Перед нами необычная теоретическая задача, побудившая автора рассмотреть её на примере гравитационно-гидравлического генератора [1], хотя полученные рассуждения легко обобщить и на другие подобные системы [2]. Автор не претендует на абсолютную истину и открыт для конструктивных возражений: достойные опровержения будут с интересом рассмотрены и опубликованы в этой работе, как альтернативная точка зрения.

Суть рассматриваемой проблемы заключается в том, что траекторию движения тела можно разбить на два (или более) участка: на одном из них тело разгоняется до определённой скорости, а на другом продолжает наращивать скорость, уже обладая накопленным импульсом. При этом одна из действующих на него сил должна быть «даровой» — например, сила тяжести. Так возникает любопытный теоретический парадокс: затраты энергии на возвращение тела в исходную точку могут оказаться меньше энергии, приобретённой в процессе движения. Похожий эффект наблюдается в манёвре Оберта [3] и в парадоксе двух ракет.

Принцип работы гравитационно-гидравлической системы, предполагающей получение энергетического выигрыша (COP > 1) [4], показан на рисунке 1. В верхней части конструкции расположен бак с жидкостью (1), чаще всего водой. В нижней части бака предусмотрено отверстие (2), через которое жидкость вытекает с начальной скоростью \(v\). Поток жидкости (3), падая под действием силы тяжести, ускоряется до скорости \(\vartheta\) и достигает поддона (4), где можно рассчитать суммарную кинетическую энергию системы. На схеме не показан обратный цикл — возврат жидкости в бак, однако в реальном устройстве этот этап обязателен. Далее мы подробно разберём работу установки, построим математическую модель и оценим её COP. Для упрощения анализа будем считать потери, например на трение, незначительными и не учитывать их.

Для этого разобьём бак на небольшие участки по высоте, каждый из которых рассмотрим по-отдельности, а затем снова просуммируем их. Начнём расчёт с известного правила об общей кинетической энергии системы точек, которая находится, как сумма кинетических энергий каждой точки [5]: \[A = \sum A_i, \quad A_i = {m_i \vartheta_i^2 \over 2} \tag{1}\] В качестве такой точки мы рассмотрим достаточно тонкий слой жидкости высотой \(\Delta h\), масса каждого слоя которого будет находиться так: \[ m_i = m_0 {\Delta h_i \over h_1} = m_0 {\Delta h \over h_1} \tag{2}\] где: \(m_0\) — масса полного бака. Поскольку мы считаем жидкость несжимаемой, то все слои будут иметь одинаковую массу. Каждый слой перемещается в отверстие бака, при этом, скорость истечения из него будет такая [6]: \[ v_i = \sqrt{2\, g\, h_i}, \quad h_i = i\,\Delta h \tag{3}\] Высота уровня воды в баке здесь обозначается \(h_i\), причём индекс \(i\) меняется от большего значения к меньшему, т.к. бак сначала полностью наполнен водой, а затем её уровень уменьшается: \[ i \in N \ldots 0, \quad N\, \Delta h = h_1 \tag{4}\] Здесь: \(N\) — число точек разбиения высоты бака на слои.

Далее, падая с высоты \(h_2\), струя воды с массой \(m_i\), набирает дополнительную скорость \(\sqrt{2\, g\, h_2}\), которая суммируется с уже имеющейся [6]: \[ \vartheta_i = v_i + \sqrt{2\, g\, h_2} \tag{5}\] Сопротивлением воздуха мы пока пренебрегаем. Запишем теперь кинетическую энергию слоя \(\Delta h\) исходя из (1,2): \[ A_i = {m_0 \over 2} {\Delta h \over h_1} \left( \sqrt{2\, g\, h_i} + \sqrt{2\, g\, h_2} \right)^2 \tag{6}\] или \[ A_i = {m_0 g \over h_1} \left( \sqrt{h_i} + \sqrt{h_2} \right)^2 \Delta h \tag{7}\] Для точного определения суммы кинетических энергий точек, нужно толщину слоя уменьшить до бесконечно малой высоты, а число слоёв — до бесконечности. Это означает переход от суммы (1) к следующему интегралу: \[A = {m_0 g \over h_1} \int \limits_0^{h_1} \left( \sqrt{h} + \sqrt{h_2} \right)^2 \partial h \tag{8}\] Взяв этот интеграл мы с удивлением обнаружим, что кинетическая энергия движения жидкости вниз (в самой нижней точке) отличается от затраченной на её подъём: \[A = m_0 g \left( {h_1 \over 2} + h_2 + \frac43 \sqrt{h_1 h_2} \right) \tag{9}\] А на подъём жидкости в бак требуется энергия, которая находится по классической формуле: \[A_C = m_0 g \left( h_1 + h_2 \right) \tag{10}\] В данной схеме (рис.1) такой подъём не рассматривается, но подразумевается. Кроме того, здесь не учитывается высота поддона, которая нам неизвестна, но которая также может внести небольшие коррективы в расчёт.

Разделив полученную энергию на затрачиваемую, сразу же найдём COP \[C\!O\!P = {A \over A_C} = {1 + \frac12 x + \frac43 \sqrt{x} \over 1 + x}, \quad x = {h_1 \over h_2} \tag{11}\] и представим эту зависимость на следующем графике:

Как видно из графика, максимальный COP, при соблюдении оптимального соотношения \(h_1/h_2\), равен около 1.46. Теперь двавйте вспомним, что мы не учитывали здесь потери. В основном, они будут заключаться в работе компрессора на подъём воды и механики, если съём полученной энергии будет производиться при помощи, например, ковшей. Тогда потери могут составить до 60%, а это означает, что окончательный COP будет меньше единицы: \[C\!O\!P_{in} = C\!O\!P_{max} \cdot 0.6 = 0.88 \tag{12}\] Можно предположить, что в этом заключается причина многих неудач изобретателей устройств свободной энергии, работающих в этой области. Доведение схемы до совершенства, с получением высокого КПД узлов и частей такого устройства, позволяет, в теории, преодолеть этот барьер!

Проведённый анализ гравитационно-гидравлической системы показал, что при оптимальном соотношении высот уровней жидкости коэффициент полезного действия (COP) в теории может превышать единицу и достигать значения около 1.46. Однако учёт неизбежных потерь на трение, сопротивление, а также на затраты энергии при возврате жидкости в бак приводит к снижению итогового COP ниже единицы. Это объясняет неудачи большинства попыток создать устройства «свободной энергии» на аналогичных принципах: реальные системы всегда сталкиваются с ограничениями, наложенными законами физики. Тем не менее проведённая математическая модель позволяет глубже понять динамику таких установок, выявить ключевые источники потерь и указать направления для повышения эффективности энергетических систем.