Известно, что кривая Столетова [1] достаточно точно описывает поведение ферромагнетиков в магнитном поле. В более ранней работе автором была предложен способ представления такой кривой в виде простого полинома, а также — методика поиска коэффициентов для этого полинома. С их помощью можно полностью восстановить вид кривой Столетова, поэтому они рекомендованы для указания в паспорте феррита их производителем.

Одним из преимуществ представленного полинома является аналитические решения дифференциальных уравнений для тока, протекающего через катушку с ферромагнитным сердечником, а также — подсчёта энергии, запасённой в ней. Конечно же, они работают в некоторых допустимых областях, которые будут обязательно оговариваться. С одним таким решением мы познакомим вас в этой работе.

Напомним, что индуктивность катушки \(L\) с ферромагнитным сердечником может быть представлена так \[L(I) = L_0\, M\!(I) \tag{1}\] где \[M\!(I) = {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{2}\] Здесь: \(I\) — ток, протекающий через катушку, индуктивность которой меняется в зависимости от этого тока по кривой \(M\!(I)\), представляющую собой полином с коэффициентами \(k_{12}, k_{22}, k_{23}\). Когда ток равен нулю (\(I=0\)), катушка имеет начальную индуктивность \(L_0\), обычно указываемую в её паспорте.

При подаче на такую катушку напряжения, в ней начинает расти ток \(I = I(t)\), который может быть найден из следующего дифференциального уравнения: \[ L_0 {\partial [I\, M\!(I)] \over \partial t} + R\, I = U \tag{3}\] Здесь: \(t\) — время, меняющееся от нуля до некоторой конечной величины, а \(R\) — активное сопротивление обмотки катушки.

Давайте более наглядно посмотрим (рис. 1,2), как меняется зависимость тока от времени: когда коэффициенты при \(M\!(I)\) равны нулю (классическая зависимость), и когда коэффициенты при \(M\!(I)\) отличны от нуля (реальная зависимость). На этих рисунках красный график построен при \(k_{12} = k_{22} = k_{23} = 0\), а синий — при \(k_{12} = 689, k_{22} = 179, k_{23} = 4321\). Последние данные сняты с реального феррита.

Можно было бы ожидать, что при R, стремящемся к нулю, график тока станет и вовсе прямоугольным. На самом деле это не так, что и будет показано далее (пример — рисунки 3 и 4), и, при определённых ограничениях, такой подход можно применять для любых катушек с высокой добротностью.

В этой работе мы рассмотрим этот идеализированный случай, когда активное сопротивление катушки равно нулю, а значит уравнение (3) немного упростится: \[ L_0 {\partial [I\, M\!(I)] \over \partial t} = U, \quad R=0 \tag{4}\] Это означает его решение в виде: \[ I = {U\, t \over L_0\, M\!(I)} \tag{5}\] Проблема здесь в том, что это уравнение хоть на вид и простое, но тем не менее является трансцендентным, т.к. найти значение тока простой подстановкой данных невозможно. Давайте это покажем более подробно, развернув полином: \[ I = {U\, t \over L_0}\, {1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3 \over 1 + k_{12} I^2} \tag{6}\] Для получения аналитического решения для поиска тока необходимо решить кубическое уравнение. Это мы и сделаем далее при помощи общего метода [2]. Общее решение, таким образом, будет следующее: \[ I(t) = {1 \over 3 \left[ k_{12} - k_{23}\, i \right]} \left[k_{22}\, i + \sqrt[3]{B + \sqrt{B^2 - 4 A^3} \over 2} + \sqrt[3]{2 A^3 \over B + \sqrt{B^2 - 4 A^3} } \right] \tag{7}\] Обратите внимание, что в полученном выражении охватывающие корни — третьей степени, а введенные здесь упрощения находятся так: \[ i = {U \over L_0} t \\ A = (k_{22}\, i)^2 + 3(k_{23}\, i - k_{12}) \\ B = 2 (k_{22}\, i)^3 + 9\, k_{22}\, i (k_{23}\, i - k_{12}) + 27\, i (k_{23}\, i - k_{12})^2 \tag{8}\] Формула (7) применима при следующих ограничениях процесса по времени: \[ t_{max} \lt {k_{12} \over k_{23}} {L_0 \over U} \tag{9}\] Несмотря на некоторые ограничения (9), мы получили вполне себе аналитическую зависимость тока в катушке от времени (7,8).

На графиках 3 и 4 отражается полученный результат в сравнении со стандартным решением дифференциального уравнения. Напомним, что активное сопротивление мы приняли равным нулю (R=0), коэффициенты полинома такие же, как и для рисунка 2, а остальные данные здесь такие: U=0.5, L₀=1. При этом, вычисленное значение времени насыщения сердечника такое: t_max = 0.31. Подпрограмма для MathCAD находится здесь.

Энергию в катушке мы можем получить, если формулу (4) домножить с обеих сторон на ток, после чего — проинтегрировать это выражение по времени: \[ L_0 \int \limits_0^t I\, \partial [I\, M\!(I)] = \int \limits_0^t U\, I\, \partial t \tag{10}\] Справа в (10) выражается энергия, запасённая в катушке, а слева — энергия, затраченная на появления в ней тока. Очевидно, что при нулевом активном сопротивлении обмотки катушки, эти энергии равны. Таким образом, энергия в катушке будет находиться так: \[ W_L = L_0 \int \limits_0^t I\, \partial [I\, M\!(I)] \tag{11}\] Методом интегрирования по частям найдём окончательное решение: \[ W_L = L_0\, M\!(I)\, I^2 - L_0 \int \limits_0^{I} I\, M\!(I)\, \partial I \tag{12}\] Формула (12) позволяет найти потенциальную энергию в катушке, в которой \(I\) может находиться из выражения (7), если этот ток в момент \(t\) не известен. Она же равна энергии, затраченной источником питания на появление тока \(I\) в катушке. Заметим, что в отличие от классической формулы \(W_L = L I^2 / 2\), здесь учитывается характер зависимости ферромагнетика (сердечника катушки) от тока, проходящего по ней, который вносит значительные (иногда на порядки) изменения в эту энергию. Поэтому, полученные здесь формулы, кроме теоретических выкладок, можно использовать при расчётах параметрических генераторов или импульсных схем, в которых производится большая нагрузка на ферромагнитные сердечники.