Эта заметка посвящена одной интересной теме об индуктивности, как накопителе энергии. Бытует мнение, что если заряжать индуктивность порциями, то ток в ней будет линейно увеличиваться, а значит в результате мы получим энергию, равную квадрату этого тока, в то время, как порции энергии нужно будет суммировать. Из математики известно, что квадрат суммы больше суммы квадратов, а следовательно, таким образом, мы получим энергетический выигрыш. В этой работе мы равеем этот миф и покажем, что при любых значениях интервалов и порций энергетическую прибавку получить невозможно. Кончно же, этот подход касается только классических представлений и не учитывает неклассические эффекты, которые могут возникать в LC-цепях.

О чём вообще идёт речь? Допустим, что мы вносим в индуктивность ток порциями, причём после каждой такой порции ток растёт в ней линейно. Для простоты положим, что индуктивность \(L\) составляет 1 Гн, а каждая порция прибавляет ток \(I\) на 1 А. Тогда накопленный ток за четыре (например) порции будет равен: \[I_4 = I_1 + I_1 + I_1 + I_1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\, (A) \tag{1}\] Энергия же в катушке нарастает квадратично и в конце 4-х порций она станет равной: \[W_L = {L\, I_4^2 \over 2} = {1 \cdot 4^2 \over 2} = 8\, (J) \tag{2}\] С другой стороны, каждая порция энергии, затрачиваемая на разгон индуктивности, пропорциональна квадрату тока в отдельности, что в сумме даёт следующий результат: \[W_C = {L\, I_1^2 \over 2} + {L\, I_1^2 \over 2} + {L\, I_1^2 \over 2} + {L\, I_1^2 \over 2} = 2\, (J) \tag{3}\] Внимание: мы затратили на зарядку индуктивность 2 Дж энергии, а получили на выходе 8 Дж. Энергетический выигрыш — в 4 раза, а если количество порций увеличить, то пропорционально увеличится и выигрыш! На математическом языке это звучит так: квадрат суммы больше суммы квадратов, что, в принципе, верно. Такие рассуждения можно встретить у некоторых исследователей свободной энергии. Чтобы им не идти в этом направлении, и не терять на это своё драгоценное время, мы и посвятили эту работу.

Для нахождения правильных энергетических соотношений затрачиваемой и получаемой энергии создадим идеальную установку, где не будет потерь, а подкачка энергии в каждой порции будет реализована наилучшим образом. Понятно, что тогда в реальной установке КПД будет ещё ниже.

На рисунке 1a представленая такая накачка. Здесь источник питания U поддерживает конденсатор C в заряженном до значения \(U_C\) напряжении, причём делает это мгновенно, беззатратно и тогда, когда ёмкость отключена от индуктивности. За это отвечает блок UP. Ёмкость подключается к индуктивности при помощи блока SW, который её подключает всегда одной и той же полярностью, т.к. в процессе работы с индуктивностью она может перезаряжаться. Это позволяет течь току I всегда в одном и том же направлении. Таким образом создаются идеальные условия, при которых потерь нет и вся энергия течёт в индуктивность.

Далее мы рассмотрим одну порцию накачки (одну итерацию), схема которой представлена на рисунке 1b. Для неё мы предварительно уже зарядили конденсатор до напряжения \(U_{C0}\), после чего замкнули ключ SW. Формулы для такого переходного процесса мы можем подсмотреть в этой работе. Поскольку в нашей схеме потерь нет, то мы сможем воспользоваться выражениями (2.17) и (2.22), в которых присвоим: \(R = \alpha = 0\). Перепишем эти формулы с учётом наших условий: \[ I = {U_{C0} \over Z} \sin(\omega_0 t) + I_0 \cos(\omega_0 t) \\ U_C = U_{C0} \cos(\omega_0 t) - I_0 Z \sin(\omega_0 t) \tag{4}\] Напомним, что здесь \(I_0\) — начальный ток в цепи, \(U_{C0}\) — начальное напряжение на конденсаторе, \(\omega_0 = {1 / \sqrt{L\, c}}\) — круговая резонансная частота, а \(Z = \sqrt{L / c}\), называемое также волновым сопротивлением. По рисунку 1b: \(L\) — индуктивность катушки L, \(c\) — ёмкость конденсатора C.

Мы постоянно подзаряжаем ёмкость C и подключаем её к индуктивности L, в которой уже имеется накопленный ранее ток. Перепишем формулы (4) для такого итерационного процесса: \[ I_i = {U_{C0} \over Z} \sin(\omega_0 \tau) + I_{i-1} \cos(\omega_0 \tau) \\ U_{Ci} = U_{C0} \cos(\omega_0 \tau) - I_{i-1} Z \sin(\omega_0 \tau) \tag{5}\] где: \(I_i, I_{i-1}\) — ток текущей и предыдущей итерации соответственно, причём \(I_0 = 0\) — начальный ток перед началом всего процесса накачки, \(\tau\) — время одной итерации, после окончания которого далее мы будем считать ток и напряжение каждого шага итерации.

Давайте временно упростим наши формулы для лучшего их восприятия, и введём такие обозначения: \[ \sin(\omega_0 \tau) = S, \quad \cos(\omega_0 \tau) = C \tag{6}\] а начальному напряжению и волновому сопротивлению присвоим значение единицы: \[ U_{C0} = Z = 1 \tag{7}\] Тогда упрощённые формулы буду выглядеть так: \[ I_i = S + I_{i-1} C \\ U_{Ci} = C - I_{i-1} S \tag{8}\] Теперь посмотрим, как будут считаться токи на разных шагах итерации: \[ I_1 = S \\ I_2 = S + I_1 C = S (1 + C) \\ I_3 = S + I_2 C = S (1 + C + C^2) \\ ... \tag{9}\] Видна очевидная закономерность для нахождения тока на i-том шаге итерации: \[ I_i = S \sum \limits_{n=1}^i C^{n-1} \tag{10}\] Для полноты картины нам необходимо также найти напряжение и на конденсаторе, на каждом шаге итерации. Из выражения (8) выведем эти значения: \[U_{Ci} = C - I_{i-1} S = C - S^2 \sum \limits_{n=1}^{i-1} C^{n-1} \tag{11}\] Исключением будет являться случай при i=1. Мы помним, что \(I_0 = 0\), следовательно: \(U_{C1} = C\). Этот случай наступает, когда мы накапливаем энергию однократно (за один цикл), и хотя он в реальности не будет рассматриваться, обратить на него внимание было всё же необходимо.

Посмотрим на графики полученных функций (10) и (11), они показаны на рисунках 2 и 3. Для их построения мы взяли: \(\omega_0 = 2\pi, \tau= 0.12\). На графике 2 можно найти относительно линейный участок роста тока на каждом шаге итерации, и чем меньше будет \(\tau\), тем больше таких точек на линейном участке будет наблюдаться. Но далее, рост тока замедляется, и процесс постепенно переходит в стационарный режим (рис. 3).

Выше мы подсчитали ток и напряжение на любом шаге итерации, а теперь, благодаря этому, мы сможем подсчитать баланс между энергией, затрачиваемой на заряд ёмкости, и энергией, накопленной катушкой за любое число итераций. Собственно, из-за баланса и появилась эта заметка; он должен нам показать эффективность установок, работающих на таком принципе.

Вспомним, как подсчитывается потенциальная энергия индуктивности с током и энергия заряженного конденсатора [1,2]: \[ W_{L} = {L\, I^2 \over 2} \\ W_{C} = {c\, U_{C}^2 \over 2} \tag{12}\] Теперь нам нужно просто поступить так же, как мы это делали в самом начале, в формулах (2) и (3). На i-том шаге итерации энергия в индуктивности будет накоплена следующая: \[ W_{Li} = {L\, I_i^2 \over 2} \tag{13}\] Ёмкость же мы подзаряжаем на каждом шаге итерации заново: от напряжения предыдущей итерации, до \(U_{C0}\). Следовательно, после каждой итерации мы тратим на подзарядку конденсатора такую энергию: \[ W_{Сn} = {с\, U_{C0}^2 \over 2} - {с\, U_{Cn}^2 \over 2} \tag{14}\] Тогда общая энергия на подзарядку конденсатора за i итераций будет такая: \[ W_{Сi} = \sum \limits_{n=1}^i \left( {с\, U_{C0}^2 \over 2} - {с\, U_{Cn}^2 \over 2} \right) \tag{15}\] Отсюда найдём баланс энергий, применяя классическую формулу для КПД: \[ \eta_i = {W_{Li} \over W_{Ci}} \tag{16}\] Поскольку мы договорились, что пока \(Z = \sqrt{L / c} = 1\), а \(U_{C0} = 1\), то искомый КПД, при любом числе итераций, находится окончательно так: \[ \eta_i = {I_i^2 \over \sum \limits_{n=1}^i \left( 1 - U_{Cn}^2 \right)} \tag{17}\] Здесь \(I_i\) находится по формуле (10), а \(U_{Cn}\) — по формуле (11). Вы можете подставить реальные значения ёмкости, индуктивности и начального напряжения зарядки конденсатора — результат не изменится, а формула останется в том же виде, как она представлена в (17).

Более наглядно эти закономерности изображены на рисунках 4 и 5. Для их построения мы взяли: \(\omega_0 = 2\pi, \tau= 0.12\), а число итераций: от 1 до 10. Но значение КПД будет точно таким же при любом числе итераций. Точное доказательство этого приводится здесь.

Можно однозначно сказать, что при любых значениях индуктивности, ёмкости, напряжения зарядки и времени одной итерации, КПД такого принципа, на любом шаге итерации, равно единице (см. рис. 5 или эту работу). Несмотря на наши ожидания, природа распорядилась своей энергией по-своему, представив это в оригинальной математике (формула 17).

В этой заметке мы использовали идеальные условия, без потерь. В реальности же нужно будет учитывать такие потери и КПД переключающих цепей. Таким образом, реальный КПД устройства, собранного на таком принципе, будет всегда меньше единицы.

Конечно же, в этой работе не учитываются неклассические эффекты, которые могут проявляться в подобных устройствах. Для расчёта таких явлений требуется другая математика, которая здесь не представлена.