В этой работе мы познакомим наших читателей с необычными свойствами глобального вектора скорости (GVV). Но сначала напомним некоторые выводы, полученные ранее. Например, длина вектора \(\mathbf{R}\), полученного раскладкой скалярного Лоренц-фактора на глобальный вектор, всегда будет равна единице: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R} = 1, \quad |\mathbf{R}| = 1 \tag{1.1}\] А сам нормированный GVV, в общем виде, выглядит так: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \tag{1.2}\] где: \(\beta = v/c\), а \(\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}\) — Лоренц-фактор, отвечающий за закон сохранения энергии математической точки (без массы).

Если домножить этот вектор на скорость света и выбрать положительное направление (плюс перед коэффициентами), то мы получим некоторое отражение нашего мира в первых двух координатах: \[\mathbf{V} = c\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} (\mathbf{i} c + \mathbf{j} v + \ldots) \tag{1.3}\] где: \(\mathbf{i}, \mathbf{j}\) — единичные векторы ортонормированного базиса, \(\mathbf{V}\) — вектор полной или глобальной скорости, \(v\) — привычная нам скорость в нашем мире. Отсюда мы автоматически получаем глобальный закон сохранения энергии: \[\mathbf{V} \cdot \mathbf{V} = c^2 \tag{1.4}\]

Это свойство хорошо известно в механике. Оно утверждает, что при движении точки вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения [1], правда при некоторых ограничивающих условиях. Здесь мы рассмотрим общий случай с глобальным вектором и покажем, что глобальный вектор скорости всегда перпендикулярен глобальному вектору ускорения.

Если предположить, что наша скорость меняется во времени по определённому закону: \(v = v(t)\), то тогда производная вектора \(\mathbf{R}\) по \(t\) будет из себя представлять глобальный вектор ускорения \(\mathbf{R}'_t\), который сокращённо далее будем обозначать так: GVA. Нам нужно доказать, что GVA будет всегда перпендикулярен GVV, то есть: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}'_t = 0 \tag{1.5}\] Можно привести очень сложное доказательство, но мы нашли более простое решение. Докажем это свойство так: \[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R} = 1\, \Rightarrow\, [\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}]'_t = 0\] \[\Downarrow\] \[[\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}]'_t = \mathbf{R} \cdot 2 \mathbf{R}'_t = 0\] Давайте проверим это свойство на простом примере. Допустим, что скорость меняется по линейному закону: \(v(t) = at\), где \(a\) — ускорение. Тогда: \(\beta(t) = at/c\). Направление перед всеми коэффициентами, для простоты, выберем везде положительное. Единичный вектор будет таким \[\mathbf{R}(t) = \sqrt{1 - \beta(t)^2} \left\{1,\, \beta(t),\, \beta(t)^2,\, \ldots,\, \beta(t)^n \right\} \tag{1.6}\] а вектор его производной по времени такой: \[\mathbf{R}'_t = {- k^2 t \over \sqrt{1 - \beta(t)^2}} \left\{1,\, \beta(t),\, \beta(t)^2,\, \ldots,\, \beta(t)^n \right\} + \sqrt{1 - \beta(t)^2} \left\{0,\, k,\, 2k^2 t,\, \ldots,\, n k^n t^{n-1} \right\} \tag{1.7}\] где мы ввели следующий коэффициент: \(k = a/c\). Для дальнейших вычислений учтём, что следующий ряд является сходящимся: \[1 + 2x + 3x^2 + \ldots + nx^{n-1} = {1 \over (1-x)^2} \tag{1.8}\] Перемножаем два полученных вектора по правилам скалярного умножения, и упрощая выражение при помощи (1.8), получим: \[\mathbf{R}(t) \cdot \mathbf{R}'_t = {- k^2 t \over 1 - \beta(t)^2} + {k^2 t \over 1 - \beta(t)^2} = 0 \tag{1.9}\]

Обратим ваше внимание, что полученое выше свойство работает не только в Лоренцевом пространстве (полученном из Лоренц-фактора), но и в любом другом декартовом.

Представленное выше свойство работает не только для общего вида GVV (1.2), но и для его проекций на мир с числом измерений \(2^n,\, n=0,1,2,3,\ldots\) Посмотрим, как это работает для 2D, то есть когда мир состоит из одной пространственной координаты и одной координаты времени. В этом случае мы можем получить проекцию GVV на такой мир: \[ \mathbf{R_{\perp}} = \mathbf{j}_0 \frac{1}{\gamma(t)} + \mathbf{j}_1\, \beta(t) \tag{1.10}\] Взяв производную по времени мы получим проекцию GVA: \[ \mathbf{R_{\perp}'} = - \mathbf{j}_0\, \beta(t) \beta_t' \gamma(t) + \mathbf{j}_1\, \beta_t' \tag{1.11}\] Скалярно перемножая проекции GVV и GVA мы получим: \[ \mathbf{R_{\perp}} \cdot \mathbf{R_{\perp}'} = \beta(t) \beta_t' + \beta(t) \beta_t' = 0 \tag{1.12}\] Это является доказательством, что в 2D мире также работает свойство №1, и здесь также вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения. Обратите внимание на простоту доказательства этого свойства.

Теперь посмотрим, как это работает для 4D, то есть когда мир состоит из трёх пространственных координат и одной координаты времени, то есть — это наш мир. По приведенному выше алгоритму сначала получим проекцию GVV: \[ \mathbf{R_{\perp}} = \mathbf{j}_0\, \frac{1}{\gamma(t)} + \mathbf{j}_1\, \frac{1}{\gamma(t)} \beta(t) + \mathbf{j}_2\, \beta(t)^2 \tag{1.13}\] Здесь нужно пояснить, что на самом деле единичный вектор \(\mathbf{j}_2\) распадается на два равновероятных единичных вектора, но это свойство будет работать в любом случае. Поэтому мы можем смело работать с вектором из (1.13). Взяв по нему производную, мы получим проекцию GVA: \[ \mathbf{R_{\perp}'} = - \mathbf{j}_0\, \beta(t) \beta_t' \gamma(t) + \mathbf{j}_1\, \beta_t' \left[\frac{1}{\gamma(t)} - \beta(t)^2 \gamma(t) \right] + \mathbf{j}_2\, 2 \beta(t) \beta_t' \tag{1.14}\] Скалярно перемножая проекции GVV и GVA, приведя подобные слагаемые, здесь мы так же получим ноль: \[ \mathbf{R_{\perp}} \cdot \mathbf{R_{\perp}'} = 0 \tag{1.15}\] В нашем четырехмерном мире действует свойство №1, и вектор скорости по-прежнему перпендикулярен вектору ускорения.