Сама по себе аппроксимация — это некоторое приближение к реальной функции, позволяющее её исследовать аналитически, и даже «заглянуть» за пределы предоставляемых данных [1]. В этом приложении мы покажем довольно удачную аппроксимацию кривой Столетова [2], которая позволяет аналитически исследовать зависимость магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля \(\mu(H)\) для ферромагнетиков, у которых \(\mu(H) \gg 1\). Для этого потребуется всего три точки из графика измерений. Если же необходимо исследовать зависимость относительной индуктивности от тока \(M(I)\), то таких точек понадобится всего две. Именно её мы и будем аппроксимировать, а более общий подход покажем чуть ниже.

Известна следующая аппроксимация для кривой Столетова: \[M(I) = A \exp\left(\frac{-I}{I_0}\right) + \left(B - A \exp\left(\frac{-I}{I_0}\right)\right) \sin\left(\frac{\pi I}{I+I_0}\right) \tag{1}\] К сожалению, точность её аппроксимирования оставляет желать лучшего и для расчётов, где требуется минимальное отклонение от реальной кривой, она неприменима. Для более точной аппроксимации можно применить стандартный подход, но он потребует степенной ряд с 6-7 членами, поиск коэффициентов которого будет представлять довольно сложную задачу: \[M(I) = 1 + k_1\,I + k_2\,I^2 + k_3\,I^3 + k_4\,I^4 + k_5\,I^5 + \ldots \tag{2}\] И даже после этого точность приближения останется невысокой, не говоря уже об экстраполяции — способности аппроксимационной функции спрогнозировать поведение реальной функции за пределами точек измерения.

На основании исследований реальных зависимостей \(\mu(H)\) автором была разработана более простая аппроксимационная функция, позволяющая довольно точно приблизится к реальной кривой и даже спрогнозировать её поведения за пределами измерений. При этом потребуется всего две точки исследуемого графика — (\(M_m, I_m\)) и (\(M_e, I_e\)), а нахождение коэффициентов полинома не будет представлять особых трудностей.

В начале своих исследований автор взял за основу следующий полином: \[M(I) = {1 + k_{11} I + k_{12} I^2 + k_{13} I^3 \over 1 + k_{21} I + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{3}\] Но в результате экспериментов оказалось, что из него можно убрать некоторые члены с сохранением точности аппроксимации (для кривой Столетова): \[M(I) = {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{4}\] Кроме всего прочего, такой подход позволил найти коэффициенты этого полинома без использования матриц, кубических и даже квадратных уравнений. Находятся коэффициенты последовательно: сначала \(k_{23}\), затем, на его основе — \(k_{22}\), а уже после — \(k_{12}\) \[k_{23} = 2 {M_m - 1 \over M_m\, I_m^3}, \quad M_m \gt 1\] \[k_{22} = {1 \over M_m - M_e} \left[ {M_e - 1 \over I_e^2} + k_{23} \left( M_e I_e - \frac32 M_m I_m \right) \right] , \quad M_m \gt M_e \] \[k_{12} = M_m (k_{22} + \frac32 \, k_{23}\, I_m) \tag{5}\] Как мы видим, нахождение коэффициентов полинома требует достаточно простых арифметических действий.

Для быстрого подсчёта коэффициентов полинома автор составил простой калькулятор. В него необходимо ввести значения \(M_m, I_m, M_e, I_e\), а на выходе — получить коэффициенты \(k_{12}, k_{22}, k_{23}\)

Далее, мы рассмотрим более общий случай аппроксимирования кривой Столетова для ферромагнетиков. Напомним, что для них: \(\mu(H) \gg 1\). Формулу (4) можно применять для аналитических расчётов конкретной конструкции катушки с сердечником из ферроматериала, но сам феррит может работать и с другой катушкой или обмоткой. Для него, в общем случае, требуется получить не относительную, а абсолютную зависимость магнитной проницаемости от тока \(\mu(I)\). Тогда нам потребуется ещё одна точка — начальная проницаемость \(\mu_0\), а вместо точек (\(M_m, I_m\)) и (\(M_e, I_e\)) — их абсолютные аналоги: (\(\mu_m, I_m\)) и (\(\mu_e, I_e\)). Общая формула (4) тогда преобразится так: \[\mu(I) = \mu_0 {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{6}\] Формулы для нахождения коэффициентов (5) останутся прежними, но в них произойдут некоторые замены: \[M_m = {\mu_m \over \mu_0} , \quad M_e = {\mu_e \over \mu_0} \tag{7}\] Пересчитать ток в напряженность магнитного поля \(H\) и получить зависимость вида \(\mu(H)\) также не представляет особой трудности, правда здесь потребуется знание параметров реальной конструкции устройства: \[H = {I\, N \over \ell}\tag{8}\] где: \(N\) — количество витков в катушке, \(\ell\) — средняя длина магнитной линии сердечника [3]. Общая зависимость в этом случае будет выражаться так: \[\mu(H) = \mu_0 {1 + h_{12} H^2 \over 1 + h_{22} H^2 + h_{23} H^3} \tag{9}\] а новые коэффициенты пересчитаются таким образом: \[h_{12} = k_{12} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{22} = k_{22} \left({\ell \over N} \right)^2 \quad h_{23} = k_{23} \left({\ell \over N} \right)^3 \tag{10}\]

Если ферромагнитный материал производится для систем, где требуется производить расчёты по кривой Столетова (пример — параметрические генераторы), то кроме начальной проницаемости, в их технические характеристики целесообразно добавить значения трёх коэффициентов — \(h_{12}\, h_{22}\, h_{23}\). По ним, благодаря формулам (4-10), можно полностью восстановить эту кривую. После проведённых лабораторных исследований ферромагнетика, эти коэффициенты можно получить по формулам (4, 7, 10).

Пример аппроксимации реально измеренной характеристики ферритового кольца можно посмотреть здесь: измеренная характеристика, и аппроксимация этой кривой. На всём её протяжении, отклонение от реального графика не превышает 3%. Также, если в калькуляторе увеличить значение начального тока, — можно увидеть результат прогнозирования этой аппроксимацией.

Дополнение от 01.05.2023
В этой работе автором было получено время насыщения ферромагнитного сердечника катушки, когда её подключают к источнику с известным напряжением \(U\). Также, должна быть известна начальная индуктивность катушки \(L_0\) (когда ток в ней равен нулю). Если катушка, при этом, имеет высокую добротность, то время насыщения сердечника можно рассчитать так: \[ t = {k_{12} \over k_{23}} {L_0 \over U} \tag{11}\] А если известны обобщённые коэффициенты из полинома (9), то тогда время насыщения сердечника находится так: \[ t = {h_{12} \over h_{23}} {L_0 \over U} {\ell \over N} \tag{12}\] Более подробно об этом читайте здесь.