Математика постоянно открывает новые формы чисел, расширяя наше представление о пространстве и симметрии. В этой работе рассматривается следующий шаг — введение особой единицы, которая позволяет построить новое четырёхмерное пространство с естественными правилами умножения и богатой геометрической интерпретацией.

Хорошо известна формула Эйлера [1], где экспонента содержит в показателе степени мнимую единицу, с помощью которой, в общем случае, можно организовать 2D пространство над \(\mathbb{R}\): \[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \] где: \(i\) — мнимая единица [2].

В этой работе мы получим пространство 4D над \(\mathbb{R}\) при помощи новой мнимой единицы, обладающим рядом преимуществ в сравнении с аналогичными алгебрами. В числе прочих — коммутативность алгебры, математически обоснованный базис, чем не могут похвастаться, например, кватернионы [3]. Но начнём — с гиперболического аналога формулы Эйлера для пространства 4D: \[ e^{\it x} = a + \is^1 b + \is^2 c + \is^3 d \]

Представленная здесь алгебра изоморфна \(\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}\) и может быть раскладываться над подалгебры, например, на пару комплексных чисел и работать с ними независимо. В ней легко вводить сопряжения, нормы, и работать с рядами вида \(e^{\iota x}\). Здесь можно строить и отражения, и более экзотические перестановки между степенями. То есть симметрий потенциально больше, чем у кватернионов.

Назовем новое мнимое число «йота» — по имени этого символа. Более строгое его наименование — гиперкомплексная мнимая единица четвёртого порядка.

Необходимо заметить, что получить значение такого квадратного корня в области действительных или даже комплексных чисел невозможно. Для его описания требуется расширение до гиперкомплексных чисел. Покажем, почему это так.

• В области вещественных чисел \(\sqrt{\mathstrut \i}\) невозможен, потому что \(\i\) там вообще не существует (ведь \(\i^2 = +1\), но \(\i \ne \pm 1\)).
• В области комплексных чисел тоже не получится: если бы \(\i\) принадлежала \(\mathbb{C}\), то из \(\is^2 = \i\) следовало бы, что \(\i \in \mathbb{C}\). Но в комплексных числах не существует элемента, квадрат которого равен \(+1\), кроме \(\pm 1\). А нам нужен новый, независимый от них.
• Следовательно, \(\it = \sqrt{\mathstrut \i}\,\) — это новая гиперкомплексная единица, которая требует расширения алгебры \(\mathbb{C}\).

В современных терминах, фактически вводится новый генератор \(\it\) для алгебры \(\mathbb{R}[t]/(t^4 - 1)\). Новая алгебра при этом имеет базис: \[\tag{2} \{1, \is^1, \is^2, \is^3\} \]

Некоторые косвенные пути для понимания нового числа мы изложим чуть ниже. А пока найдём степени этой новой единицы: \[\tag{3} \is^1 = \is, \quad \is^2 = \i, \quad \is^3 = \i \is, \quad \is^4 = 1 \] Хорошо заметно, что эти значения будут повторяться через каждые четыре шага. Это свойство мы будем активно использовать далее.

В степенной ряд, представляюший собой разложение экспоненциальной функции по Маклорену [5] \[\tag{4} \exp x = \sumn0 {x^n \over n!}, \] подставим \[\tag{5} x = \ia \] Получится следующий ряд с повторяющимися мнимыми коэффициентами при его членах: \[\tag{6} \exp(\ia) = 1 + \it {\a^1 \over 1!} + \ik {\a^2 \over 2!} + \i\it {\a^3 \over 3!} + 1 {\a^4 \over 4!} + \it {\a^5 \over 5!} + \ldots \]

Графики функций таких частичных сумм приводятся на следующем рисунке:

Можно сделать проверку, если сложить эти частичные суммы без мнимых коэффициентов. В результате мы снова получим функцию экспоненты: \[\tag{8} S_0 + S_1 + S_2 + S_3 = \exp\a \] Проверить частичные суммы можно и таким способом: \[\tag{9} S_0 - S_1 + S_2 - S_3 = \exp(-\a) \] Также, могут быть интересны некоторые сочетания квадратов частичных сумм: \[\tag{10} S_0^2 + S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = \ch\!^2 \a \\ S_0^2 - S_1^2 + S_2^2 - S_3^2 = \cos^2\!\a \] Можно получить и совсем неочевидные комбинации: \[\tag{11} S_1^2 + S_3^2 = 2 S_0 S_2 \\ S_0^2 + S_2^2 = 1 - 2 S_1 S_3 \] Такие тождества могут оказаться полезными для работы с модулями. Более развёрнуто они будут представлены в следующем разделе этой работы.

Сопряжённую функцию к \(\exp(\ia)\) удобно определить заменой \(\it \mapsto -\it\). Тогда разложение (7) принимает вид: \[\tag{12} \overline{\exp(\ia)} = \exp(-\ia) = S_0 - \is^1 S_1 + \is^2 S_2 - \is^3 S_3 \] Алгебраический модуль определяется аналогично комплексному случаю — как произведение функции на её сопряжённую: \[\tag{13} |\exp(\ia)| = \sqrt{\,\overline{\exp(\ia)} \cdot \exp(\ia)} = 1 \] В то же время евклидова норма в пространстве коэффициентов \((S_0, S_1, S_2, S_3)\) вычисляется по формуле: \[\tag{14} \sqrt{S_0^2 + S_1^2 + S_2^2 + S_3^2} = \ch a \] Таким образом, алгебраический модуль и евклидова длина определяются по-разному, и имеют различное значение.

Алгебраический модуль (13) показывает, что экспонента с мнимой единицей \(\it\) всегда остаётся на «алгебраической окружности» радиуса 1, аналогично тому, как \(e^{i a}\) описывает единичную окружность в комплексной плоскости. Евклидова норма (14), напротив, характеризует геометрию пространства коэффициентов и задаёт поверхность гиперболической сферы в четырёхмерном пространстве. Таким образом, модуль и евклидова длина описывают разные структуры: первый связан с внутренней симметрией алгебры, второй — с геометрией действительного 4D-пространства.

Определение. Пусть \(\it\) — гиперкомплексная единица, такая что \[\tag{15} \is^2 = \i, \quad \i^2 = 1, \quad \is^4 = 1 \] Тогда множество всех выражений вида \[\tag{16} z = S_0 + \is^1 S_1 + \is^2 S_2 + \is^3 S_3, \quad S_l \in \mathbb{R}, \] образует линейное пространство над \(\mathbb{R}\), которое мы будем обозначать \(\mathbb{R}_{\it}^4\).

Свойства:

• Размерность пространства равна 4, а его базис: \(\{1, \is^1, \is^2, \is^3\}\).
• Умножение в \(\mathbb{R}_{\it}^4\) определяется по правилу степеней \(\it\): \[\is^k \cdot \is^m = \is^{(k+m)\, \mathbb{mod}\, 4}. \]
• В отличие от кватернионов, умножение здесь коммутативно и ассоциативно.
• Множество \(\mathbb{R}_{\it}^4\) является одновременно и алгеброй, т.е. в нём определены линейные операции и согласованное умножение.

По сути, это можно назвать новым 4D гиперкомплексным пространством на базе \(\it\), так как оно не совпадает ни с кватернионами, ни с обычными комплексными числами, ни с двойными числами.

Для обычных комплексных чисел экспонента имеет вид \[ e^{i x} = \cos x + i \sin x ,\] а её модуль равен \[|e^{i x}| = \sqrt{e^{i x} \cdot e^{-i x}} = 1 .\] В случае гиперкомплексной единицы \(\it\) структура сохраняется: алгебраический модуль \(|\exp(\ia)|\) также равен единице, см. (13). Однако евклидова норма (14) уже отличается и выражается через гиперболический косинус: \(\ch \a\). Таким образом, аналогия с комплексным случаем сохраняет «единичную окружность», но дополняется новым гиперболическим слоем в пространстве коэффициентов. Кроме того, вмеcто 2D мы получаем 4D пространство.

Кватернионы имеют три мнимые единицы \(i,j,k\) и являются некоммутативной алгеброй. Их модуль задаётся евклидовой нормой \[|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}, \] и сохраняется при всех вращениях группы автоморфизмов SO(3). В отличие от них, гиперкомплексная система с единицей \(\it\) остаётся коммутативной и обладает более богатым набором сопряжений. Новая алгебра сочетает свойства комплексных чисел (сохранение модуля) и расширенные гиперболические симметрии, которых у кватернионов нет.

В отличие от кватернионов, где мнимые единицы \(i,j,k\) и правила их перемножения вводятся как постулаты например, \[ ij = k, \quad ijk = -1, \] то в случае гиперкомплексной единицы базис и правила умножения всех его степеней вытекают из строго математических соотношений. Так, из определения \(\is^2 = \i\) следует \[ \it \cdot \is^2 = \is^3, \quad \is \cdot \is^3 = 1, \quad \is^2 \cdot \is^3 = \it, \] и т.д. — то есть вся алгебра, и её базис, строится естественным образом через степени и их свойства.

В данной работе введена новая гиперкомплексная мнимая единица четвёртого порядка \(\it\), определяемая как квадратный корень из гиперболической единицы. Построенная на её основе алгебра \(\mathbb{R}_{\it}^4\) образует 4-мерное пространство над \(\mathbb{R}\), отличное как от комплексных чисел, так и от кватернионов и двойных чисел.

Основные свойства нового пространства:

• коммутативность и ассоциативность умножения;
• естественный базис, возникающий из степеней \(\it\), а не постулируемый, как в случае кватернионов;
• наличие нескольких согласованных определений модуля и сопряжений;
• развитая структура симметрий, включающая как комплексные аналоги, так и новые гиперболические преобразования.

Таким образом, предложенная конструкция открывает возможность рассматривать экспоненциальные функции, ряды и геометрические интерпретации в новом гиперкомплексном пространстве. Её дальнейшее изучение может быть полезно как в чисто алгебраических исследованиях, так и в приложениях, где требуются новые способы описания многомерных симметрий.

Естественный следующий шаг, — ввести ещё одно новое гиперкомплексное число: \(\sqrt{\it}\) и получить пространство йота-октанионов 8D. По такому же принципу можно получить и более мощные пространства с размерностью \(2^N\). Все они будут обладать преимуществами представленной здесь алгебры, например коммутативностью и ассоциативностью. Такие структуры могут найти применение в моделировании многомерных симметрий, квантовой физике, теории струн и теории информации, где требуется естественная работа с высокоразмерными числами.