Здесь мы рассмотрим переходные процессы последовательного колебательного контура (КК), который переключается от источника постоянного напряжения \(U_0\) к \(U_1\). Очевидно что при этом, в индуктивности запасена некая энергия, и потому в цепи имеется начальное значение тока \(I_{0}\), а на ёмкости присутствует начальное напряжение \(U_{C0}\). Схема включения КК представлена на рисунке 1b.

Уравнение напряжений в цепи при этом не меняется и выглядит точно также, как и формулы (1.1-1.4) из предыдущего подраздела, а вот начальные условия, после замыкания ключа \(SW\), будут другими: \[ I(0) = I_{0}, \quad I_t^{'}(0) = {U_1 - R I_0 - U_{C0} \over L} = {U \over L} \tag{2.1}\] Общее решение уравнения (1.1) в любом случае будет таким: \[ I = {\mathbf{e}^{-\alpha t} \over 2 \omega} \left[\left( {U \over L} + (\alpha+\omega) I_0 \right) \mathbf{e}^{\omega t} - \left( {U \over L} + (\alpha-\omega) I_0 \right) \mathbf{e}^{-\omega t} \right] \tag{2.2}\] Здесь своеобразный начальный источник питания описывается выражением: \[ U = U_1 - R I_0 - U_{C0}, \quad R I_0 = 2\alpha L I_0 \tag{2.3}\] В этих и последующих формулах очень важно правильно определить один момент. Направление начального тока \(I_0\), которое, как мы уже знаем, может быть как положительным, так и отрицательным (см. рис. 4 - голубая кривая). В данном случае, этот ток течёт по тому же направлению, которое указано на рисунке 1b. Если начальный ток течёт в обратном направлении, то перед всеми \(I_0\), в формулах этого раздела, нужно поставить знак минус.

На основе формулы (2.2) рассмотрим далее три возможных случая комбинаций \(\alpha\) и \(\omega_0\).

В этом случае, формула переходного процесса для тока полностью повторяет выражение (2.2): \[ I = {\mathbf{e}^{-\alpha t} \over 2 \omega L} \bigg[\bigg( U + (\alpha+\omega) I_0 L \bigg) \mathbf{e}^{\omega t} - \bigg( U + (\alpha-\omega) I_0 L \bigg) \mathbf{e}^{-\omega t} \bigg] \tag{2.4}\] Здесь, и далее, не нужно забывать о нюансах с полярностью, описанных выше. Напряжения на элементах схемы, согласно формул (1.8-1.10), будут такими: \[U_R = {\alpha \over \omega} \bigg[ \bigg( U + (\alpha+\omega) I_0 L \bigg) \mathbf{e}^{\omega t} - \bigg( U + (\alpha-\omega) I_0 L \bigg) \mathbf{e}^{-\omega t} \bigg] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.5}\] \[U_L = {\alpha^2-\omega^2 \over 2 \omega} \left[ \left( {U \over \alpha-\omega} + I_0 L \right) \mathbf{e}^{-\omega t} - \left( {U \over \alpha+\omega} + I_0 L \right) \mathbf{e}^{\omega t} \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.6}\] \[U_C = U_1 - U_R - U_L \tag{2.7}\] Ниже приводятся графики переходного процесса для этого случая.

Рис.5. График переходного процесса 1.3.1: ток в цепи (красная кривая), напряжение на индуктивности (голубая кривая) и напряжение на ёмкости (зелёная кривая), в зависимости от времени t. Параметры: I0=+0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, ω0=2*π, α=7

Рис.6. Тот же график, но с другими параметрами начального тока: I0=-0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, ω0=2*π, α=7

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

Здесь корни равны друг другу (1.3): \(p_1 = p_2\). Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, мы получим: \[ I = \left[ \left( {U \over L} + \alpha I_0 \right) t + I_0 \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.8}\] Напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = 2 \alpha \left[ \left( U + \alpha I_0 L \right) t + I_0 L \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.9}\] \[U_L = \left[ (1 - \alpha t) U - \alpha^2 t\, I_0 L \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.10}\] \[U_C = U_1 - \left[ \left( U + \alpha I_0 L \right) (1 + \alpha t) + \alpha I_0 L \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.11}\] Ниже приводятся графики переходного процесса для этого случая.

Рис.7. График переходного процесса 1.3.2. Параметры: I0=+0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, α=ω0=2*π

Рис.8. Тот же график, но с другими параметрами начального тока: I0=-0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, α=ω0=2*π

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

В этом случае корни \(p_{1,2}\) мнимые (1.3), а результат переходного процесса выглядит, как затухающие гармонические колебания: \[ I = \bigg[ \bigg( {U \over L} + \alpha I_0 \bigg) {\sin(\overline\omega t) \over \overline\omega} + I_0 \cos(\overline\omega t) \bigg] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.12}\] Напомним только, что согласно (1.7): \[\overline\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha_0^2}\] Напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = 2 \alpha L \bigg[ \bigg( {U \over L} + \alpha I_0 \bigg) {\sin(\overline\omega t) \over \overline\omega} + I_0 \cos(\overline\omega t) \bigg] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.13}\] \[U_L = \left[ U \cos(\overline\omega t) - \bigg( \alpha U + \left[ \overline\omega^2 + \alpha^2 \right] I_0 L \bigg) {\sin(\overline\omega t) \over \overline\omega} \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.14}\] \[U_C = U_1 - U_R - U_L \tag{2.15}\] Ниже приводятся графики переходного процесса для этого случая.

Рис.9. График переходного процесса 1.3.3. Параметры: I0=+0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, ω0=2*π, α=3

Рис.10. Тот же график, но с другими параметрами начального тока: I0=-0.5, U1=0.1, UC0=0.9, L=0.05, ω0=2*π, α=3

Подпрограмму MathCAD для этого случая можно скачать здесь.

Этот достаточно распостранённый практический случай возникает, когда активное сопротивление \(R\) очень мало в сравнении с сопротивлением индуктивности на частоте её свободных колебаний. Другими словами, когда добротность КК достаточна высока, и составляет более 30 единиц. Напомним, что добротность последовательного КК находится так [1]: \[Q = {\omega_0 L \over R} \tag{2.16}\] Тогда формулы (2.12-2.15) можно упростить, и вывести их через добротность и волновое сопротивление: \[ I = \left[ {U \over Z} \sin(\omega_0 t) + I_0 \cos(\omega_0 t) \right] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.17}\] Напомним, что волновое сопротивление КК находится так: \[Z = \sqrt{L \over C} \tag{2.18}\] а резонансная частота КК так: \[\omega_0 = {1 \over \sqrt{L C}} \tag{2.19}\] Тогда напряжения на элементах схемы будут такими: \[U_R = \frac{\mathbf{e}^{-\alpha t}}{Q} \bigg[ U \sin(\omega_0 t) + I_0 Z \cos(\omega_0 t) \bigg] \tag{2.20}\] \[U_L = \bigg[ U \cos(\omega_0 t) - I_0 Z \sin(\omega_0 t) \bigg] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.21}\] \[U_C = U_1 - \bigg[ U \cos(\omega_0 t) - I_0 Z \sin(\omega_0 t) \bigg] \mathbf{e}^{-\alpha t} \tag{2.22}\] Упрощённые формулы (2.17-2.22) могут применяться для расчёта схем усилителей класса D, и других ключевых каскадов с индуктивно-ёмкостной нагрузкой.