Эта заметка, при помощи строгой и беспощадной математики, позволяет доказать, что сумма квадратов и квадрат суммы в электродинамике равны :) На самом деле, такой подход верен для линейных накопительных электродинамических систем, пример которой был представлен этой работе. В таких системах накопление энергии происходит по закону квадрата суммы, а затраты на каждое накопление (итерацию) представляют собой квадрат тока или напряжения, что в конечном счёте приводит нас к сумме квадратов. Баланс энергий, в этом случае, составляется, как отношение квадрата суммы к сумме квадратов. Здесь мы докажем, что формула (17) баланса энергий (или КПД) будет равна единице при любых значениях i — числа итераций. Напомним только, что рассматривается идеальный случай, без потерь.

Запишем эту формулу, подставив туда все значения: \[\eta_i = {S^2 \left( \sum \limits_{n=1}^i C^{n-1} \right)^2 \over \sum \limits_{m=1}^i \left[ 1 - \left(C - S^2 \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 \right] } \tag{1}\] Также напомним, что здесь, для упрощения восприятия и написания формул, введены следующие обозначения: \[ \sin(\omega_0 \tau) = S, \quad \cos(\omega_0 \tau) = C \tag{2}\] где: \(\omega_0\) — круговая резонансная частота контура, \(\tau\) — время одной итерации. Для этой заметки такие данные не нужны, здесь мы будем иметь дело исключительно с синусами, косинусами и их суммами.

В последующем, мы будем работать со знаменателем из формулы (1), который обозначим как \(D\), и в котором сразу же раскроем скобки: \[ D = \sum \limits_{m=1}^i \left[ 1 - C^2 + 2 C S^2 \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} - S^4 \left( \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 \right] \tag{3}\] Благодаря свойству \(S^2 = 1 - C^2\) предыдущее выражение превратиться в: \[ D = S^2 \sum \limits_{m=1}^i \left[ 1 + 2 C \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} - \left( 1 - C^2 \right) \left( \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 \right] \tag{4}\] Снова раскрывая скобки, и группируя, мы получим: \[ D = S^2 \sum \limits_{m=1}^i \left[ \left( 1 + C \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 - \left( \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 \right] \tag{5}\] А теперь осталось рассмотреть и упростить следующее выражение: \[ C \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} = \sum \limits_{n=1}^{m} C^{n-1} - 1 \tag{6}\] Подставив его в (5) мы получаем \[ D = S^2 \sum \limits_{m=1}^i \left[ \left( \sum \limits_{n=1}^{m} C^{n-1} \right)^2 - \left( \sum \limits_{n=1}^{m-1} C^{n-1} \right)^2 \right] \tag{7}\] откуда выходит, что \[ D = S^2 \left( \sum \limits_{n=1}^i C^{n-1} \right)^2 \tag{8}\] Очевидно теперь, что числитель и знаменатель в формуле (1) равны, а значит: \[\eta_i = 1 \tag{9}\] Это означает, что КПД линейного накопительного устройства в идеальном случае (без потерь) равен единице при любом числе итераций. Что и требовалось доказать.