В классической комплексной алгебре используется мнимая единица \(i\), удовлетворяющая условию \(i^2=-1\). В гиперболической алгебре вводится другая единица: \(\j\), для которой \(\j^2=+1\). Совместное рассмотрение этих двух единиц приводит к четырёхмерной коммутативной алгебре, а затем — к естественному идемпотентному разложению пространства на две независимые комплексные плоскости.

Такое разложение представляет интерес не только с алгебраической точки зрения. Оно позволяет разделить объект на две взаимно ортогональные составляющие, каждая из которых сохраняет структуру обычной комплексной плоскости. Благодаря этому многие выражения, содержащие гиперболическую единицу, приобретают значительно более простой вид, а операции умножения, возведения в степень, логарифмирования и вычисления элементарных функций распадаются на две независимые комплексные задачи.

В предыдущих работах идемпотентный базис вводился как удобное представление гиперболической алгебры и применялся при построении геометрических моделей волнового электричества. Однако оставался открытым вопрос о его происхождении: является ли он лишь удачным выбором системы координат или возникает как неизбежное следствие самой структуры гиперболической единицы.

Цель настоящей работы — показать, что и-базис \[ \tag{1} \left\{ \ep ,\; i\ep ,\; \em ,\; i\em \right\} \] не является произвольно введённой системой координат. Он возникает непосредственно из структуры гиперболической единицы, а его действительные и комплексные направления могут быть выражены через логарифмы \(\j\) и \(-\j\). Тем самым логарифмические свойства гиперболической алгебры приводят к естественному построению идемпотентного базиса.

Такой базис активно применяется в теории волнового электричества, где позволяет независимо описывать две комплексные составляющие исследуемых объектов. Настоящая работа показывает, что это представление имеет не только вычислительные преимущества, но и самостоятельное алгебраическое происхождение.

Рассмотрим две коммутирующие единицы: \[ \tag{2} i^2=-1, \qquad \j^2=1, \qquad i\j=\j i. \] Общий элемент порождённой ими алгебры имеет вид \[ \tag{3} Z=x_0+i x_1+\j x_2+i\j x_3, \qquad x_k\in\mathbb{R}. \] Следовательно, естественным промежуточным базисом является \[ \tag{4} \left\{ 1,\;i,\;\j,\;i\j \right\}. \]

Этот базис показывает четырёхмерность алгебры, однако ещё не раскрывает её внутреннюю структуру. Для этого необходимо использовать условие \(\j^2=1\).

Из условия \[ \tag{5} \j^2=1 \] следует \[ \tag{6} (1+\j)(1-\j)=0. \] Это равенство показывает существование двух взаимно ортогональных направлений, произведение которых равно нулю. Нормируем их и введём \[ \tag{7} \ep = \frac{1+\j}{2}, \qquad \em = \frac{1-\j}{2}. \]

Проверим их свойства: \[ \tag{8} \ep ^2 = \left( \frac{1+\j}{2} \right)^2 = \frac{1+2\j+\j^2}{4} = \frac{1+\j}{2} = \ep , \] \[ \tag{9} \em ^{\,2} = \left( \frac{1-\j}{2} \right)^2 = \em , \] \[ \tag{10} \ep \em = \frac{(1+\j)(1-\j)}{4} = \frac{1-\j^2}{4} = 0. \]

Кроме того, \[ \tag{11} \ep +\em =1, \qquad \ep -\em =\j. \] Таким образом, гиперболическая единица разлагает единицу алгебры на два взаимно ортогональных идемпотента.

Связь между базисами \(\{1,\j\}\) и \(\{\ep ,\em \}\) задаётся преобразованием \[ \tag{12} \begin{pmatrix} \ep \\ \em \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ \j \end{pmatrix}. \] Обратное преобразование имеет вид \[ \tag{13} \begin{pmatrix} 1\\ \j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ep \\ \em \end{pmatrix}. \]

Умножая идемпотенты на комплексную единицу, получаем \[ \tag{14} i\ep = \frac{i+i\j}{2}, \qquad i\em = \frac{i-i\j}{2}. \] Следовательно, промежуточный базис \[ \left\{1,i,\j,i\j\right\} \] переходит в идемпотентный и-базис \[ \tag{15} \boxed{ \left\{ \ep ,\; i\ep ,\; \em ,\; i\em \right\}. } \]

Полное преобразование базиса можно записать в матричной форме: \[ \tag{16} \begin{pmatrix} \ep \\ i\ep \\ \em \\ i\em \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&0&1\\ 1&0&-1&0\\ 0&1&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ i\\ \j\\ i\j \end{pmatrix}. \]

Запишем общий элемент алгебры в форме \[ \tag{17} Z=z_1+\j z_2, \qquad z_1,z_2\in\mathbb{C}. \] Используя равенства \[ 1=\ep +\em , \qquad \j=\ep -\em , \] получаем \[ \tag{18} Z = z_1(\ep +\em ) + z_2(\ep -\em ). \] После группировки \[ \tag{19} Z = \ep (z_1+z_2) + \em (z_1-z_2). \]

Обозначая \[ \tag{20} A=z_1+z_2, \qquad B=z_1-z_2, \] получаем основную идемпотентную форму \[ \tag{21} \boxed{ Z=\ep A+\em B, \qquad A,B\in\mathbb{C}. } \]

Поскольку \[ \ep \em =0, \] произведение двух элементов \[ Z_1=\ep A_1+\em B_1, \qquad Z_2=\ep A_2+\em B_2 \] равно \[ \tag{22} Z_1Z_2 = \ep A_1A_2 + \em B_1B_2. \] Смешанные произведения исчезают. Поэтому алгебра распадается на прямую сумму двух независимых комплексных плоскостей: \[ \tag{23} \boxed{ \mathbb{C}\ep \oplus \mathbb{C}\em . } \]

Для любого идемпотента \(P^2=P\) справедливо \[ \tag{24} e^{zP} = 1+P \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. \] Так как \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = e^z-1, \] получаем \[ \tag{25} \boxed{ e^{zP}=1-P+Pe^z. } \] Это равенство позволяет непосредственно связать гиперболическую единицу с комплексной экспонентой.

Рассмотрим экспоненту в плоскости \(\em \): \[ \tag{26} e^{i\pi\em } = 1-\em + \em e^{i\pi}. \] Поскольку \[ e^{i\pi}=-1, \] имеем \[ \tag{27} e^{i\pi\em } = 1-2\em = \ep -\em = \j. \] Следовательно, на выбранной главной ветви \[ \tag{28} \boxed{ \ln\j = i\pi\em . } \]

Аналогично \[ \tag{29} e^{i\pi\ep } = 1-\ep + \ep e^{i\pi} = 1-2\ep . \] Но \[ 1-2\ep = -\ep +\em = -\j, \] поэтому \[ \tag{30} \boxed{ \ln(-\j) = i\pi\ep . } \]

Сложим выражения (28) и (30): \[ \tag{31} \ln\j+\ln(-\j) = i\pi \left( \ep +\em \right). \] Поскольку \[ \ep +\em =1, \] получаем \[ \tag{32} \ln\j+\ln(-\j)=i\pi. \] Отсюда комплексная единица восстанавливается через два гиперболических логарифма: \[ \tag{33} \boxed{ i = \frac{ \ln\j+\ln(-\j) }{\pi}. } \]

Разность тех же логарифмов равна \[ \tag{34} \ln(-\j)-\ln\j = i\pi \left( \ep -\em \right). \] Так как \[ \ep -\em =\j, \] получаем \[ \tag{35} \boxed{ i\j = \frac{ \ln(-\j)-\ln\j }{\pi}. } \]

Таким образом, сумма логарифмов выделяет комплексную единицу \(i\), а разность — смешанное направление \(i\j\). Обратные соотношения имеют вид \[ \tag{36} \boxed{ \ln\j = \frac{\pi}{2} \left( i-i\j \right), } \] \[ \tag{37} \boxed{ \ln(-\j) = \frac{\pi}{2} \left( i+i\j \right). } \]

В матричной форме это преобразование записывается как \[ \tag{38} \begin{pmatrix} i\\ i\j \end{pmatrix} = \frac{1}{\pi} \begin{pmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ln\j\\ \ln(-\j) \end{pmatrix}. \] Обратное преобразование: \[ \tag{39} \begin{pmatrix} \ln\j\\ \ln(-\j) \end{pmatrix} = \frac{\pi}{2} \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i\\ i\j \end{pmatrix}. \]

Из формул (28) и (30) непосредственно следуют комплексные направления идемпотентных плоскостей: \[ \tag{40} \boxed{ i\ep = \frac{\ln(-\j)}{\pi}, \qquad i\em = \frac{\ln\j}{\pi}. } \] Деление на \(i\) даёт сами идемпотенты: \[ \tag{41} \boxed{ \ep = \frac{\ln(-\j)}{i\pi}, \qquad \em = \frac{\ln\j}{i\pi}. } \]

Следовательно, весь и-базис можно записать через логарифмы гиперболических единиц: \[ \tag{42} \boxed{ \left\{ \ep ,\; i\ep ,\; \em ,\; i\em \right\} = \left\{ \frac{\ln(-\j)}{i\pi},\; \frac{\ln(-\j)}{\pi},\; \frac{\ln\j}{i\pi},\; \frac{\ln\j}{\pi} \right\}. } \]

Это равенство показывает, что действительные направления и-базиса задаются логарифмами \(\j\) и \(-\j\), делёнными на \(i\pi\), а комплексные направления — теми же логарифмами, делёнными на \(\pi\).

Из равенства \[ \ln\j=i\pi\em \] следует \[ \tag{43} \j^b = e^{b\ln\j} = e^{i\pi b\em }. \] Используя формулу (25), получаем \[ \tag{44} \boxed{ \j^b = \ep + \em e^{i\pi b}. } \]

Разложение в ряд имеет вид \[ \tag{45} \j^b = 1+ \em \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(i\pi b)^n}{n!}. \] Тем самым степенная функция гиперболической единицы определяется как обычная комплексная экспонента, локализованная в одной из двух идемпотентных плоскостей.

Комплексный логарифм является многозначным. Поэтому для \(\j\) возможны ветви \[ \tag{46} \ln\j = i(\pi+2\pi n)\em , \qquad n\in\mathbb{Z}, \] а для \(-\j\) \[ \tag{47} \ln(-\j) = i(\pi+2\pi m)\ep , \qquad m\in\mathbb{Z}. \] В настоящей работе используются согласованные главные ветви \[ \tag{48} \ln\j=i\pi\em , \qquad \ln(-\j)=i\pi\ep . \] Именно этот выбор имеет минимальные аргументы и приводит к формулам (33), (35) и (42).

Первая комплексная плоскость имеет базис \[ \tag{49} \left\{ \ep ,\; i\ep \right\}, \] а вторая — \[ \tag{50} \left\{ \em ,\; i\em \right\}. \] Благодаря условию \[ \ep \em =0, \] эти плоскости алгебраически ортогональны: их смешанные произведения исчезают.

При этом единица и гиперболическая единица выражаются как сумма и разность двух идемпотентных направлений: \[ \tag{51} 1=\ep +\em , \qquad \j=\ep -\em . \] А комплексная и смешанная единицы выражаются как сумма и разность логарифмов: \[ \tag{52} i = \frac{\ln\j+\ln(-\j)}{\pi}, \qquad i\j = \frac{\ln(-\j)-\ln\j}{\pi}. \]

Таким образом, две пары базисных элементов связаны одинаковой симметрией: \[ \tag{53} \begin{aligned} 1&=\ep +\em , &\qquad \j&=\ep -\em ,\\ i&=i\ep +i\em , & i\j&=i\ep -i\em . \end{aligned} \] И-базис является разложением четырёхмерной алгебры на симметричную и антисимметричную комплексные части.

Полученные результаты можно представить в виде следующей логической цепочки: \[ \tag{54} \boxed{ i^2=-1, \qquad \j^2=1 } \] \[ \Downarrow \] \[ \tag{55} \boxed{ \left\{1,i,\j,i\j\right\} } \] \[ \Downarrow \] \[ \tag{56} \boxed{ \ep = \frac{1+\j}{2}, \qquad \em = \frac{1-\j}{2} } \] \[ \Downarrow \] \[ \tag{57} \boxed{ \left\{ \ep , i\ep , \em , i\em \right\} } \] \[ \Downarrow \] \[ \tag{58} \boxed{ \ln\j = i\pi\em , \qquad \ln(-\j) = i\pi\ep } \] \[ \Downarrow \] \[ \tag{59} \boxed{ i = \frac{\ln\j+\ln(-\j)}{\pi}, \qquad i\j = \frac{\ln(-\j)-\ln\j}{\pi} }. \]

Совместное рассмотрение комплексной единицы \(i\) и гиперболической единицы \(\j\) первоначально приводит к четырёхмерному базису \[ \left\{1,i,\j,i\j\right\}. \] Однако факторизация условия \(\j^2=1\) показывает, что более естественным является идемпотентное разложение \[ 1=\ep +\em , \qquad \j=\ep -\em . \]

На этой основе возникает и-базис \[ \left\{ \ep , i\ep , \em , i\em \right\}, \] который представляет исходную алгебру как прямую сумму двух независимых комплексных плоскостей.

Главный результат состоит в том, что комплексные направления этого базиса могут быть получены через логарифмы гиперболических единиц: \[ \ln\j=i\pi\em , \qquad \ln(-\j)=i\pi\ep . \] Отсюда следуют симметричные формулы \[ i = \frac{\ln\j+\ln(-\j)}{\pi}, \qquad i\j = \frac{\ln(-\j)-\ln\j}{\pi}. \]

Таким образом, комплексная единица \(i\) может рассматриваться как сумма двух логарифмических направлений, принадлежащих взаимно ортогональным идемпотентным плоскостям. И-базис в этой интерпретации является не искусственной заменой координат, а естественным следствием гиперболической структуры, комплексной экспоненты и логарифма.