Эта работа вдохновлена серией обсуждений с исследователем DarQ, который справедливо отметил, что уравнение плоской электромагнитной волны (ПЭВ) можно получить непосредственно в четырёхмерной форме — без промежуточных переходов через дифференциальные операторы, ротора и волновые уравнения. Такой подход открывает возможность более цельного геометрического описания волны.

Цель настоящей работы — предложить альтернативный взгляд на природу плоской электромагнитной волны, рассматривая её как движение точки в бикомплексном пространстве скоростей, в котором электрические, магнитные и временные компоненты объединены в единую четырёхвекторную структуру. Такое представление позволяет связать динамику волны с внутренней геометрией гиперкомплексного базиса и показать, что распространение ПЭВ естественным образом вытекает из свойств этого пространства.

Это обобщённая форма комплексного представления волны. Здесь:

• \(c\) — скорость света [1];
• \(\jk\) — гиперболическая единица, квадрат которой равен плюс один;
• \(\v\) — удвоенная частота волны: \(\v = 2 f\);
• \(t\) — время.

Исходя из формулы (2) сделаем ещё несколько предположений.

• \(\s\) — это компонента времени, скорости его изменения (в направлении единицы базиса \(1\));
• \(x\) — «электрическая» или вращательная компонента (по \(i\));
• \(z\) — «пространственная» или продольная компонента (по \(\jk\));
• \(y\) — «магнитная» или сопряжённая компонента (по \(i\jk\)).

Компоненты \(\s, x, y, z\) — это координаты 4-скорости в бикомплексном пространстве, построенном на базисе \(\{1, i, \jk, i\jk \}\), в котором: \(i^2 = -1,\, \jk^2 = +1\). Причём \(\s,z\) — гиперболическая пара (время + продольное направление), а \(x,y\) — комплексная пара (электромагнитная поляризация).

Тогда разложение обобщённой формы комплексного представления волны можно записать так: \[\tag{3} V(t) = \s + i\, x + \jk\, z + i\jk\, y \] Такой вектор нельзя рассматривать как точку в обычном 4D-декартовом пространстве — только как разложение по гиперкомплексному базису.

Вектор скорости \(V = V(t)\) можно разложить на две светоподобные проекции \[\tag{4} V = V_{+} + V_{-} \\ V_{+} = V\, \nu_{+}, \quad V_{-} = V\, \nu_{-}, \] воспользовавшись свойствами идемпотентов (1, 2) из первой части это работы. Тогда: \[\tag{5} V_{+} = c\, \nu_{+} \\ V_{-} = c\, e^{i \wt} \nu_{-} \] То есть, в светоподобных координатах скорость ПЭВ в направлении \(\nu_{+}\) равна скорости света. А вот направление \(\nu_{-}\), благодаря мнимой единице, распадается внутри ещё на две проекции \[\tag{6} V_{-} = c\, (\nu_{-}\, \cos \wt + i\nu_{-}\, \sin \wt), \] чем обеспечивает вращение вектора. То есть, одна координата отвечает за перемещение (дрейф) волны, а две других — за поперечные колебания.

Для получения такого уравнения нам необходимо проинтегрировать выражение (3) \[\tag{7} L(t) = \int V(t)\, dt = \int (\s + i\, x + \jk\, z + i\jk\, y)\, dt, \]

Если в уравнении скорости, в плане геометрии, мы получали окружность, то после его интегрирования мы получим спираль, распространяющуюся вдоль оси \(\jm\) (координаты \(Z\)):

Рис.2. Траектория волновой точки (бикомплексная геликоидальная форма в подпространствах \(i, \jk, i\jk\)

На рисунке 2 представлена трёхмерная спираль (геликс), изображающая траекторию точки, описывающей распространение волны в бикомплексном пространстве, построенном на базисе \(\{1, i, \jk, i\jk \}\). Изобразить полную 4D-модель на мониторе невозможно, поэтому здесь она представлена только в трёх плоскостях.

Этот рисунок демонстрирует структурное различие между классической формой представления ПЭВ для двумерного случая: \(e^{i(\wt - kr)}\), от представленного здесь четырёхмерного варианта: \(\jm^{\v t}\). Он содержит в себе не только 4-х мерные скорости, но и движение волны вдоль одной из координат, без отдельного постулирования и «ручного» добавления волнового вектора. Такое представление выглядит более естественным.

Согласно классической теории Максвелла, мгновенная плотность энергии плоской электромагнитной волны зависит от времени и изменяется по закону \[\tag{9} A(t)^2 \sim \cos^2 \wt \] Таким образом, энергия осциллирует во времени. Однако такое описание представляет собой лишь временную модуляцию локальной плотности поля, а не реальное изменение полной энергии системы. С физической точки зрения полная энергия волны сохраняется и должна характеризоваться стационарным значением.

В гиперболическом мире, для определения квадрата (или нормы) числа необходимо умножить его на сопряжённое ему число (гиперболическое сопряжение): \[\tag{11} V(t) = c\, \jm^{\v t} \\ V^*\!(t) = c\, \jm^{-\v t} \] Тогда: \[\tag{12} A(t)^2 = V(t)\, V^*\!(t) = c^2 \] Итого, при принятой норме (положительно определённой сумме квадратов компонент) длина модуля волны равна скорости света и не зависит от времени, а \(|V(t)|\) является инвариантом.

Полученная модель показывает, что плоская электромагнитная волна в бикомплексном представлении может быть описана как движение точки в четырёхмерном пространстве скоростей, где электрическая, магнитная, временная и пространственная компоненты связаны между собой единым гиперкомплексным базисом. Такое описание устраняет необходимость искусственного введения волнового вектора и позволяет рассматривать распространение волны как внутреннее свойство самой геометрии пространства.

В рамках данной модели электрическое и магнитное поля возникают как взаимосопряжённые составляющие одной бикомплексной структуры, а их динамика — как вращение и распространение вдоль гиперболической оси. Показано, что метрика Минковского и светоподобный интервал естественным образом следуют из этого описания, а энергия волны имеет стационарный (инвариантный) характер.

Таким образом, представленный подход объединяет классическую электродинамику и геометрическое описание волны в единую формальную систему, где фундаментальные свойства ПЭВ проявляются как следствие гиперкомплексной симметрии пространства, а не как внешне наложенные уравнения.