Регистрация
Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
Главная|Заметки|Вычисления|Аккаунт
2026-10-26
Все заметки/Волновое электричество
Произвольный спин в операторах расщепления: вращения и уравнения движения

\[ \newcommand{\j}{\jmath} \newcommand{\ep}{\mathfrak{e}} \newcommand{\em}{\bar{\mathfrak{e}}} \newcommand{\pmp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\pme}{\bar{\mathfrak{p}}} \]

Поворот квантового состояния может давать результат, непривычный для обычной геометрии: после полного оборота амплитуда меняет знак, а после двух оборотов восстанавливается. В предыдущей работе мы получили такое поведение для спина 1/2, используя выделение и обмен двух каналов. Теперь построим из тех же операций спины 1, 3/2 и 2, найдём общее правило и покажем, как вращения записываются через произведение операторов J. Затем отдельно рассмотрим переход к релятивистским уравнениям свободных полей.
Статья продолжает работу «Уравнение Дирака в операторах расщепления». Исходные обозначения и физические постулаты приведены в Концепции Волнового Электричества. Ниже пространство-время уже задано; происхождение пространства, массы и взаимодействий здесь не выводится.
1. Один бинарный спиновый фактор
Начнём с двух ортонормированных каналов \(|+\rangle\) и \(|-\rangle\). Идемпотенты выделяют их, гиперболическая единица различает знаками, а оператор \(S\) меняет каналы местами:
\[\tag{1} \ep^2=\ep,\quad \em^2=\em,\quad \ep\em=0,\quad \ep+\em=I,\qquad \j=\ep-\em,\qquad S|+\rangle=|-\rangle,\quad S|-\rangle=|+\rangle. \]
Здесь \(\ep=|+\rangle\langle+|\), \(\em=|-\rangle\langle-|\), а \(S\) продолжается на все состояния комплексно-линейно. Поэтому \(\ep,\em\) — ортогональные эрмитовы проекторы, а \(\j\) и \(S\) — эрмитовы операторы в выбранном скалярном произведении.
Из определений следуют \(\j^2=S^2=I\) и \(S\j=-\j S\). Как показано в предыдущей статье, три эрмитовых оператора
\[\tag{2} q_1=S,\qquad q_2=iS\j,\qquad q_3=\j \]
подчиняются отношениям
\[\tag{3} [q_i,q_j]=2i\varepsilon_{ijk}q_k,\qquad \{q_i,q_j\}=2\delta_{ij}I. \]
Поэтому внутренние генераторы вращений \(\widehat s_i=\hbar q_i/2\) дают
\[\tag{4} \widehat{\mathbf s}^{\,2}=\frac34\hbar^2I,\qquad \widehat s_z|\pm\rangle=\pm\frac{\hbar}{2}|\pm\rangle. \]
Это представление спина \(s=1/2\). Здесь и далее \(\hbar\) сохраняет размерность действия, углы измеряются в радианах, а \(s\) и проекции \(\mu\) безразмерны. Физическая проекция момента равна \(\hbar\mu\). Эти внутренние генераторы не включают орбитальную часть вращения пространственной волновой функции.
Вращение вокруг единичной оси \(\mathbf n\) имеет вид
\[\tag{5} q_{\mathbf n}=\mathbf n\cdot\mathbf q,\qquad P_{\mathbf n,\pm}=\frac{I\pm q_{\mathbf n}}2,\qquad R_{\mathbf n}^{(1/2)}(\theta) =P_{\mathbf n,+}e^{-i\theta/2}+P_{\mathbf n,-}e^{i\theta/2}. \]
Введём фазовый оператор того же вида, что и \(J\), но с проекторами на спиновые каналы выбранной оси:
\[\tag{6} J_{\mathbf n}(a_{\mathbf n},b_{\mathbf n}) =P_{\mathbf n,+}e^{i\pi b_{\mathbf n}}+ P_{\mathbf n,-}e^{i\pi a_{\mathbf n}},\qquad R_{\mathbf n}^{(1/2)}(\theta) =J_{\mathbf n}\left(\frac{\theta}{2\pi},-\frac{\theta}{2\pi}\right). \]
Параметры \(a_{\mathbf n},b_{\mathbf n}\) здесь обозначают фазы вращения. Они не подменяют внутренний параметр \(a\) и параметр внешнего движения \(b\) исходного физического \(J(a,b)\).
2. Независимые факторы и полный спин
Для обобщения возьмём \(N\) независимых бинарных спиновых факторов. Их пространство состояний — тензорное произведение \((\mathbb C^2)^{\otimes N}\). Индекс \(r\) обозначает фактор, а не пространственную координату. Операторы разных факторов коммутируют:
\[\tag{7} [q_i^{(r)},q_j^{(t)}]=0\quad(r\ne t),\qquad \widehat T_i=\frac{\hbar}{2}\sum_{r=1}^{N}q_i^{(r)}. \]
Отсюда непосредственно получается алгебра вращений:
\[\tag{8} [\widehat T_i,\widehat T_j] =\frac{\hbar^2}{4}\sum_r[q_i^{(r)},q_j^{(r)}] =i\hbar\varepsilon_{ijk}\widehat T_k. \]
Но наличие этой алгебры ещё не означает, что всё пространство имеет один определённый спин. Обычно оно распадается на несколько независимых секторов. Сначала разберём это на простейшем примере; стандартная теория сложения угловых моментов изложена в [1].
Тензорные факторы описывают внутреннюю структуру пространства состояний. Их введение само по себе не означает, что частица состоит из нескольких физических частиц. Симметрия по этим индексам также не является утверждением о перестановке частиц и их статистике.
3. Два фактора: спины 1 и 0
При \(N=2\) исходных каналов четыре: \(|++\rangle,|+-\rangle,|-+\rangle,|--\rangle\). Три симметричных относительно перестановки факторов состояния образуют триплет:
\[\tag{9} |1,1\rangle=|++\rangle,\qquad |1,0\rangle=\frac{|+-\rangle+|-+\rangle}{\sqrt2},\qquad |1,-1\rangle=|--\rangle. \]
Первая метка в \(|s,\mu\rangle\) — спин, вторая — его проекция. Для этих состояний
\[\tag{10} \widehat T_z|1,\mu\rangle=\hbar\mu|1,\mu\rangle,\qquad \widehat{\mathbf T}^{\,2}|1,\mu\rangle=2\hbar^2|1,\mu\rangle. \]
Проверить последнее равенство удобно без выписывания матриц. При двух факторах
\[\tag{11} \widehat{\mathbf T}^{\,2} =\frac32\hbar^2I+\frac{\hbar^2}{2} \sum_{i=1}^{3}q_i^{(1)}q_i^{(2)}. \]
Обозначим перестановку двух факторов через \(\Pi_{12}\), чтобы отличать её от обмена каналов \(S\) внутри одного фактора. Её действие задаётся правилом \(\Pi_{12}|ab\rangle=|ba\rangle\). Проверка на четырёх базисных каналах даёт
\[\tag{12} \Pi_{12}=\frac12\left(I+\sum_iq_i^{(1)}q_i^{(2)}\right),\qquad \widehat{\mathbf T}^{\,2}=\hbar^2(I+\Pi_{12}). \]
На симметричных состояниях \(\Pi_{12}=+I\), поэтому полный спин равен 1. Оставшаяся комбинация антисимметрична:
\[\tag{13} |0,0\rangle=\frac{|+-\rangle-|-+\rangle}{\sqrt2},\qquad \Pi_{12}|0,0\rangle=-|0,0\rangle,\qquad \widehat T_i|0,0\rangle=0. \]
Это синглет со спином 0. Таким образом,
\[\tag{14} \frac12\otimes\frac12=1\oplus0,\qquad 4=3+1. \]
Одинаковое число знаков «плюс» и «минус» даёт нулевую проекцию, но не обязательно нулевой спин. И триплетное \(|1,0\rangle\), и синглетное \(|0,0\rangle\) имеют \(\mu=0\); различаются их преобразования при вращениях вокруг других осей и значение \(\widehat{\mathbf T}^{\,2}\).
Спины 1 и 0 из двух бинарных факторовТри симметричных состояния образуют спин 1; антисимметричное состояние имеет спин 0.Два фактора: четыре канала|++⟩|+−⟩|−+⟩|−−⟩Сложение и вычитание средних каналовСимметричный триплет: s = 1μ = +1|++⟩μ = 0(|+−⟩ + |−+⟩) / √2μ = −1|−−⟩Антисимметричный синглет: s = 0μ = 0(|+−⟩ − |−+⟩) / √2Нулевая проекция допускает и s = 1, и s = 0
Рис. 1. Разложение двух бинарных спиновых факторов на триплет и синглет.
При вращении вокруг \(z\) каждому знаку «плюс» соответствует фаза \(e^{-i\theta/2}\), каждому «минусу» — \(e^{i\theta/2}\). Поэтому на триплете
\[\tag{15} R_z^{(1)}(\theta)|1,\mu\rangle=e^{-i\mu\theta}|1,\mu\rangle,\qquad R_z^{(1)}(\theta)=P_{z,1}e^{-i\theta}+P_{z,0}+P_{z,-1}e^{i\theta}. \]
На синглете любое внутреннее вращение действует как единица. Это утверждение о спине: пространственная зависимость скалярного поля при повороте координат всё равно преобразуется.
4. Три фактора: спин 3/2
Три бинарных фактора дают восемь исходных каналов. Полностью симметричные состояния образуют четырёхмерное подпространство:
\[\tag{16} \begin{aligned} \left|\frac32,\frac32\right\rangle&=|+++\rangle,\\ \left|\frac32,\frac12\right\rangle&=\frac{|++-\rangle+|+-+\rangle+|-++\rangle}{\sqrt3},\\ \left|\frac32,-\frac12\right\rangle&=\frac{|+--\rangle+|-+-\rangle+|--+\rangle}{\sqrt3},\\ \left|\frac32,-\frac32\right\rangle&=|---\rangle. \end{aligned} \]
Коэффициенты \(1/\sqrt3\) обеспечивают единичную норму: три разных канала ортогональны. Эти состояния имеют
\[\tag{17} \widehat{\mathbf T}^{\,2}=\frac{15}{4}\hbar^2I,\qquad \mu=\frac32,\frac12,-\frac12,-\frac32. \]
Общий вывод этого собственного значения приведён ниже. Здесь можно проверить действие повышающего и понижающего операторов. Например,
\[\tag{18} \widehat T_-|+++\rangle =\hbar\bigl(|-++\rangle+|+-+\rangle+|++-\rangle\bigr) =\sqrt3\hbar\left|\frac32,\frac12\right\rangle. \]
Всё восьмимерное пространство распадается следующим образом:
\[\tag{19} \left(\frac12\right)^{\otimes3} =\frac32\oplus\frac12\oplus\frac12,\qquad 8=4+2+2. \]
Два оставшихся сектора спина \(1/2\) имеют смешанную перестановочную симметрию. Они не входят в выбранное полностью симметричное подпространство. Например, состояние \((|+-+\rangle-|-++\rangle)/\sqrt2\) получается из синглета первых двух факторов и третьего бинарного фактора.
Вращение вокруг \(z\) умножает четыре симметричные компоненты на \(e^{-3i\theta/2},e^{-i\theta/2},e^{i\theta/2},e^{3i\theta/2}\). При \(\theta=2\pi\) все четыре множителя равны \(-1\); при \(4\pi\) — \(+1\).
5. Четыре фактора: спин 2
Четыре бинарных фактора дают шестнадцать исходных каналов. Полностью симметричных состояний пять:
\[\tag{20} \begin{aligned} |2,2\rangle&=|++++\rangle,\\ |2,1\rangle&=\frac{|-+++\rangle+|+-++\rangle+|++-+\rangle+|+++-\rangle}{2},\\ |2,0\rangle&=\frac1{\sqrt6}\bigl(|++--\rangle+|+-+-\rangle+|+--+\rangle\\ &\qquad{}+|-++-\rangle+|-+-+\rangle+|--++\rangle\bigr),\\ |2,-1\rangle&=\frac{|+---\rangle+|-+--\rangle+|--+-\rangle+|---+\rangle}{2},\\ |2,-2\rangle&=|----\rangle. \end{aligned} \]
Числа исходных комбинаций здесь равны \(1,4,6,4,1\); именно они определяют нормировку. Получаем
\[\tag{21} \widehat{\mathbf T}^{\,2}=6\hbar^2I,\qquad \widehat T_z|2,\mu\rangle=\hbar\mu|2,\mu\rangle,\qquad \mu=2,1,0,-1,-2. \]
При вращении фазы равны \(e^{-2i\theta},e^{-i\theta},1,e^{i\theta},e^{2i\theta}\). Все состояния спина 2 восстанавливаются после \(2\pi\). Полное пространство содержит также меньшие спины:
\[\tag{22} \left(\frac12\right)^{\otimes4} =2\oplus1\oplus1\oplus1\oplus0\oplus0,\qquad 16=5+3+3+3+1+1. \]
Построение спинов 1/2, 1, 3/2 и 2В четырёх панелях указаны число минусов k, число сочетаний C и проекция μ. Нормировка равновесной суммы равна 1/√C.Симметричные состояния: N = 2sN = 1 s = ½kCμ01+½11−½2 состояний из 2 каналовНормировка каждой суммы: 1 / √CN = 2 s = 1kCμ01+112021−13 состояний из 4 каналовНормировка каждой суммы: 1 / √CN = 3 s = ³⁄₂kCμ01+³⁄₂13+½23−½31−³⁄₂4 состояний из 8 каналовНормировка каждой суммы: 1 / √CN = 4 s = 2kCμ01+214+126034−141−25 состояний из 16 каналовНормировка каждой суммы: 1 / √Ck — число минусов; C — число сочетаний при данном k
Рис. 2. Группировка каналов в полностью симметричные состояния.
6. Общая конструкция: s = N/2
Пусть \(k\) — число факторов со знаком «минус» среди \(N\) факторов. Обозначим через \(\mathcal C_{N,k}\) множество всех последовательностей \(\boldsymbol\varepsilon=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_N)\), где \(\varepsilon_r=\pm1\) и ровно \(k\) знаков отрицательны. Знакам \(+1,-1\) соответствуют каналы \(|+\rangle,|-\rangle\). Различных последовательностей \(\binom Nk\), а нормированное симметричное состояние имеет вид:
\[\tag{23} \begin{aligned} |s,\mu\rangle&= \frac{1}{\sqrt{\binom Nk}} \sum_{\boldsymbol\varepsilon\in\mathcal C_{N,k}} |\varepsilon_1\ldots\varepsilon_N\rangle,\\ s&=\frac N2,\qquad \mu=\frac N2-k,\qquad k=0,\ldots,N. \end{aligned} \]
В этой сумме нет повторений одной последовательности. Разные значения \(k=0,\ldots,N\) дают ортогональные состояния, поэтому размерность симметричного подпространства равна \(N+1\).
Чтобы установить полный спин, введём \(\widehat T_\pm=\widehat T_x\pm i\widehat T_y\). Их действие на эти состояния можно получить подсчётом числа переворачиваемых знаков:
\[\tag{24} \begin{aligned} \widehat T_z|s,\mu\rangle&=\hbar\mu|s,\mu\rangle,\\ \widehat T_+|s,\mu\rangle&=\hbar\sqrt{(s-\mu)(s+\mu+1)}\,|s,\mu+1\rangle,\\ \widehat T_-|s,\mu\rangle&=\hbar\sqrt{(s+\mu)(s-\mu+1)}\,|s,\mu-1\rangle. \end{aligned} \]
На краях последовательности \(\widehat T_+|s,s\rangle=0\) и \(\widehat T_-|s,-s\rangle=0\): состояния с проекциями вне диапазона \(-s,\ldots,s\) не вводятся.
Например, повышение проекции превращает один из \(k\) минусов в плюс. С учётом числа одинаковых вкладов и нормировки соседних сумм получается коэффициент \(\hbar\sqrt{k(N-k+1)}\), совпадающий со второй строкой.
Используем тождество
\[\tag{25} \widehat{\mathbf T}^{\,2}=\widehat T_z^{\,2} +\frac12(\widehat T_+\widehat T_-+\widehat T_-\widehat T_+). \]
Подстановка предыдущих выражений даёт на каждом состоянии одну и ту же величину. Итак,
\[\tag{26} \boxed{ \mathcal H_s=\operatorname{Sym}^{2s}(\mathbb C^2),\qquad \dim\mathcal H_s=2s+1,\qquad \widehat{\mathbf T}^{\,2}=\hbar^2s(s+1)I. } \]
Симметричное подпространство выделяется ортогональным проектором \(\mathcal P_{\mathrm{sym}}=(1/N!)\sum_{\pi\in\mathfrak S_N}\Pi_\pi\), где \(\mathfrak S_N\) — группа перестановок факторов, а \(\Pi_\pi\) переставляет факторы согласно \(\pi\). Его образ равен \(\mathcal H_s\), причём \([\mathcal P_{\mathrm{sym}},\widehat T_i]=0\). Поэтому суммарное вращение не выводит состояние из выбранного спинового сектора. Само применение проектора к произвольному состоянию может уменьшать норму; при подготовке нормированного состояния требуется нормировка результата.
Здесь \(\operatorname{Sym}\) означает полностью симметричное тензорное подпространство. Для \(s=0\) можно непосредственно взять одномерное скалярное представление, то есть \(N=0\). Синглет двух факторов — другой способ реализовать то же представление вращений; он не означает, что любое скалярное поле обязательно обладает двумя скрытыми составляющими.
7. Произвольное вращение через J
Для фиксированной оси генераторы разных факторов коммутируют. Поэтому экспонента суммы распадается в произведение:
\[\tag{27} R_{\mathbf n}(\theta) =\exp\left(-\frac{i\theta}{2}\sum_{r=1}^{N}q_{\mathbf n}^{(r)}\right) =\prod_{r=1}^{N}\exp\left(-\frac{i\theta}{2}q_{\mathbf n}^{(r)}\right). \]
Это произведение операторов на разных тензорных факторах: каждый сомножитель действует на своём факторе и как единица на остальных. Его нельзя свернуть по правилу композиции \(J(a,b)J(u,v)=J(a+u,b+v)\), относящемуся к одной и той же паре проекторов.
Для каждого фактора определим
\[\tag{28} P_{\mathbf n,\pm}^{(r)}=\frac{I\pm q_{\mathbf n}^{(r)}}2,\qquad J_{\mathbf n}^{(r)}(a_r,b_r) =P_{\mathbf n,+}^{(r)}e^{i\pi b_r} +P_{\mathbf n,-}^{(r)}e^{i\pi a_r}. \]
Одинаковое вращение всех факторов сохраняет симметричное подпространство. Ограничение на него даёт искомую формулу:
\[\tag{29} \boxed{ R_{\mathbf n}^{(s)}(\theta)= \left. \prod_{r=1}^{2s} J_{\mathbf n}^{(r)} \left(\frac{\theta}{2\pi},-\frac{\theta}{2\pi}\right) \right|_{\mathcal H_s} = \sum_{\mu=-s}^{s}P_{\mathbf n,\mu}e^{-i\mu\theta}. } \]
Проекторы \(P_{\mathbf n,\mu}\) в правой части выделяют собственные подпространства \(\widehat T_{\mathbf n}=\mathbf n\cdot\widehat{\mathbf T}\) внутри \(\mathcal H_s\). В следующей формуле и \(\widehat T_{\mathbf n}\), и единица \(I\) действуют именно на \(\mathcal H_s\). Это существенно: на полном тензорном пространстве одна проекция не различает разные спиновые секторы. Спектральные проекторы выбранного сектора задаются явно:
\[\tag{30} P_{\mathbf n,\mu} =\prod_{\substack{\nu=-s\\\nu\ne\mu}}^{s} \frac{\widehat T_{\mathbf n}/\hbar-\nu I}{\mu-\nu},\qquad P_{\mathbf n,\mu}P_{\mathbf n,\nu}=\delta_{\mu\nu}P_{\mathbf n,\mu}, \qquad \sum_{\mu=-s}^{s}P_{\mathbf n,\mu}=I_{\mathcal H_s}. \]
При \(s=0\) пустые произведения понимаются как единица. При \(s=1/2\) остаются два спиновых проектора. При большем спине их \(2s+1\), поэтому одного бинарного \(J\) в общем случае недостаточно для всего однопараметрического семейства вращений. Произведение бинарных \(J\) решает эту задачу без изменения элементарного оператора.
Для канала \(\varepsilon_r=\pm1\) полная фаза равна
\[\tag{31} \prod_{r=1}^{N}e^{-i\varepsilon_r\theta/2} =e^{-i\mu\theta},\qquad \mu=\frac12\sum_{r=1}^{N}\varepsilon_r. \]
Отсюда следует общее правило полного оборота:
\[\tag{32} \boxed{ R_{\mathbf n}^{(s)}(2\pi)=(-1)^{2s}I,\qquad R_{\mathbf n}^{(s)}(4\pi)=I. } \]
Фазы вращения для спинов 1 и 3/2Для спина 1 после оборота 2π множитель равен плюс единице, для спина 3/2 — минус единице. После 4π оба дают плюс единицу.Фазы факторов складываютсяКаждый «+»: −θ/2; каждый «−»: +θ/2Спин 1: два фактора JКаналыФазапри 2πпри 4π++−θ11+−, −+011−−+θ11Спин 3/2: три фактора JЧисло «−»Фазапри 2πпри 4π0−3θ/2−111−θ/2−112+θ/2−113+3θ/2−11В таблице показан множитель exp(i × фаза)
Рис. 3. Фазовые множители при вращении: целый и полуцелый спин.
Общий знак состояния не меняет вероятности в изолированной ветви. Наблюдаемым становится относительный знак между когерентными ветвями. Нейтронная интерферометрия даёт пример проверки спинорной периодичности [4]. Это подтверждает закон вращения спина 1/2, но само по себе не доказывает физическую интерпретацию каналов в данной модели.
8. Что требуется для уравнения движения
До сих пор мы строили внутреннее представление вращений. Оно определяет спин, но не задаёт массу, энергию, пространственные производные и преобразования при смене инерциальной системы. Для релятивистского поля нужна дополнительная конструкция.
В предыдущей статье один четырёхкомпонентный дираковский фактор построен из двух бинарных факторов. Чтобы не смешивать их с нумерацией спиновых факторов, обозначим внутри него операции через \(\j_E,S_E\) и \(\j_\sigma,S_\sigma\). Индекс \(E\) — метка первого фактора; при ненулевом импульсе он не является автоматически знаком энергии. Операторы имеют вид
\[\tag{33} B=\j_E,\qquad A_1=S_ES_\sigma,\qquad A_2=iS_ES_\sigma\j_\sigma,\qquad A_3=S_E\j_\sigma, \qquad \Gamma^0=B,\quad\Gamma^i=BA_i. \]
Они удовлетворяют \(\{\Gamma^\lambda,\Gamma^\rho\}=2\eta^{\lambda\rho}I\), где \(\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\), \(x^0=ct\). Здесь греческие индексы \(\lambda,\rho\) относятся к пространству-времени, а \(\mu\) по-прежнему обозначает проекцию спина.
Для свободного массивного поля спина \(s>0\) воспользуемся стандартной конструкцией Баргмана—Вигнера [2]. Возьмём \(N=2s\) дираковских индексов, каждый от 1 до 4, и полностью симметричное по ним поле:
\[\tag{34} \Psi_{\alpha_1\ldots\alpha_N}(x) =\Psi_{\alpha_{\pi(1)}\ldots\alpha_{\pi(N)}}(x) \quad\text{для любой перестановки }\pi. \]
Преобразование Лоренца действует одновременно на все индексы: \(\Psi'(x')=L^{\otimes N}\Psi(x)\). Если \(L^{-1}\Gamma^\lambda L=\Lambda^\lambda{}_{\rho}\Gamma^\rho\), то каждое из приведённых ниже уравнений преобразуется ковариантно. Одинаковое действие на все факторы сохраняет симметрию поля.
На каждый индекс накладывается уравнение Дирака с одной и той же массой \(m>0\):
\[\tag{35} \boxed{ (i\hbar\Gamma_{(r)}^\lambda\partial_\lambda-mc)\Psi=0, \qquad r=1,\ldots,2s. } \]
Индекс \((r)\) указывает, на каком дираковском факторе действует оператор. Везде используется одна координата \(x\): это система уравнений одного поля. В нашей записи каждая \(\Gamma_{(r)}^\lambda\) строится из расщеплений и обменов по приведённой выше формуле. Так известная ковариантная система переносится в операторный язык статьи.
Применим слева оператор \(i\hbar\Gamma_{(r)}^\lambda\partial_\lambda+mc\), у которого знак массового члена противоположен знаку в исходном уравнении. Это алгебраическая факторизация, а не эрмитово сопряжение. Поскольку производные коммутируют, антисимметричная часть произведения \(\Gamma\) не вносит вклада. Получаем проверку второго порядка:
\[\tag{36} \left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi=0,\qquad \Box=\frac1{c^2}\partial_t^2-\nabla^2. \]
Важно проверить и спин. Для плоской волны в системе покоя с положительной энергией \(mc^2\) каждое уравнение требует \(B_{(r)}\Psi=\Psi\). В каждом дираковском факторе остаются две компоненты. Их симметричное произведение — именно \(\operatorname{Sym}^{2s}(\mathbb C^2)\) с уже выведенным спином \(s\). Отрицательная энергетическая ветвь аналогично имеет \(B_{(r)}\Psi=-\Psi\). Наличие массы позволяет перейти из покоя в любую инерциальную систему.
Число компонентов ковариантного поля до уравнений не следует путать с числом поляризаций. Симметричный мультиспинор имеет \(\binom{N+3}{3}\) алгебраически независимых компонентов; система уравнений оставляет для фиксированного импульса \(2s+1\) поляризаций на каждой энергетической ветви. Интерпретация ветвей как частиц и античастиц требует квантования поля.
Формула через N спиновых бинарных факторов описывает вращения в спиновом пространстве. Конструкция Баргмана—Вигнера использует N четырёхкомпонентных дираковских факторов, то есть 2N бинарных факторов до симметризации и уравнений связи. Эти два подсчёта относятся к разным этапам построения.
9. Примеры свободной массивной динамики
Спин 0. Для скалярного поля \(\phi(x)\) внутреннее вращение тождественно, а динамику зададим уравнением Клейна—Гордона:
\[\tag{37} \left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0. \]
При \(N=0\) система Баргмана—Вигнера пуста и сама это уравнение не выводит: его необходимо задать отдельно. Нулевой спин также не означает отсутствия пространственного движения или орбитального момента.
Спин 1/2. При одном дираковском индексе получаем исходное уравнение:
\[\tag{38} (i\hbar\Gamma^\lambda\partial_\lambda-mc)\Psi=0. \]
Спин 1. При двух симметричных дираковских индексах система переводится в тензорную форму Прока для векторного поля \(A^\lambda\) [3]:
\[\tag{39} F^{\lambda\rho}=\partial^\lambda A^\rho-\partial^\rho A^\lambda,\qquad \partial_\lambda F^{\lambda\rho} +\frac{m^2c^2}{\hbar^2}A^\rho=0. \]
Дивергенция второго уравнения при \(m>0\) даёт \(\partial_\rho A^\rho=0\). Следовательно,
\[\tag{40} \left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)A^\rho=0,\qquad \partial_\rho A^\rho=0. \]
В системе покоя условие поперечности исключает временную компоненту ненулевой частотной моды. Остаются три независимые пространственные поляризации — те же три состояния спина 1. Здесь показана стандартная эквивалентная тензорная форма; развёрнутое преобразование компонент мультиспинора в \(A^\lambda,F^{\lambda\rho}\) требует отдельного вычисления.
Спин 3/2. Три симметричных дираковских индекса можно заменить вектор-спинорным описанием. Для свободной массивной частицы удобна следующая система Рариты—Швингера на решениях [3, 5]:
\[\tag{41} (i\hbar\Gamma^\lambda\partial_\lambda-mc)\psi_\rho=0,\qquad \Gamma^\rho\psi_\rho=0,\qquad \partial^\rho\psi_\rho=0. \]
При фиксированной энергетической ветви в системе покоя вектор-спинор до дополнительных ограничений содержит сектор спина \(3/2\) и два сектора спина \(1/2\): временная компонента вектора даёт один из них, а пространственные компоненты — второй. Поперечность убирает временную компоненту; нулевой гамма-след исключает оставшийся сектор спина \(1/2\). Остаются четыре поляризации спина \(3/2\). При выполнении дираковского уравнения условие \(\Gamma^\rho\psi_\rho=0\) уже влечёт \(\partial^\rho\psi_\rho=0\), поэтому все три условия в (41) не независимы. Они выписаны совместно для явного указания физического сектора.
Спин 2. Четырём симметричным дираковским индексам соответствует описание симметричным тензором \(h_{\lambda\rho}\). Свободный массивный сектор Фирца—Паули [6] характеризуется системой
\[\tag{42} h_{\lambda\rho}=h_{\rho\lambda},\qquad \left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)h_{\lambda\rho}=0,\qquad \partial^\lambda h_{\lambda\rho}=0,\qquad \eta^{\lambda\rho}h_{\lambda\rho}=0. \]
В покое остаётся симметричный пространственный тензор из шести компонент; отсутствие следа оставляет пять поляризаций. Наличие спина 2 само по себе не превращает такое массивное свободное поле в полную нелинейную теорию гравитации.
Таким образом, примеры дают последовательность 1, 2, 3, 4, 5 поляризаций для массивных спинов 0, 1/2, 1, 3/2, 2. Дальнейшее включение взаимодействий требует собственного анализа согласованности: свободные уравнения не определяют его автоматически.
10. Безмассовый предел и пример фотона
При \(m=0\) система покоя отсутствует. Поэтому приведённое доказательство через переход в покой неприменимо: физические состояния нужно классифицировать по спиральности — проекции момента на направление импульса. Для обычных безмассовых полей конечной спиральности набор физических мод определяется также ограничениями и калибровочной структурой.
Это видно на электромагнитном поле. Без источников уравнения Максвелла в потенциальной записи имеют вид
\[\tag{43} \partial_\lambda F^{\lambda\rho}=0,\qquad A^\lambda\longmapsto A^\lambda+\partial^\lambda\chi. \]
В калибровке Лоренца \(\partial_\lambda A^\lambda=0\) получаем \(\Box A^\rho=0\). Для плоской волны \(A^\lambda=\epsilon^\lambda e^{-ik_\rho x^\rho}\) это означает
\[\tag{44} k_\lambda k^\lambda=0,\qquad k_\lambda\epsilon^\lambda=0,\qquad \epsilon^\lambda\sim\epsilon^\lambda+\zeta k^\lambda. \]
Последнее равенство означает эквивалентность поляризаций, отличающихся калибровочным слагаемым. При \(k^\lambda=(\kappa,0,0,\kappa)\), \(\kappa>0\), условие поперечности даёт \(\epsilon^0=\epsilon^3\), а калибровочное преобразование позволяет убрать обе эти компоненты. Остаются два поперечных направления; их круговые комбинации имеют спиральности \(+1\) и \(-1\).
Калибровка Лоренца сохраняет остаточную свободу с \(\Box\chi=0\); именно она используется в (44) для удаления компоненты, пропорциональной \(k^\lambda\). При \(m>0\) у поля Прока такой калибровочной свободы нет, и продольная поляризация физична. Её нельзя просто объявить калибровочной при сколь угодно малой ненулевой массе. Предел семейства массивных решений и определение физического пространства при строго нулевой массе требуют отдельного рассмотрения.
Таким образом, у массивного вектора три поляризации, а у свободного поля Максвелла — две. Простая подстановка \(m=0\) в дисперсию не объясняет этот переход: необходимо учесть появившуюся калибровочную свободу и выбрать физическое пространство состояний. Аналогично безмассовый спинор Дирака сохраняет спинорный закон преобразования и не становится фотоном.
Формула произведения \(J\) остаётся полезной для соответствующего представления вращений. Но у фотона нельзя считать все три состояния массивного спина 1 физическими поляризациями. Проекция на физические моды связана с импульсом; вращения изменяют также направление импульса.
11. Сопоставление результатов
В таблице N относится к минимальному полностью симметричному построению спинового пространства. Число поляризаций указано для свободной массивной частицы при фиксированном импульсе на одной энергетической ветви.
Спин sN = 2sПроекции μПоляризацииR(2π)Свободная массивная динамика
00; также возможен синглет двух факторов01+IКлейн—Гордон
1/21±1/22−IДирак
121, 0, −13+IПрока
3/233/2, 1/2, −1/2, −3/24−IРарита—Швингер
242, 1, 0, −1, −25+IФирц—Паули
Вычисления показывают, что бинарные выделения и обмены позволяют воспроизвести представления любого целого и полуцелого спина: несколько факторов объединяются, выделяется нужный сектор, а его вращение выражается произведением элементарных \(J\). Для свободных массивных полей эта структура согласуется с системой Баргмана—Вигнера, в которой дираковские операторы также реализуются через расщепления.
Открытым остаётся физический выбор сектора. Полное произведение содержит несколько спинов, и сама возможность алгебраического разложения ещё не объясняет, почему реализуется конкретный из них. Такой выбор может задаваться ограничениями или динамикой модели, но соответствующий закон необходимо сформулировать отдельно. Не выводятся здесь также массы, статистика частиц и взаимодействия.
Получен общий математический способ строить спин и вращения средствами расщепления. Интерпретация этих операций как физического механизма внутреннего устройства частицы остаётся отдельной гипотезой модели.
Используемые материалы
  1. D. Skinner. Principles of Quantum Mechanics. Разделы Angular Momentum и Addition of Angular Momentum.
  2. V. Bargmann, E. P. Wigner. Group Theoretical Discussion of Relativistic Wave Equations. PNAS 34 (1948), 211–223.
  3. S.-Z. Huang, T.-N. Ruan, N. Wu, Z.-P. Zheng. Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin. Communications in Theoretical Physics 37 (2002), 63–74.
  4. H. Rauch et al. Verification of Coherent Spinor Rotation of Fermions. Physics Letters A 54 (1975), 425–427.
  5. W. Rarita, J. Schwinger. On a Theory of Particles with Half-Integral Spin. Physical Review 60 (1941), 61.
  6. M. Fierz, W. Pauli. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society A 173 (1939), 211–232.