В работе рассматривается обобщение классической формулы Эйлера на случай гиперкомплексной мнимой единицы четвёртого порядка, квадрат которой равен гиперболической единице. Такое расширение объединяет тригонометрические и гиперболические функции в единую алгебраическую структуру, естественно описывающую процессы в четырёхмерном пространстве. Показано, что экспонента с этой единицей раскладывается на тригонометрическую и гиперболическую части, а полученные тождества и идемпотентное представление позволяют установить глубокие связи между обычным и гиперболическим анализом.

Ранее мы получили выражение для гиперболического аналога формулы Эйлера для пространства 4D: \[\tag{1} \exp(\ia) = S_0 + \is^1 S_1 + \is^2 S_2 + \is^3 S_3 \\ S_0 = \frac12 (\ch\a + \cos\a) \\ S_1 = \frac12 (\sh\a + \sin\a) \\ S_2 = \frac12 (\ch\a - \cos\a) \\ S_3 = \frac12 (\sh\a - \sin\a) \\ \it = \sqrt{\mathstrut \i}, \quad \i^2 = +1 \] Здесь: \(\ch, \sh\) — гиперболический косинус и синус [1], \(\i\) — гиперболическое число [2], \(\it\) — гиперкомплексная мнимая единица четвёртого порядка.

Получим полезные тождества для частичных сумм \(S_0 \ldots S_3\), двигаясь от простых выражений к более сложным. \[\tag{2} \cos\a = S_0 - S_2, \quad \sin\a = S_1 - S_3 \\ \ch\a = S_0 + S_2, \quad \sh\a = S_1 + S_3 \] Суммы и разности квадратов пар
\[\tag{3} (S_0 + S_2)^2 - (S_1 + S_3)^2 = 1 \\ (S_0 - S_2)^2 + (S_1 - S_3)^2 = 1 \] Основные тождества для парных произведений
\[\tag{4} S_0 S_2 + S_1 S_3 = \frac12 \sh^2 \a \\ S_0 S_2 - S_1 S_3 = \frac12 \sin^2 \a \] Полезные квадратные тождества
\[\tag{5} S_0^2 - S_2^2 = \ch\a \cdot \cos\a \\ S_1^2 - S_3^2 = \sh\a \cdot \sin\a \\ S_1^2 + S_3^2 = 2 S_0 S_2 \\ S_0^2 + S_2^2 - 2 S_1 S_3 = 1 \] Вооружившись этими тождествами приступим к свойствам формулы Эйлер-типа с гиперкомплексной мнимой единицей четвёртого порядка.

Рассмотрим более подробно поведение и внутренние закономерности гиперкомплексной экспоненты \(\exp(\i\a)\), которая определяет взаимосвязь тригонометрических и гиперболических функций в четырёхмерном пространстве и формирует основу для описания его алгебраических и геометрических свойств.

1. Формула Эйлера-типа для \(ι\)
\[\tag{6} \exp(\ia) = S_0 + \it S_1 + \ik S_2 + \is^3 S_3, \quad \i = \is^2, \quad \is^4 = 1 \] 2. Сопряжения и чётности

Отсюда \[\tag{7} \exp(-\ia) = S_0 - \it S_1 + \ik S_2 - \is^3 S_3 \]

3. Произведение (аддитивность показателя)
так как ι коммутирует с действительными числами, \[\tag{8} \exp \ia \cdot \exp \ib = \exp \it (\a + \b), \] что в базисе \(\{1, \it, \i, \is^3\}\) даёт свёрточные формулы для \(S_k(\a + \b)\). Например, \[\tag{9} S_0(\a + \b) = S_0(\a) S_0(\b) + S_2(\a) S_2(\b) + S_1(\a) S_3(\b) + S_3(\a) S_1(\b) \\ S_1(\a + \b) = S_0(\a) S_1(\b) + S_1(\a) S_0(\b) + S_2(\a) S_3(\b) + S_3(\a) S_2(\b) \]

4. Связь с «классическими» экспонентами
\[\tag{10} \exp \i a = (S_0 + S_2) + \i (S_1 + S_3) \\ \exp i a = (S_0 - S_2) + i (S_1 - S_3) \] где: \(i\) — классическая мнимая единица [3].

Сначала получим базовые тригонометрические и гиперболические функции с \(\it\) в показателе: \[\tag{11} \cos \ia = \frac12 \left[ (\ch\a + \cos\a) - \ik (\ch\a - \cos\a) \right] \\ \sin \ia = \frac{\it}{2} \left[ (\sh\a + \sin\a) - \ik (\sh\a - \sin\a) \right] \\ \ch \ia = \frac12 \left[ (\ch\a + \cos\a) + \ik (\ch\a - \cos\a) \right] \\ \sh \ia = \frac{\it}{2} \left[ (\sh\a + \sin\a) + \ik (\sh\a - \sin\a) \right] \] Теперь, введя для краткости некоторые упрощения \[ S_k(\a) = S_k^{\a}, \quad S_k(\b) = S_k^{\b}, \] выведем произведения двух углов: \[\tag{12} \cos\ia \, \cos\ib = (S_0^{\a} S_0^{\b} + S_2^{\a} S_2^{\b}) - \ik (S_0^{\a} S_2^{\b} + S_2^{\a} S_0^{\b}) \\ \sin\ia \, \sin\ib = -(S_1^{\a} S_3^{\b} + S_3^{\a} S_1^{\b}) + \ik (S_1^{\a} S_1^{\b} + S_3^{\a} S_3^{\b}) \\ \cos\ia \, \sin\ib = \it (S_0^{\a} S_1^{\b} + S_2^{\a} S_3^{\b}) - \is^3 (S_0^{\a} S_3^{\b} + S_2^{\a} S_1^{\b}) \] Полученные результаты показывают, что операции с гиперкомплексной мнимой единицей сохраняют привычную структуру тригонометрических соотношений, но раскрывают их в более широком, четырёхмерном контексте. Это создаёт основу для перехода к следующему этапу — рассмотрению внутренней связи между различными мнимыми единицами и построению их общего идемпотентного представления.

В формуле (10) мы уже пробовали делать такую связку. Давайте немного это обобщим.

Рассмотрим следующую формулу: \[\tag{13} \is = {1 + \i \over 2} + i {1 - \i \over 2} = {1 + i \over 2} + \ik {1 - i \over 2} \] В ней легко проверяется, что: \(\is^2 = \i\).

На основании этого введём идемпотенту \[\tag{14} \nu_{\pm} = {1 \pm \i \over 2} \] обладающую следующими свойствами: \[\tag{15} \nu_{\pm}^2 = \nu_{\pm}, \quad \nu_{+} \nu_{-} = 0, \quad \ik \nu_{\pm} = \pm\nu_{\pm} \] Тогда \[\tag{16} \is = \nu_{+} + i \nu_{-} \] и тогда \[\tag{17} \exp \ia = \nu_{+} \exp(\a) + \nu_{-} \exp(i \a) \]

Очень необычно выглядит преобразование синусов и косинусов с \(\it\) в показателе функции, в представлении идемпотенты и мнимой единицы: \[\tag{19} \cos\ia = \nu_{+} \cos\a + \nu_{-} \ch\a \\ \sin\ia = \nu_{+} \sin\a + i \nu_{-} \sh\a \\ \ch\ia = \nu_{+} \ch\a + \nu_{-} \cos\a \\ \sh\ia = \nu_{+} \sh\a + i \nu_{-} \sin\a \] Откуда следует значение экспоненты, где в показателе одновременно присутствуют мнимая единица и гиперкомплексная единица четвёртого порядка: \[\tag{20} \exp(i\ia) = \nu_{+} \exp(i\a) + \nu_{-} \exp(-\a) \] Также, может быть интересны косинус и синус, в показателе которых одновременно присутствуют мнимая единица и гиперкомплексная единица четвёртого порядка: \[\tag{21} \cos(i\ia) = \nu_{+} \cos\a + \nu_{-} \ch\a \\ \sin(i\ia) = \nu_{+} \sin\a + i \nu_{-} \sh\a \] где значения соответствующих формул такие же, как в (19). В данном случае гиперкомплексная единица четвёртого порядка поглощает мнимую единицу.

Аналогично выглядят и произведения синусов и косинусов для двух углов: \[\tag{22} \cos\ia \, \cos\ib = \nu_{+} \cos\a\, \cos\b + \nu_{-}\, \ch\a\kern3pt \ch\b \\ \sin\ia \, \sin\ib = \nu_{+} \sin\a\, \sin\b - \nu_{-}\, \sh\a\kern3pt \sh\b \\ \cos\ia \, \sin\ib = \nu_{+} \cos\a\, \sin\b + i \nu_{-}\, \ch\a\kern3pt \sh\b \] Также, нестандартно смотрится и сумма двух углов: \[\tag{23} \cos \is (\a \pm \b) = \nu_{+} \cos (\a \pm \b) + \nu_{-}\, \ch\! (\a \pm \b) \\ \sin \is (\a \pm \b) = \nu_{+} \sin (\a \pm \b) + i \nu_{-}\, \sh\! (\a \pm \b) \\ \ch \is (\a \pm \b) = \nu_{+}\, \ch\! (\a \pm \b) + \nu_{-} \cos (\a \pm \b) \\ \sh \is (\a \pm \b) = \nu_{+}\, \sh\! (\a \pm \b) + i \nu_{-} \sin (\a \pm \b) \] Таким образом, введённая гиперкомплексная мнимая единица четвёртого порядка \(\is\), удовлетворяющая \(\is^2 = \i, \i^2 = 1\), позволяет обобщить классическую формулу Эйлера. Полученные выражения связывают гиперболические и тригонометрические функции в единой алгебраической структуре, обеспечивая компактное описание четырёхмерных вращений и растяжений.