Классическое волновое уравнение в комплексной форме основано на экспоненте Эйлера \(e^{i\omega t}\), описывающей вращение точки на плоской окружности. Однако такое представление ограничено двумерным пространством и не учитывает возможность более сложных колебательных процессов в многомерной среде.

Чтобы выйти за рамки плоской модели, в работе вводится гиперкомплексная единица \(\jk\) со свойством \(\jk^2 = +1\), позволяющая перенести описание волнового движения на четырёхмерную сферу и тем самым расширить классическую экспоненциальную форму до более общего, пространственно-симметричного выражения.

Применяемое сейчас выражение для 2D: \[ A(t) = A_0\kern0.5pt e^{i (\omega t - kr)} \]

Предлагаемое выражение для 4D: \[ A(t) = A_0\kern1pt \jm^{\varpi t} \] В данной работе используются следующие обозначения: \(A_0\) — амплитуда, \(\omega\) — угловая частота, \(\varpi\) — удвоенная частота, \(t\) — время. В этих формулах также применяется число Эйлера \(\large e\), и гиперболическая единица \(\large \jk\).

Обе формулы представляют собой уравнения окружности. В первую из них число «пи» попадает через показатель степени, во второй — это число оказывается «зашитым» внутри гиперболической единицы. Кроме того, вторая формула неявно содержит в себе волновой вектор \(k\) и длину \(r\).

Далее мы разберём по шагам методику возведения гиперболической единицы в степень любого действительного числа, получим форму уравнения в синусах и косинусах, докажем, что мы получили именно окружность в 4D пространстве, и более детально посмотрим применение полученной формулы.

Пусть \(\jm\) — гиперкомплексная единица с свойством \(\jm^2=+1\), имеющая двухточечный спектр \(\{+1,-1\}\). Ниже мы выведем формулу для \(\jk^{y}\) при вещественном показателе \(y\) с использованием идемпотентов. Для наглядности идемпотенты будем обозначать через \(\nu_{\pm}\).

Определим проекторы (идемпотенты) \[\tag{1} \nu_{+} = \frac{1+j}{2}, \qquad \nu_{-} = \frac{1-j}{2} \] Они удовлетворяют стандартным свойствам \[\tag{2} \nu_{\pm}^2= \nu_{\pm}, \qquad \nu_{+} \nu_{-} = 0 \\ \nu_{+} + \nu_{-} = 1, \qquad \nu_{+} - \nu_{-} = j. \] Смысл: \(\nu_{+}\) проектирует на собственное значение \(+1\), а \(\nu_{-}\) на \(-1\).

Через идемпотенты \(\jk\) раскладывается как \[\tag{3} \jk =(+1) \, \nu_{+} + (-1) \, \nu_{-} \] Это немедленно следует из последней пары равенств \( \nu_{+} + \nu_{-}=1 \) и \( \nu_{+} - \nu_{-} = \jk \). Складывая и вычитая, получаем выражения для \(1\) и \(\jk\) через \(\nu_{\pm}\).

Для любой функции \(f\), определённой на спектре \(\{+1,-1\}\), верно \[ f(\jm) = f(+1) \, \nu_{+} + f(-1) \, \nu_{-} \] Применить \(f\) к \(\jk\) означает применить \(f\) к его собственным значениям и собрать результат идемпотентами.

Возьмём \(f(x)=x^{\,y}\) при вещественном \(y\). Тогда \[\tag{4} \jk^{y} = (+1)^{y} \,\nu_{+} + (-1)^{y} \,\nu_{-} = \nu_{+} + (-1)^{y} \,\nu_{-} \] Здесь возникает многозначность \((-1)^y\). Для главной ветви удобно положить \[ (-1)^{y} = e^{i\pi y}, \] а для произвольной ветви — \(e^{i(2k+1)\pi y}\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Подставим \(\nu_{\pm} = \dfrac{1\pm j}{2}\) в выражение из предыдущего шага: \[ \begin{aligned} \jk^{y} &= \nu_{+} + e^{i\pi y} \, \nu_{-} = \frac{1+j}{2} + e^{i\pi y} \, \frac{1-j}{2} \\ &= \frac12 (1+e^{i\pi y}) + \frac{\jk}{2} (1-e^{i\pi y}). \end{aligned} \]

Для других ветвей нужно заменить \(e^{i\pi y}\) на \(e^{i(2k+1)\pi y}\).

Здесь возникает многозначность \((-1)^y\). Для главной ветви удобно положить \[ (-1)^y = e^{i\pi y}, \] так как такое определение обеспечивает непрерывную зависимость от параметра \(y\) и естественным образом переходит в привычное значение \((-1)^1 = -1\). Иными словами, выбор экспоненциальной формы \(e^{i\pi y}\) гарантирует, что функция \(\jk^{y}\) остаётся непрерывной и аналитически определённой при всех вещественных \(y\), без скачков при нечётных значениях.

Разложив экспоненту на синус и косинус, можно записать \[\tag{6} e^{i\pi y} = \cos(\pi y) + i \sin(\pi y), \] подставив которую в (5) мы получим: \[\tag{7} \jk^{y} = \frac12 \left( 1 + \cos\pi y + i \sin\pi y \right) + \frac{j}{2} \left( 1 - \cos\pi y - i \sin\pi y \right) \]

Все совпадает с базовыми законами \(\jk^0=1\), \(\jk^1=j\), \(\jk^2=+1\).

Таким образом, выражение (7) — это четырёхмерное обобщение формулы Эйлера, а \(\jk\) играет роль «второго ортогонального направления» в гиперкомплексном пространстве.

Именно эта запись отражает «двухточечную» природу спектра \(\jk\): часть, соответствующая собственному значению \(+1\), остаётся неизменной, а часть, соответствующая \(-1\), домножается на фазовый множитель \((-1)^y\).

Стоит также заметить, что без мнимой единицы получить подобное (9) разложение невозможно.

Покажем, что для всех вещественных y радиус вектора \(\jk^y\) в \(ℝ^4\) равен 1.

Суммируем квадраты координат: \[\tag{10} a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac14 \left[ (1 + \cos \pi y)^2 + (\sin \pi y)^2 + (1 - \cos \pi y)^2 + (\sin \pi y)^2 \right] = 1 \] Таким образом, норма \(\jk^y\) равна единице при любом \(y\), что эквивалентно окружности с радиусом равным единице.

Все точки \(\jk^y\) лежат на 4‑мерной единичной сфере \(S^3\). Так как выполняются линейные зависимости \((a + c = 1, b + d = 0)\), множество \(\jk^y\) образует окружность — пересечение сферы \(S^3\) с двумерной плоскостью.

На графике 1 мы отобразили движение точки по окружности, характеризующее изменение \(y\). Изобразить полную 4D-модель на мониторе невозможно, поэтому здесь она представлена в первых трёх плоскостях: \(a, b, c\).

Можно заметить определённое сходство между формулой (9) и классической формулой Эйлера (6). При этом выражение (9) расширяет привычную двумерную экспоненту на четырёхмерное пространство, тогда как формула Эйлера описывает вращение лишь в плоскости. Тем не менее, такая двумерная форма на протяжении долгого времени успешно использовалась для описания волновых процессов.

Предлагаем рассмотреть обобщение, при котором экспонента \(e^{i\omega t}\) заменяется на гиперкомплексную степень \(\jk^{\varpi t}\). Такой переход естественным образом переносит волновое уравнение из плоской модели в четырёхмерную, более симметричную форму. Соответствующее преобразование показано в следующей формуле:

Обратная волна обычно представляется с минусом в показателе степени. В нашем случае можно поступать таким же образом. При этом, в разложении по косинусам и синусам просто меняется знак возле нечётных функций: \[\tag{12} \jk^{-\varpi t} = \frac12 \left[ (1 + \cos\wt) - i \sin\wt + \jk (1 - \cos\wt) + i \jk \sin\wt \right] \]

С геометрической точки зрения, вращение, задаваемое экспонентой \(e^{i\omega t}\), описывает движение точки по окружности в двумерной плоскости комплексных чисел. В свою очередь, выражение \(j^{\varpi t}\) задаёт аналогичное вращение, но уже в четырёхмерном пространстве, где траектория точки представляет собой окружность, «вложенную» в единичную сферу \(S^3\). Такое расширение придаёт волновому уравнению более общую геометрическую форму и отражает симметрию многомерных колебательных процессов.

В работе показано, что гиперкомплексная единица \(\jk\), обладающая свойством \(\jk^2 = +1\), может быть возведена в произвольную вещественную степень и тем самым описывать вращение в четырёхмерном пространстве. Полученное выражение \(\jk^y\) формирует замкнутую траекторию на единичной четырёхмерной сфере, что геометрически соответствует окружности — аналогичной той, которую в двухмерном случае задаёт комплексная экспонента \(e^{i\omega t}\). Такое обобщение делает возможным естественное расширение привычной плоской волновой модели в пространство большей размерности.

Предложенная замена экспоненты Эйлера на гиперкомплексную степень \(\jk^{\varpi t}\) позволяет описывать волновые процессы не только как колебания в плоскости, но и как вращения в четырёхмерной среде, где каждая компонента отражает взаимосвязанные параметры амплитуды, фазы и дополнительной гиперкомплексной координаты. Это открывает путь к более общему и симметричному представлению волновых уравнений и может служить основой для построения расширенной алгебры пространственно-временных колебаний.