Ранее мы привели простое доказательство релятивистского сложения скоростей. Основываясь на нём мы можем получить глобальный вектор длины (GVL) при условии, что наши две точки движутся отностительно неподвижной системы координат \((\mathbf{i_0, i_1,\ldots ,i_n})\) прямолинейно и равномерно. Тогда GVL получается простым умножением GVV на время \(t\): \[\mathbf{L} = \frac{ct}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \qquad (2.1)\] Давайте снова упростим этот вектор свернув его по аналогии с (1.2): \[\mathbf{L} = \mathbf{j_0} \frac{ct}{\gamma} + \mathbf{j_1} l, \quad l = vt \qquad (2.2)\] где: \(l\) — длина, равная произведению скорости на время. Первое слагаемое в этой формуле представляется собой координату времени в движущейся первой точке: \[ct' = \frac{ct}{\gamma}, \quad t' = \frac{t}{\gamma} \qquad (2.3)\] где: \(t'\) — время в движущейся системе отсчёта (первой точке). Оно предстваляет собой классическое релятивистское замедление времени [1]. Давайте распишем \(\gamma\) для двух систем отсчёта, которые движутся друго относительно друга, исходя из формулы (1.10) предыдущей части этой работы: \[t' = \frac{t}{\gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2)} \qquad (2.4)\] Развернём Лоренц-факторы и получим искомую формулу для замедления времени в двух, движущихся друг относительно друга, точек: \[t' = t \frac{\sqrt{1 - \beta_1^2} \sqrt{1 - \beta_2^2}}{1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (2.5)\]

Рассмотрим частный случай, когда скорости двух точек равны: \[\beta_1 = \beta_2 = \beta_0 \qquad (2.6)\] Это можно представить в виде движущейся относительно неподвижной системы отсчёта (земли) платформы, по которой с той же скоростью движется автомобиль. Отсюда следуют два варианта: когда авто движется в обратную от платформы сторону, и когда авто движется в сторону платформы.

1 вариант. Авто движется в обратную от платформы сторону.
Тогда, подставив в формулу (2.5) общую скорость из (2.6), получим: \[t' = t \frac{1 - \beta_0^2}{1 - \beta_0^2} = t \qquad (2.7)\] Что и следовало ожидать: в этом случае, авто должно быть неподвижным относительно земли и никакого замедления времени наблюдаться не должно.

2 вариант. Авто движется в ту же сторону, что и платформа.
Тогда, подставив в формулу (2.5) общую скорость из (2.6), получим: \[t' = t \frac{1 - \beta_0^2}{1 + \beta_0^2}\qquad (2.8)\] Но, если бы первая точка двигалась относительно земли просто с удвоенной скоростью, то формула была бы такой: \[t' = t \sqrt{1 - 4\beta_0^2}\qquad (2.9)\] Эти формулы не рассматриваются в специальной теории относительности, а между тем, они должны представлять интерес для некоторых практических экспериментов.