Благодаря этому свойству, далее, можно будет применять простую математику при выводе многих известных релятивистских формул и известных опытов, которые не всегда оказываются объяснимы с классической точки зрения.

Из этой работы мы можем взять принцип получения глобального вектора длины. Для этого глобальный вектор скорости нужно домжножить на время \(t\): \[\mathbf{L} = \frac{ct}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n, \quad \beta = v/c \qquad (5.1)\] где: \(\gamma\) — Лоренц-фактор, а \(\mathbf{j_0\ldots j_n}\) — единичные векторы ортонормированного базиса. Здесь, для простоты, перед коэффициентами разложения, мы выбрали все плюсы. При других выбранных значениях смысл дальнейшего останется тем же. Также, представим глобальный вектор длины ещё и в таком виде: \[\mathbf{L} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{L_n}, \quad \mathbf{L_n} = \mathbf{j_n} \frac{ct}{\gamma}\beta^n \qquad (5.2)\]

Рис.1. Глобальный вектор длины и его отражение на ось времени.

Пока будем говорить о прямолинейном движении с постоянной скоростью \(v\); оно представляет собой простейший случай, но очень подходит для понимания дальнейшего смысла. Давайте возьмём из вектора (5.1) только первую координату \[\mathbf{L_1} = \mathbf{t} = \frac{ct}{\gamma} \mathbf{j_0} \qquad (5.3)\] которая, очевидно, будет представлять координату времени (см. рис. 1). При этом, из геометрии векторов также очевидно, что: \[ct' = \frac{ct}{\gamma} \qquad (5.4)\] Из этого сразу же можно сделать вывод о том, что время в подвижной системе координат отличается от неподвижной на \(1 / \gamma\), или на \(\cos(\alpha)\): \[t' = t / \gamma = t \cos(\alpha) = t \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}\qquad (5.5)\] \[\sin(\alpha) = \beta = v/c \qquad\] \[\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \beta^2} = 1 / \gamma \qquad\] В соотношениях (5.5) и рисунке (1) раскрывается геометрический смысл Лоренц-фактора, а также причина сокращения времени в подвижной системе координат. На этом рисунке также можно наглядно увидеть разницу течения времени в подвижной (\(ct'\)) и неподвижной (\(ct\)) системе координат.

Кроме того, отсюда можно сделать вывод о том, что глобальный вектор длины \(\mathbf{L}\) является координатой времени для подвижной системы. И наоборот. Можно доказать, что с точки зрения подвижной системы неподвижная будет выглядеть так: \[\mathbf{J} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n}, \quad \mathbf{j_n} = \mathbf{L_n} \frac{ct}{\gamma}\beta^n \qquad (5.6)\] Т.е. это формула (5.2) наоборот. Это доказательство будет предоставлено позже, оно следует из теории матриц, а пока, для создания полной картины, приводится только его вывод.