Эта заметка является приложением к базовой работе, в которой выводятся формулы для расчёта времени насыщения сердечника. Опираясь на эти результаты, можно выполнить расчёт трансформатора с замкнутым магнитопроводом, если известны его справочные параметры: индукция насыщения и площадь поперечного сечения. В данной работе не только проводится такой расчёт, но и демонстрируется прямая связь между кривой Столетова [1], её параметрами аппроксимации и временем насыщения сердечника.

Из этой работы мы знаем, что для высокодобротной катушки, в которой можно пренебречь активным сопротивлением, время насыщения сердечника находится так:

Причём \(B_s\) и \(S\) в этой формуле являются справочными данными для конкретного сердечника.

На данном этапе мы будем считать первичную обмотку трансформатора. Вторичную — потом будет легко по ней пересчитать. Из формулы (1) мы сразу же получаем число витков нашей первичной обмотки: \[ N = {\tau\, U \over B_s S} \tag{2}\] Остаётся определить \(\tau\) — время насыщения сердечника. Его мы можем взять из частоты напряжения, подаваемого на нашу обмотку. Сначала представим, что у нас идеальный трансформатор и мы подаём на него идеальные прямоугольные импульсы, а затем пересчитаем всё это для реального трансформатора и синусоидальной формы тока.

На рисунке 1 схематически представлена форма напряжения, подаваемого на первичную обмотку трансформатора. В данный момент мы рассматриваем прямоугольные импульсы. Хорошо заметно, что за один период мы должны насытить сердечник два раза (в положительном и отрицательном направлении), и ещё два раза привести его в исходное состояние. Пока мы считаем, что сердечник у нас идеальный и время его насыщения равно времени размагничивания.

Таким образом, за период у нас получается в сумме четыре \(\tau\), следовательно период колебаний: \(T = 4\tau\). А значит наша формула изменится так: \[ N = {T\, U \over 4\, B_s S} \tag{3}\] где: \(T\) — период колебаний.

Как известно, частота — обратная величина к периоду. Тогда окончательная формула для подсчёта числа витков первичной обмотки трансформатора с прямоугольными колебаниями будет иметь следующий вид: \[ N = {U \over 4\, f\, B_s S} \tag{4}\] где: \(f\) — частота колебаний.

Для перехода к синусоидальным колебаниями достаточно ввести коэффициент формы [2], который находится как отношение действующего значения к среднему (выпрямленному) значению. Для синуса он равен примерно 1,11. Этот параметр достаточно добавить в нашу формулу, чтобы получить окончательный вариант расчёта числа витков первичной обмотки трансформатора с синусоидальными колебаниями:

Последняя формула в точности равна выражению для официального расчёта трансформаторов, конечно же без учёта некоторых поправок на реальную конструкцию. Например, здесь не учитывается коэффициент заполнения магнитопровода ферромагнитным материалом, но этот параметр актуален только для листовых (ленточных) сердечников [3]. Также, для реального сердечника \(B_s\) берётся примерно в 1,5 раза меньше от справочной для того, чтобы не доводить его до полного насыщения.

Рассмотрим сразу два характерных случая: первый — обычный сетевой трансформатор на сердечнике из трансформаторного железа, второй — высокочастотный трансформатор на ферритовом сердечнике. Это позволит сразу увидеть, как на число витков влияет частота, рабочая магнитная индукция и эффективная площадь сечения магнитопровода.

Для сердечника из трансформаторного железа будем использовать формулу с учётом коэффициента заполнения магнитопровода ферромагнитным материалом. Тогда эффективная площадь сечения равна:

\[ S_{eff} = k_z S \tag{6} \]

где: \(k_z\) — коэффициент заполнения магнитопровода, \(S\) — геометрическая площадь поперечного сечения. Тогда формула числа витков первичной обмотки для синусоидального напряжения примет вид:

\[ N = {U \over 4.44\, f\, B\, k_z S} \tag{7} \]

Для ферритового сердечника коэффициент заполнения обычно не вводится, так как сердечник является сплошным, и рабочая формула остаётся такой же, как и ранее:

\[ N = {U \over 4.44\, f\, B\, S} \tag{8} \]

Во всех дальнейших расчётах \(B\) будем понимать не справочную индукцию насыщения, а выбранную рабочую магнитную индукцию. На практике её берут заметно ниже насыщения, чтобы сердечник не входил в жёсткий режим.

Пусть требуется оценить число витков первичной обмотки сетевого трансформатора на напряжение 220 В, 50 Гц. Возьмём следующие исходные данные:

\(U = 220\,\text{В}\),
\(f = 50\,\text{Гц}\),
\(B = 1.2\,\text{Тл}\) — разумное рабочее значение для трансформаторного железа,
\(S = 4\,\text{см}^2 = 4\cdot10^{-4}\,\text{м}^2\),
\(k_z = 0.92\).

Подставим всё это в формулу (7):

\[ N = {220 \over 4.44 \cdot 50 \cdot 1.2 \cdot 0.92 \cdot 4\cdot10^{-4}} \]

Сначала вычислим знаменатель:

\[ 4.44 \cdot 50 \cdot 1.2 \cdot 0.92 \cdot 4\cdot10^{-4} = 0.0980352 \]

Тогда:

\[ N = {220 \over 0.0980352} \approx 2244 \]

Следовательно, первичная обмотка должна содержать примерно:

\[ N_1 \approx 2240\ldots 2250\ \text{витков} \tag{9} \]

Если не учитывать коэффициент заполнения и подставить просто геометрическую площадь \(S\), то получится немного меньшее число витков:

\[ N = {220 \over 4.44 \cdot 50 \cdot 1.2 \cdot 4\cdot10^{-4}} \approx 2065 \]

То есть коэффициент заполнения магнитопровода даёт вполне заметную поправку. Именно поэтому для листовых и ленточных сердечников его учитывать нужно обязательно.

Теперь рассмотрим высокочастотный трансформатор на ферритовом сердечнике. Чтобы пример был более реалистичным, возьмём уже не сетевые 220 В, а, например, первичную обмотку преобразователя на напряжение 24 В. Исходные данные выберем такими:

\(U = 24\,\text{В}\),
\(f = 10\,\text{кГц} = 10^4\,\text{Гц}\),
\(B = 0.2\,\text{Тл}\) — типичное осторожное рабочее значение для феррита,
\(S = 1\,\text{см}^2 = 1\cdot10^{-4}\,\text{м}^2\).

Подставляем эти значения в формулу (8):

\[ N = {24 \over 4.44 \cdot 10^4 \cdot 0.2 \cdot 1\cdot10^{-4}} \]

Вычислим знаменатель:

\[ 4.44 \cdot 10^4 \cdot 0.2 \cdot 1\cdot10^{-4} = 0.888 \]

Тогда:

\[ N = {24 \over 0.888} \approx 27 \]

Следовательно, первичная обмотка должна содержать примерно:

\[ N_1 \approx 27\ \text{витков} \tag{10} \]

В первом случае для сетевого трансформатора получилось около 2244 витков, а во втором — всего около 27 витков. Разница огромна, и определяется она в первую очередь частотой: чем выше частота, тем меньше требуется витков при той же магнитной индукции и площади сердечника. Именно поэтому высокочастотные трансформаторы получаются значительно компактнее сетевых.

Кроме того, для сердечника из трансформаторного железа пришлось учитывать коэффициент заполнения \(k_z\), поскольку магнитопровод набирается из отдельных листов или ленты, и не всё его геометрическое сечение занято ферромагнитным материалом. Для феррита такой поправки уже нет, так как его магнитопровод сплошной.

После того как число витков первичной обмотки найдено, вторичная обмотка рассчитывается уже значительно проще. Для идеального трансформатора отношение напряжений равно отношению числа витков:

\[ {U_2 \over U_1} = {N_2 \over N_1} \tag{11} \]

Отсюда сразу получаем:

\[ N_2 = N_1 {U_2 \over U_1} \tag{12} \]

где: \(U_1\) — напряжение первичной обмотки, \(U_2\) — напряжение вторичной обмотки, \(N_1\) — число витков первичной обмотки, \(N_2\) — число витков вторичной обмотки.

Разумеется, в реальном трансформаторе нужно учитывать падение напряжения на сопротивлении обмоток, потери в магнитопроводе и просадку под нагрузкой. Однако для первого приближения формула (12) вполне достаточна.

Продолжим предыдущий пример с сетевым трансформатором на 220 В, 50 Гц. Мы получили для первичной обмотки:

\[ N_1 \approx 2244\ \text{витков} \]

Пусть теперь требуется получить на вторичной обмотке напряжение:

\[ U_2 = 12\,\text{В} \]

Тогда по формуле (12):

\[ N_2 = 2244 \cdot {12 \over 220} \]

Выполним вычисление:

\[ N_2 \approx 122.4 \]

Округляя до ближайшего целого значения, получаем:

\[ N_2 \approx 122\ \text{витка} \tag{13} \]

На практике число витков вторичной обмотки часто немного увеличивают, если требуется компенсировать падение напряжения под нагрузкой. Поэтому реальная намотка может составить, например, 124...128 витков, в зависимости от мощности трансформатора и требуемой точности.

Теперь продолжим пример с ферритовым трансформатором. В предыдущем разделе мы получили:

\[ N_1 \approx 27\ \text{витков} \]

Пусть и здесь требуется получить на выходе:

\[ U_2 = 12\,\text{В} \]

Тогда:

\[ N_2 = 27 \cdot {12 \over 24} \]

Следовательно:

\[ N_2 = 13.5 \]

Ближайшее целое значение:

\[ N_2 \approx 14\ \text{витков} \tag{14} \]

Как и в предыдущем случае, на практике это число может немного корректироваться в зависимости от падения напряжения на ключах, формы импульсов, схемы выпрямления и требуемой стабилизации. Но для предварительного расчёта такой точности вполне достаточно.

После того как найдены числа витков, можно оценить и толщину провода. Для этого сначала нужно знать токи в обмотках. Если мощность трансформатора равна \(P\), то для идеального случая:

\[ I_1 = {P \over U_1}, \qquad I_2 = {P \over U_2} \tag{15} \]

Далее выбирается допустимая плотность тока \(J\) в проводе, после чего требуемая площадь поперечного сечения жилы находится как:

\[ A = {I \over J} \tag{16} \]

Если провод круглый, то его диаметр можно оценить из площади круга:

\[ A = {\pi d^2 \over 4} \]

откуда:

\[ d = \sqrt{ {4A \over \pi} } \tag{17} \]

Здесь \(A\) выражается в мм², а \(d\) — в мм.

Для грубой оценки можно принять:

для сетевого трансформатора на 50 Гц: \(J \approx 2.5\,\text{А/мм}^2\);
для высокочастотного трансформатора на 10 кГц: \(J \approx 4\,\text{А/мм}^2\).

Это не строгие значения, а лишь разумные ориентиры для предварительного расчёта. При более точном проектировании плотность тока выбирают с учётом охлаждения, режима работы, допустимого нагрева и способа намотки.

Чтобы оценка была конкретной, примем мощность нашего сетевого трансформатора равной:

\[ P = 50\,\text{Вт} \]

Тогда ток первичной обмотки:

\[ I_1 = {50 \over 220} \approx 0.227\,\text{А} \]

Ток вторичной обмотки:

\[ I_2 = {50 \over 12} \approx 4.17\,\text{А} \]

Теперь найдём требуемую площадь провода для первичной обмотки. При \(J = 2.5\,\text{А/мм}^2\):

\[ A_1 = {0.227 \over 2.5} \approx 0.0908\,\text{мм}^2 \]

Тогда диаметр:

\[ d_1 = \sqrt{ {4\cdot0.0908 \over \pi} } \approx 0.34\,\text{мм} \]

Следовательно, для первичной обмотки подойдёт провод диаметром порядка:

\[ d_1 \approx 0.35\,\text{мм} \tag{18} \]

Аналогично для вторичной обмотки:

\[ A_2 = {4.17 \over 2.5} \approx 1.67\,\text{мм}^2 \]

\[ d_2 = \sqrt{ {4\cdot1.67 \over \pi} } \approx 1.46\,\text{мм} \]

То есть для вторичной обмотки нужен провод диаметром примерно:

\[ d_2 \approx 1.5\,\text{мм} \tag{19} \]

Если провод такого диаметра неудобно укладывать в окно магнитопровода, вместо одной толстой жилы можно использовать несколько более тонких проводов, включённых параллельно, с той же суммарной площадью поперечного сечения.

Теперь выполним ту же оценку для ферритового трансформатора. Для определённости примем его мощность:

\[ P = 24\,\text{Вт} \]

Тогда ток первичной обмотки при напряжении 24 В будет:

\[ I_1 = {24 \over 24} = 1\,\text{А} \]

Ток вторичной обмотки при напряжении 12 В:

\[ I_2 = {24 \over 12} = 2\,\text{А} \]

Для высокочастотного трансформатора примем \(J = 4\,\text{А/мм}^2\). Тогда для первичной обмотки:

\[ A_1 = {1 \over 4} = 0.25\,\text{мм}^2 \]

\[ d_1 = \sqrt{ {4\cdot0.25 \over \pi} } \approx 0.56\,\text{мм} \]

То есть провод первичной обмотки получится примерно:

\[ d_1 \approx 0.56\,\text{мм} \tag{20} \]

Для вторичной обмотки:

\[ A_2 = {2 \over 4} = 0.5\,\text{мм}^2 \]

\[ d_2 = \sqrt{ {4\cdot0.5 \over \pi} } \approx 0.80\,\text{мм} \]

Следовательно:

\[ d_2 \approx 0.8\,\text{мм} \tag{21} \]

На частоте 10 кГц этим расчётом ещё можно пользоваться как оценочным. Но с дальнейшим ростом частоты уже приходится учитывать поверхностный эффект, из-за которого ток вытесняется к поверхности проводника. В таких случаях часто применяют литцендрат или несколько параллельных изолированных жил малого диаметра.

Итак, после расчёта числа витков первичной обмотки вторичная обмотка определяется простым пересчётом по отношению напряжений. Затем по известной мощности трансформатора можно найти токи в обмотках, оценить требуемое сечение провода и подобрать его диаметр.

Для рассмотренных примеров получились следующие ориентировочные значения:

Сетевой трансформатор, 220/12 В, 50 Гц, 50 Вт:
первичная обмотка: \(N_1 \approx 2244\) витков, провод \(d_1 \approx 0.35\,\text{мм}\);
вторичная обмотка: \(N_2 \approx 122\) витка, провод \(d_2 \approx 1.5\,\text{мм}\).

Ферритовый трансформатор, 24/12 В, 10 кГц, 24 Вт:
первичная обмотка: \(N_1 \approx 27\) витков, провод \(d_1 \approx 0.56\,\text{мм}\);
вторичная обмотка: \(N_2 \approx 14\) витков, провод \(d_2 \approx 0.8\,\text{мм}\).

Конечно, это лишь предварительный расчёт. При практической конструкции трансформатора дополнительно проверяют, помещаются ли обе обмотки в окно магнитопровода, достаточна ли изоляция между слоями, не превышена ли допустимая плотность тока и не слишком ли велик нагрев при длительной работе. Тем не менее уже на этом этапе можно получить вполне правдоподобную оценку будущей конструкции.

В данной работе был рассмотрен простой и наглядный способ расчёта обмоток трансформатора, основанный на времени насыщения сердечника. В отличие от классического подхода, где формулы вводятся как эмпирические, здесь они напрямую следуют из физики процесса — накопления магнитного потока в сердечнике под действием приложенного напряжения.

Ключевым результатом является выражение:

которое связывает напряжение на обмотке с временем, за которое магнитная индукция достигает заданного уровня. Фактически это интегральная форма закона электромагнитной индукции, записанная через конечное изменение магнитной индукции.

Именно из этого соотношения естественным образом получаются все практические формулы для расчёта числа витков: как для прямоугольных импульсов, так и для синусоидального напряжения. При этом коэффициенты 4 и 4.44 оказываются не «магическими числами», а прямым следствием формы приложенного напряжения.

Особенно важно отметить, что переход от прямоугольной формы сигнала к синусоидальной осуществляется через коэффициент формы. Этот коэффициент отражает различие между действующим и средним значением напряжения, а значит — напрямую влияет на скорость нарастания магнитного потока в сердечнике.

Здесь проявляется прямая связь с кривой Столетова. Как известно, кривая Столетова описывает зависимость магнитной индукции \(B\) от напряжённости магнитного поля \(H\), и в параметрической форме может быть аппроксимирована с помощью набора коэффициентов. Эти коэффициенты определяют, насколько быстро растёт индукция при увеличении поля, и, следовательно, насколько быстро сердечник приближается к насыщению.

С другой стороны, время насыщения \(\tau\) определяется интегралом от приложенного напряжения, то есть скоростью изменения магнитного потока. Таким образом, коэффициенты аппроксимации кривой Столетова фактически задают динамику изменения магнитной индукции во времени.

Иначе говоря:

— кривая Столетова определяет статическую зависимость \(B(H)\);
— её коэффициенты задают «крутизну» этой зависимости;
— а через уравнение индукции эта крутизна напрямую переходит во время насыщения сердечника.

Это и есть фундаментальная связь, лежащая в основе всех приведённых формул: время насыщения — это не отдельный параметр, а следствие как свойств материала (через кривую Столетова), так и режима работы (через форму и величину приложенного напряжения).

На практических примерах было показано, что:

— число витков обратно пропорционально частоте;
— увеличение рабочей индукции уменьшает число витков, но приближает сердечник к насыщению;
— коэффициент заполнения магнитопровода оказывает заметное влияние для листовых сердечников;
— высокочастотные трансформаторы требуют на порядки меньше витков по сравнению с сетевыми.

Также было показано, что после определения числа витков первичной обмотки вторичная обмотка находится простым пересчётом по отношению напряжений, а далее по известной мощности можно оценить токи и подобрать сечение проводов.

Таким образом, весь расчёт трансформатора сводится к трём базовым шагам:

1) выбор рабочей магнитной индукции;
2) расчёт числа витков из условия недопущения насыщения;
3) подбор проводов по допустимой плотности тока.

Несмотря на простоту, такой подход даёт правильный порядок величин и хорошо согласуется с практикой. А главное — он позволяет видеть физический смысл происходящего: как напряжение, форма сигнала и свойства материала совместно определяют работу трансформатора.