В данной работе будут рассмотрены резонансные однопроводные электрические системы (РОЭС) и их расчёт. Это ещё один пример, когда на стыке двух разделов физики можно получить необычные и, на первый взгляд, не совсем классические результаты. В данном случае речь идёт о «водоразделе» между электротехникой и электродинамикой, при котором первая — изучает электрические процессы с частотами до 1 кГц, а вторая — более 30 кГц. Именно в этом частотном интервале образуются те условия, при которых обычный провод начинает приобретать некоторые свойства сверхпроводника, в плане передачи по нему электрической мощности.

Здесь мы подойдём к проблеме с наиболее общих позиций, задействуя для этого закон сохранения электромагнитной энергии, охватывающую весь их баланс в проводнике. Исходя из этого выведем два вида энергии, распостраняющиеся вдоль него, и по нему. По итогу — предложим методику расчёта РОЭС и приведём реальные примеры расчёта действующих установок. Для удобства чтения, и правильного отображения формул, мы разбили этот материал на несколько страничек.

Рассмотрим конкретный вариант схемы, предлагаемый в рамках исследовательской работы одной организации.

Блок-схема подключения оборудования изображена на рисунке 1. Там представлены:

• 1 – блок опытного образца резонансного передающего преобразователя напряжения;
• 2 – блок опытного образца обратного преобразователя напряжения;
• 3 – резонансная однопроводная линия передачи электроэнергии (ЛЭП) длиной до 3000 м (кабель РК 75-7-12 или аналог);
• 4 – инвертор, преобразующий выходное постоянное напряжение приемного модуля (DC=650 В) в переменное промышленное трёхфазное (AC=380 В, 50 Гц).

Такая система состоит из передающей части, линии электропередачи (ЛЭП) и приёмной части (рис. 2a). В передающей части происходит преобразование тока проводимости синусоидального генератора Ug — к смешанным токам (проводимости+смещения), при помощи трансформатора TS1. ЛЭП переносит эти токи в приёмный трансформатор TS2, который преобразует смешанные токи обратно — в ток проводимости, который и поступает в нагрузку R. Вторым проводником (введём понятие — «условным», т.к. заземление может быть выполнено либо в одной точке со стороны источника ЭДС, либо вообще не иметь такового) ЛЭП является земля, проводимость которой, в том числе благодаря относительно традиционной сети 50 Гц высокой частоте (диапазон сверхдлинных волн 3–30 кГц), мы будем считать достаточно высокой.

Примечание. К классу резонансных линий электропередач можно отнести и беспроводную систему передачи энергии, где в качестве верхнего проводника используется ёмкостная связь между уединёнными ёмкостями Ctx и Crx (рис. 2b). Такая связь осуществляется через атмосферу земли. Недостатком такого вида передачи энергии является её всенаправленность. Более точечными, в плане вектора распространения энергии, являются однопроводные ЛЭП, которые мы далее и будем рассматривать.

Принцип однопроводной передачи электроэнергии, на самомо деле, очень простой. Достаточно вспомнить опыт из раздела электростатики школьного курса физики. На столе преподавателя стояли два изолированных металлических шара, которые можно ещё назвать уединёнными ёмкостями, электрофорная машина и электроскоп. Из него мы помним, как преподаватель заряжал такой шар C1 от электрофорной машины q (рис. 3a). Этот шар приобретал некий электрический заряд, что и показывал рядом стоящий электроскоп. Потом он отключал электрофорную машину и соединял проводом-перемычкой заряженный шар C1 с незаряженным C2 (рис. 3b). При этом, часть заряда перетекала во второй шар.

Из этого курса известно, что весь электростатический заряд размещается на поверхности металлических предметов: не внутри, не в приповерхностном слое, а именно на поверхности. Соединяя заряженный шар с незаряженным, по соединяющему проводнику потечёт ток также по его поверхности! А как мы помним, ток проводимости течёт внутри проводника. Значит, в данном опыте мы получили совершенно другой вид тока, который получил название — «ток смещения».

Исходя из этого, теперь совсем просто получить принцип однопроводной ЛЭП (рис. 3c). Для этого потребуется генератор электростатического заряда переменного знака qV, собственно сама ЛЭП (Line) и устройство, которое будет разделять положительные и отрицательные заряды на конце этой линии. Такое устройство может состоять из двух диодов, каждый из которых пропускает только свой знак заряда (VD1, VD2). После него может стоять классическая активная нагрузка R, которая одновременно является и уединённой ёмкостью C2 (тем самым шаром). Теперь нам достаточно перезаряжать эту ёмкость при помощи переменного электростатического заряда от qV, чтобы получить ток в однопроводной ЛЭП.

В этом разделе был показан только сам принцип передачи энергии. Современные РОЭС имеют более сложную схему и структуру, позволяющую работать как с открытыми, так и с закрытыми линиями электросвязи, передавать довольно большие мощности на значительные расстояния. Далее, с помощью вектора Умова, мы оценим какая мощность может быть передана таким способом.

Теоретическое обоснование действующих установок РОЭС требует особого подхода, т.к. переносимая мощность иногда на порядки превосходит максимально возможную для используемого проводника ЛЭП. Кроме того, в некоторых РОЭС не используется заземление в качестве второго проводника. Относительно небольшая частота в ЛЭП не позволяет говорить и о переносе мощности с помощью поперечной электромагнитной волны. На основании экспериментальных данных и работ [1-2], мы можем предположить, что в этих случаях энергия переносится при помощи тока смещения и продольной волны, что далее и обоснуем.

Из классической электродинамики известно, что в проводнике электрическое поле \(\vec E\) и магнитное поле \(\vec H\) располагаются следующим образом (рис. 4a). Результирующим ветором, который отвечает за перенос энергии, в этом случае является вектор Пойнтинга \(\vec S\), направленный перпендикулярно проводнику и первым двум векторам. Как мы уже ранее говорили, это вариант не подходит для объяснения пененоса энергии продольной волной. Так как вектор Пойнтинга является частным случаем вектора Умова, то мы вполне можем попробовать и другую комбинацию векторов. Развернём вектор электрического поля перпендикулярно проводнику, тогда вектор переноса энергии \(\vec S\) также развернётся, но будет теперь направлен вдоль проводника (рис. 4b). В таком виде вектор переноса энергии полностью удовлетворяет опытным данным и нашей задаче, с ним далее мы и будем работать.

К слову, действие вектора электрического поля, которое направлено перпендикулярно проводнику, мы можем заметить возле ЛЭП высокого напряжения, когда начинают электризоваться волосы, и это ощущается нами в виде лёгкого ветерка. Другое проявление — это ионизация молекул воздуха возле таких ЛЭП, которое проявляется в виде потрескивания и запаха озона. Но давайте вернёмся к теории.

Дж. К. Максвелл для баланса своих уравнений ввёл ток смещения, как дополнение к току проводимости. Намного позже этот ток, косвенными методами, всё же удалось обнаружить [3-6], но до сих пор нет надёжных приборов, его измеряющих. В классических случаях, например, в электросетях низкого (до 1 кВ) и среднего напряжения (3 – 35 кВ), ток смещения относительно мал в сравнении с током проводимости, и поэтому задача по его измерению до сих пор не ставилась. В уравнениях Максвелла [5] фигурирует общий ток, как сумма тока смещения и тока проводимости. Через плотности это выражается так: \[j_{\Sigma} = j_D + j \qquad (1.1)\] где: \(j_D\) — плотность тока смещения, \(j\) — плотность тока проводимости.

К этой формуле мы вернёмся позже, когда будут найдены её составляющие части по отдельности. Сейчас необходимо найти поток энергии через ЛЭП, учесть мощность в замкнутой цепи, а уже отсюда найти полную передаваемую мощность. Для решения этой задачи используем закон сохранения электромагнитной энергии в элементарном объёме [8]: \[ {\partial w \over \partial t} + \mathrm{div} \vec S = 0 \qquad (1.2)\] Здесь представлены: \(w\) — объёмная плотность энергии электромагнитного поля, \(\vec S\) — плотность потока энергии (вектор Умова).

Эта идея была высказана Умовым в 1873 году, и в отличии от решения Пойнтинга [9], открывает возможность математического описания продольного переноса энергии вдоль линии электропередачи. Это нам и требуется. Но сначала разложим дивергенцию потока по декартовым координатам: \[ \mathrm{div} \vec S = {\partial S \over \partial x} + {\partial S \over \partial y} + {\partial S \over \partial z} \] Исходя из экспериментальных данных мы предполагаем, что: \({\partial S \over \partial x} = {\partial S \over \partial y} = 0\), следовательно \[ \mathrm{div} \vec S = {\partial S \over \partial z} \] Это выражение показывает принципиальное отличие от классического вектора Пойнтинга, где \({\partial S \over \partial z} = 0\). Теперь рассмотрим объёмную плотность энергии, которая находится так [10]: \[w = {\varepsilon \varepsilon_0 E^2 \over 2} + {\mu \mu_0 H^2 \over 2} \qquad (1.3)\] где \(E\) — напряжённость электрического поля, \(H\) — напряжённость магнитного поля, \(\varepsilon \varepsilon_0\) — относительная и постоянная диэлектрические проницаемости, \(\mu \mu_0\) — относительная и постоянная магнитные проницаемости.

Мы будем рассматривать ЛЭП в виде коаксиального конденсатора, электромагнитная волна в котором распространяется только вдоль оси z (рис. 5). В примерах мы увидим, что полученное решение будет распространяться не только на ЛЭП в виде коаксиального кабеля, но и на линии с открытым проводником.

Подставляя (1.3) в (1.2), взяв производные, и учитывая одно пространственное направление, это уравнение можно теперь переписать в скалярном виде: \[{\partial S \over \partial z} + \varepsilon \varepsilon_0 E {\partial E \over \partial t} + \mu \mu_0 H {\partial H \over \partial t} = 0 \qquad (1.4)\] Поскольку частота работы РОЭС относительно низкая (много меньше длины волны), то далее будем считать, что ЛЭП имеет сосредоточенные параметры и длину — \(l\). Тогда плотность потока энергии S будет одинакова по всей длине, ровно как и другие параметры в этом уравнении. Перепишем его так: \[S + S_E + S_H = 0 \qquad (1.4)\] где \[S_E = \varepsilon \varepsilon_0 E {\partial E \over \partial t} l, \quad S_H = \mu \mu_0 H {\partial H \over \partial t} l \qquad (1.5)\] Здесь были введены следующие обозначения: \(S_E\) — электрическая составляющая потока энергии, \(S_H\) — магнитная составляющая потока энергии.

Из удельного потока энергии мы можем найти мощность путём его интегрирования по площади поперечного сечения проводника: \[P_S + P_E + P_H = 0 \qquad (1.6)\] где \[P_E = \int \limits_{s} S_E\, ds, \quad P_H = \int \limits_{s} S_H\, ds, \quad s = \pi r^2 \qquad (1.7)\] Здесь: \(P_S\) — общая мощность потока энергии передаваемая через ЛЭП электромагнитной волной, \(P_E\) — электрическая составляющая мощности, \(P_H\) — магнитная составляющая мощности, \(s\) — площадь поперечного сечения коаксиала.

А теперь, найдём каждый элемент из трёх последних уравнений по отдельности.