В классической литературе [1] процессы в колебательных контурах (КК) описаны достаточно хорошо, однако для практического применения, обычно, не хватает конкретных инженерных формул, со всеми необходимыми вариантами начальных условий. Эта работа посвящена заполнению этих пробелов и может служить, как напоминалка для инженера. В ней будут рассмотрены два вида контуров — последовательный и параллельный, по несколько вариантов начальных условий в каждом из них, а в каждом таком варианте — ещё по три случая с возможными комбинациями корней уравнения.

Для простоты записи мы будем использовать следующую форму: \[I = I(t), \quad I_{t}^{'} = {\partial I(t) \over \partial t}, \quad I_{tt}^{''} = {\partial^2 I(t) \over \partial t^2} \] где: \(I(t)\) — ток, зависящий от времени, а \(t\) — время.

Здесь мы рассмотрим последовательный КК, и некоторые варианты его включения в цепь (рис. 1). Источник питания \(U\) считаем с постоянным напряжением. Цепи с переменным источником питания мы рассмотрим в следующих главах.

Тогда полное уравнение цепи, согласно рисунку 1, запишется так: \[L\, I_{tt}^{''} + R\, I_{t}^{'} + \frac{1}{C} I = 0, \quad U = const \tag{1.1}\] Здесь \(L\) — индуктивность, \(R\) — активное сопротивление, \(C\) — ёмкость.

Полное решение такого уравнения выглядит так: \[I = A\, \mathbf{e}^{p_1 t} + B\, \mathbf{e}^{p_2 t} \tag{1.2}\] где \(A, B\) — некоторые постоянные, которые будут зависеть от начальных условий в нашей цепи, а \(p_1, p_2\) — корни характеристического уравнения, которые находятся так: \[p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \tag{1.3}\] В свою очередь, здесь: \[\alpha = {R \over 2 L}, \quad \omega_0^2 = {1 \over LC} \tag{1.4}\] Теперь мы можем перейти к получению конкретных инженерных формул. В данной работе мы не будем подробно расписывать получение таких формул, это без труда можно сделать на основе предоставленного ранее материала.

Такой вариант цепи представлен на рисунке 1a. Мы рассматриваем переходной процесс, возникающий сразу после замыкания цепи при помощи ключа \(SW\), начальные условия которого определяются так: \[I(0) = 0, \quad I_t^{'}(0) = {U \over L} \tag{1.5}\] Отсюда находятся постоянные \(A,B\), на основе которых выводится формула переходного процесса: \[I = {U \mathbf{e}^{-\alpha t} \over 2 \omega L} \left( \mathbf{e}^{\omega t} - \mathbf{e}^{-\omega t} \right) \tag{1.6}\] Здесь, и далее в этой работе: \[\omega = \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}, \quad \overline\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \quad \tag{1.7}\] Напряжение на резисторе \(R\) находится умножением оного на полученный в (1.6) ток: \[U_R = I\,R \tag{1.8}\] Напряжение на индуктивности \(L\) ищется, как производная от этого тока: \[U_L = L\, I_{t}^{'} \tag{1.9}\] Тогда напряжение на конденсаторе \(C\) находится из суммы напряжений в цепи: \[U_C = U - U_R - U_L \tag{1.10}\] На основе формулы (1.6) рассмотрим три возможных случая комбинаций \(\alpha\) и \(\omega_0\) в выражении (1.7).

В этом случае, формула переходного процесса для тока полностью повторяет выражение (1.6): \[I = {U \mathbf{e}^{-\alpha t} \over 2 \omega L} \left( \mathbf{e}^{\omega t} - \mathbf{e}^{-\omega t} \right) \tag{1.11}\] Напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = U \mathbf{e}^{-\alpha t} {\alpha \over \omega} \left( \mathbf{e}^{\omega t} - \mathbf{e}^{-\omega t} \right) \tag{1.12}\] \[U_L = U \mathbf{e}^{-\alpha t} {(\omega - \alpha) \mathbf{e}^{\omega t} + (\omega + \alpha) \mathbf{e}^{-\omega t} \over 2 \omega} \tag{1.13}\] \[U_C = U \left[1 - {(\omega + \alpha) \mathbf{e}^{\omega t} + (\omega - \alpha) \mathbf{e}^{-\omega t} \over 2 \omega} \mathbf{e}^{-\alpha t} \right] \tag{1.14}\]

Рис.2. График переходного процесса 1.2.1: ток в цепи (красная кривая), напряжение на индуктивности (голубая кривая) и напряжение на ёмкости (зелёная кривая), в зависимости от времени t. Параметры: U=1, L=0.05, ω0=2*π, α=7

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

Здесь \(p_1 = p_2\). Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, мы получим: \[I = {U\, t \over L} \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{1.15}\] Напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = U \mathbf{e}^{-\alpha t}\, 2 \alpha t \tag{1.16}\] \[U_L = U \mathbf{e}^{-\alpha t}\, (1 - \alpha t) \tag{1.17}\] \[U_C = U - U \mathbf{e}^{-\alpha t}\, (1 + \alpha t) \tag{1.18}\]

Рис.3. График переходного процесса 1.2.2: ток в цепи (красная кривая), напряжение на индуктивности (голубая кривая) и напряжение на ёмкости (зелёная кривая), в зависимости от времени t. Параметры: U=1, L=0.05, ω0=α=2*π

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

В этом случае корни \(p_{1,2}\) мнимые, а результат переходного процесса выглядит, как затухающие гармонические колебания: \[I = {U \over \overline\omega L} \mathbf{e}^{-\alpha t} \sin(\overline\omega t) \tag{1.19}\] Напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = U \mathbf{e}^{-\alpha t}\, {2 \alpha \over \overline\omega} \sin(\overline\omega t) \tag{1.20}\] \[U_L = U \mathbf{e}^{-\alpha t} \left(\cos(\overline\omega t) - {\alpha \over \overline\omega} \sin(\overline\omega t) \right) \tag{1.21}\] \[U_C = U - U \mathbf{e}^{-\alpha t} \left(\cos(\overline\omega t) + {\alpha \over \overline\omega} \sin(\overline\omega t) \right) \tag{1.22}\]

Рис.4. График переходного процесса 1.2.3: ток в цепи (красная кривая), напряжение на индуктивности (голубая кривая) и напряжение на ёмкости (зелёная кривая), в зависимости от времени t. Параметры: U=1, L=0.05, ω0=2*π, α=2

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

На следующей странице мы рассмотрим более сложный переходной процесс, при котором в катушке есть начальный ток, а на конденсаторе присутствует начальное напряжение (рис. 1b).