^2 + 9x^4 + \ldots + n^2 x^{2(n-1)} = {1 + x^2 \over (1-x^2)^3} \qquad (2.6)\] Подставляя эти данные в (2.5) получаем: \[|\mathbf{R}'(t)|^2 = \beta'(t)^2 \gamma(t)^4 \left[ \beta(t)^2 - 2\beta(t)^2 + (1 + \beta(t)^2) \right] \qquad (2.7)\] Сокращаем слагаемые в скобках и получаем окончательный результат: \[|\mathbf{R}'(t)|^2 = \beta'(t)^2 \gamma(t)^4 = {\beta'(t)^2 \over \left(1 - \beta(t)^2 \right)^2} \qquad (2.8)\] \[|\mathbf{R}'(t)| = {\beta'(t) \over 1 - \beta(t)^2} \qquad (2.9)\] Для полного глобального вектора ускорения, как мы уже знаем, достаточно нормированный — домножить на \(c\): \[|\mathbf{V}'(t)| = {c\beta'(t) \over 1 - \beta(t)^2} \qquad (2.10)\] Данное свойство доказано. К слову, последнюю формулу можно записать и так: \[|\mathbf{V}'(t)| = a\,\gamma^2 \qquad (2.11)\] где: \(a\) — ускорение. Формулы (2.9-2.11) имеют большое значение как сами по себе, так — и для вывода следующего свойства.