2026-08-03
Геометрическое построение орбит атома водорода
Часть 2. Высшие орбиты и тонкое расщепление
В первой части мы проследили качественную цепочку: две близкие ветви внутреннего движения электрона сохраняются при образовании внешнего связанного состояния, их геометрическое разделение превращается в разность энергий, а эта разность становится расщеплением спектральной линии. Такой результат объясняет сам механизм появления дублета, но ещё не отвечает на три главных вопроса. Почему атом допускает не любые, а только определённые ветви? Как эти ветви нумеруются? И почему величина их энергетического расщепления зависит одновременно от главного квантового числа \(n\) и полного момента \(j\)?
Теперь перейдём от двух наглядных ветвей к общему спектру разрешённых состояний. Для этого нам понадобятся три уже полученных в модели масштаба: внутренняя частота электрона \(\omega_e\), классический радиус электрона \(r_e\) и радиус первой боровской орбиты \(a_0\). Их связь имеет особенно простой вид:
\[\tag{1}
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2a_0.
\]
Именно это малое отношение масштабов позволит получить порядок тонкого расщепления \(\alpha_{\mathrm{fs}}^4\). Первый множитель \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) уже содержится в энергии атомного уровня, а второй возникнет из малого геометрического смещения орбитальной ветви относительно основного радиуса.
Настоящая статья продолжает первую часть
и опирается на ранее полученный геометрический вывод параметров атома Бора.
Наша задача состоит не в повторении стандартного релятивистского расчёта, а в том, чтобы показать, какая пространственная конструкция способна породить ту же зависимость расщепления от \(n\) и \(j\).
1. От двух ветвей к спектру
Слово «спектр» обычно связывают с набором наблюдаемых частот света. Но прежде чем возникнет оптический спектр, сама связанная система должна обладать набором разрешённых внутренних состояний. Поэтому здесь мы будем различать два связанных понятия: спектр геометрических мод электрона и спектр частот, испускаемых при переходах между атомными уровнями.
Обозначим множество разрешённых внутренних частот через
\[\tag{2}
\mathcal S_{\omega}
=
\left\{
\omega_1,\omega_2,\omega_3,\ldots
\right\}.
\]
Это не произвольный набор чисел. Разрешённая частота должна обеспечивать замыкание внутренней волны одновременно с замыканием внешнего атомного состояния. Если после полного цикла фаза не возвращается к исходному значению, такое состояние не образует устойчивой геометрической конфигурации.
Простейшее условие замыкания даёт целое число внутренних оборотов:
\[\tag{3}
\omega_{\kappa}
=
\kappa\omega_e,
\qquad
\kappa=1,2,3,\ldots
\]
где \(\omega_e\) — несущая частота внутреннего движения свободного электрона, а \(\kappa\) — число её полных фазовых оборотов за цикл составного состояния. Целочисленность \(\kappa\) появляется не как дополнительное правило квантования энергии, а как обычное условие замыкания периодической траектории:
\[\tag{4}
\omega_{\kappa}T_e
=
2\pi\kappa,
\qquad
T_e
=
\frac{2\pi}{\omega_e}.
\]
Важно не спутать частоту \(\omega_{\kappa}\) с новой собственной частотой другого электрона. Масса частицы по-прежнему связана с основной внутренней частотой \(\omega_e\). Гармоники описывают способы фазового согласования уже составной системы «внутреннее движение электрона — внешнее атомное состояние».
\[\tag{5}
m_ec^2
\longleftrightarrow
\omega_e,
\qquad
\text{атомная мода}
\longleftrightarrow
\omega_{\kappa}.
\]
2. Обратный спектр пространственных масштабов
Для внутреннего движения электрона ранее была получена связь между характерной частотой и радиусом. Она выражает постоянство линейного волнового масштаба:
\[\tag{6}
\omega_e r_e
=
c.
\]
Если одна и та же геометрическая связь сохраняется для каждой разрешённой гармоники, то
\[\tag{7}
\omega_{\kappa}\rho_{\kappa}
=
c.
\]
Подставляя в это выражение \(\omega_{\kappa}=\kappa\omega_e\), получаем обратный спектр внутренних пространственных масштабов:
\[\tag{8}
\boxed{
\rho_{\kappa}
=
\frac{r_e}{\kappa}
}.
\]
Чем больше число фазовых оборотов, тем меньше соответствующий радиальный масштаб. Это обычное свойство замкнутой волны: увеличение пространственной частоты в \(\kappa\) раз уменьшает длину одного её элемента во столько же раз. Поэтому спектр частот и спектр длин направлены противоположно:
\[\tag{9}
\omega_e,
2\omega_e,
3\omega_e,\ldots
\quad\longleftrightarrow\quad
r_e,
\frac{r_e}{2},
\frac{r_e}{3},\ldots
\]
Для двух мод разность их характерных масштабов равна
\[\tag{10}
\boxed{
\Delta\rho_{\kappa_1\kappa_2}
=
r_e
\left(
\frac{1}{\kappa_1}
-
\frac{1}{\kappa_2}
\right)
}.
\]
Так две ветви первой части превращаются в общее семейство. Теперь каждой разрешённой ветви соответствует собственное целое \(\kappa\), а геометрическое расстояние между любыми двумя ветвями определяется разностью обратных целых чисел.
3. Главное квантовое число и внешний радиус
Индекс \(\kappa\) нумерует внутренние гармоники, но он не должен подменять главное квантовое число. Число \(n\) имеет другой геометрический смысл: оно задаёт внешний атомный уровень и число фазовых звеньев, необходимое для замыкания электронной волны на этом уровне.
Для водородоподобного атома основной радиус \(n\)-го уровня в боровском приближении равен
\[\tag{11}
R_n
=
\frac{n^2a_0}{Z},
\]
где \(Z\) — зарядовое число ядра. Сначала рассмотрим водород, то есть \(Z=1\):
\[\tag{12}
R_n
=
n^2a_0.
\]
Одно и то же значение \(n\) задаёт общий крупный радиус, тогда как разные значения \(\kappa\) различают близкие ветви внутри этого уровня. Поэтому полный радиус удобно записать как
\[\tag{13}
R_{n,\kappa}
=
R_n+\delta R_{n,\kappa},
\qquad
\left|\delta R_{n,\kappa}\right|
\ll
R_n.
\]
Здесь \(R_n\) описывает основную геометрию атома, а \(\delta R_{n,\kappa}\) — малое смещение конкретной ветви. Таким образом, два индекса отвечают на разные вопросы:
| Индекс | Геометрический смысл | Что он изменяет |
|---|---|---|
| \(n\) | Число фазовых звеньев внешнего атомного состояния | Основной радиус \(R_n=n^2a_0\) и энергию уровня |
| \(\kappa\) | Число оборотов внутренней гармоники | Малое положение ветви внутри одного уровня |
4. Почему появляется множитель n
В первой части мы рассматривали только сам факт переноса внутреннего расщепления на внешнее связанное состояние. Для общего уровня необходимо учесть его фазовую длину. На \(n\)-м уровне замкнутое состояние состоит из \(n\) последовательно согласованных фазовых звеньев. Каждое звено несёт один и тот же малый радиальный вклад \(\rho_{\kappa}\).
Если после каждого звена внутренняя и внешняя фазы соединяются в одной ориентации, эти вклады складываются когерентно. Тогда полный сдвиг ветви представляет собой сумму \(n\) одинаковых элементов:
\[\tag{14}
\delta R_{n,\kappa}
=
-\sum_{q=1}^{n}\rho_{\kappa}.
\]
Знак минус означает, что рассматриваемая поправка направлена к меньшему радиусу относительно нерелятивистского боровского масштаба. Используя формулу (8), получаем
\[\tag{15}
\boxed{
\delta R_{n,\kappa}
=
-n\rho_{\kappa}
=
-\frac{nr_e}{\kappa}
}.
\]
Множитель \(n\) здесь не добавляется ради совпадения с энергетической формулой. Он возникает потому, что внутренний масштаб переносится не на одно произвольно выбранное место орбиты, а на все \(n\) фазовых звеньев замкнутого состояния. Если бы вклады разных звеньев взаимно компенсировались, линейного множителя \(n\) не появилось бы и известная зависимость тонкого расщепления от \(n\) не воспроизводилась бы.
Для двух ветвей одного уровня имеем
\[\tag{16}
R_{n,\kappa_1}
=
R_n
-
\frac{nr_e}{\kappa_1},
\qquad
R_{n,\kappa_2}
=
R_n
-
\frac{nr_e}{\kappa_2}.
\]
Следовательно, их геометрическое разделение равно
\[\tag{17}
\boxed{
\Delta R_{n;\kappa_1\kappa_2}
=
nr_e
\left(
\frac{1}{\kappa_1}
-
\frac{1}{\kappa_2}
\right)
}.
\]
В дальнейшем для величины расщепления будет важен модуль этой разности, поэтому порядок индексов можно выбирать произвольно.
5. От геометрического смещения к энергии
Теперь воспользуемся тем же принципом, который был введён в первой части. Градиент энергии не создаёт ветви, а лишь преобразует уже существующее расстояние между ними в наблюдаемую разность энергий.
Для кругового водородного состояния полная боровская энергия как функция радиуса записывается в виде
\[\tag{18}
E(R)
=
-\frac{1}{2}
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}.
\]
Её производная по радиусу равна
\[\tag{19}
\frac{\partial E}{\partial R}
=
\frac{1}{2}
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}.
\]
Используем тождества
\[\tag{20}
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}
=
m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2a_0,
\qquad
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2a_0.
\]
В точке \(R_n=n^2a_0\) энергетический градиент принимает вид
\[\tag{21}
\left.
\frac{\partial E}{\partial R}
\right|_{R_n}
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}
{2n^4a_0}.
\]
Поскольку смещения ветвей чрезвычайно малы по сравнению с \(R_n\), достаточно первого члена разложения:
\[\tag{22}
E_{n,\kappa}
\approx
E_n
+
\left.
\frac{\partial E}{\partial R}
\right|_{R_n}
\delta R_{n,\kappa}.
\]
Подставляя формулы (15) и (21), получаем зависящую от ветви поправку
\[\tag{23}
\delta E_{n,\kappa}
=
-\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
{2n^3\kappa}.
\]
Здесь хорошо видна геометрия обоих малых множителей. Величина \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) входит в основной атомный градиент, а ещё одна \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) содержится в отношении внутреннего радиуса электрона к боровскому радиусу:
\[\tag{24}
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\times
\frac{r_e}{a_0}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\times
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^4.
\]
Разность энергий двух ветвей одного уровня поэтому равна
\[\tag{25}
\boxed{
\left|
\Delta E_{n;\kappa_1\kappa_2}
\right|
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
{2n^3}
\left|
\frac{1}{\kappa_1}
-
\frac{1}{\kappa_2}
\right|
}.
\]
Это центральный результат статьи. Зависимость \(1/n^3\) возникла из произведения двух геометрических факторов: градиент на радиусе \(R_n=n^2a_0\) даёт \(1/n^4\), а когерентное накопление малого смещения по \(n\) фазовым звеньям возвращает один множитель \(n\).
6. Связь гармонического индекса с атомным моментом
До сих пор \(\kappa\) был введён как положительный номер внутренней гармоники. Чтобы сопоставить геометрические ветви с обычной классификацией атомных состояний, установим соответствие
\[\tag{26}
\boxed{
\kappa
=
j+\frac{1}{2}
}.
\]
Поскольку полный момент электрона принимает полуцелые значения
\[\tag{27}
j
=
\frac12,
\frac32,
\frac52,\ldots,
\]
индекс \(\kappa\) автоматически становится целым:
\[\tag{28}
\kappa
=
1,2,3,\ldots
\]
Так полуцелая классификация наблюдаемых атомных состояний связывается с целым числом оборотов внутренней гармоники. Например, две ветви состояния \(2P\) получают простую интерпретацию:
\[\tag{29}
2P_{1/2}
\longleftrightarrow
\kappa_1=1,
\qquad
2P_{3/2}
\longleftrightarrow
\kappa_2=2.
\]
Поэтому их геометрический множитель равен
\[\tag{30}
\left|
\frac{1}{\kappa_1}
-
\frac{1}{\kappa_2}
\right|
=
1-\frac12
=
\frac12.
\]
После замены \(\kappa=j+1/2\) формула (25) принимает привычный вид:
\[\tag{31}
\boxed{
\left|
\Delta E_{n;j_1j_2}
\right|
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
{2n^3}
\left|
\frac{1}{j_1+\frac12}
-
\frac{1}{j_2+\frac12}
\right|
}.
\]
Именно такая зависимость описывает ведущую разность тонкой структуры между состояниями с одинаковым \(n\), но разными \(j\). В геометрической модели знаменатель \(j+1/2\) перестаёт быть только формальным квантовым сочетанием: он становится числом замкнутых оборотов соответствующей внутренней гармоники.
7. Сопоставление с полной формулой тонкой структуры
В стандартном разложении энергии водородного атома до порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^4\) уровень записывается как
\[\tag{32}
E_{n,j}
\approx
-\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2}{2n^2}
-
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{2n^4}
\left(
\frac{n}{j+\frac12}
-
\frac34
\right).
\]
Зависящая от \(j\) часть этой формулы полностью совпадает с геометрическим результатом (23):
\[\tag{33}
-\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{2n^3}
\frac{1}{j+\frac12}.
\]
Однако в формуле (32) присутствует также слагаемое, одинаковое для всех \(j\) при фиксированном \(n\):
\[\tag{34}
\delta E_n^{\mathrm{common}}
=
\frac{3m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{8n^4}.
\]
Предложенная радиальная конструкция пока не выводит эту общую поправку. Но при вычислении расстояния между двумя ветвями одного уровня она сокращается, поэтому формула расщепления (31) получается полностью. Иными словами, модель на данном этапе объясняет относительное расположение ветвей, а не всю абсолютную релятивистскую поправку к центру уровня.
\[\tag{35}
\delta E_n^{\mathrm{common}}
-
\delta E_n^{\mathrm{common}}
=
0.
\]
Это различие принципиально.
Совпадение формулы интервала между ветвями ещё не означает, что уже получена полная теория тонкой структуры.
Для неё потребуется отдельное геометрическое происхождение общего сдвига, а затем учёт движения ядра, радиационных поправок и других малых эффектов.
8. Численная проверка для водорода
Проверим центральную формулу на нескольких состояниях атома водорода. Используем ведущий геометрический результат (25). Для удобства сравним не только энергию, но и волновое число \(\Delta E/(hc)\) и частоту \(\Delta\nu=\Delta E/h\).
| Интервал | \(\kappa_1,\kappa_2\) | Модель, см\(^{-1}\) | Модель, ГГц | Данные NIST, см\(^{-1}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2P_{1/2}-2P_{3/2}\) | 1, 2 | 0,36523 | 10,9493 | 0,3659 |
| \(3P_{1/2}-3P_{3/2}\) | 1, 2 | 0,10822 | 3,2442 | 0,1084 |
| \(3D_{3/2}-3D_{5/2}\) | 2, 3 | 0,03607 | 1,0814 | 0,0361 |
Табличные значения уровней взяты из базы [1]. Небольшое отличие ожидаемо: формула (25) содержит только ведущий член порядка \(\alpha_{\mathrm{fs}}^4\), тогда как реальные уровни включают приведённую массу, лэмбовский сдвиг, отдачу ядра и более высокие поправки.
Для самого известного примера, дублета \(2P\), расчёт особенно прозрачен:
\[\tag{36}
\left|
\Delta E_{2P}
\right|
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{2\cdot2^3}
\left(1-\frac12\right)
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{32}.
\]
Численно это даёт
\[\tag{37}
\left|
\Delta E_{2P}
\right|
\approx
4{,}5283\times10^{-5}
\;\mathrm{eV},
\]
\[\tag{38}
\Delta\nu_{2P}
\approx
10{,}9493
\;\mathrm{GHz}.
\]
Таким образом, построение воспроизводит не только функциональную зависимость от квантовых чисел, но и правильный масштаб наблюдаемого интервала.
9. Водородоподобные и многоэлектронные атомы
Для водородоподобного иона с зарядом ядра \(Z\) основной радиус уменьшается в \(Z\) раз:
\[\tag{39}
R_n^{(Z)}
=
\frac{n^2a_0}{Z}.
\]
Кулоновская энергия содержит ещё один множитель \(Z\), поэтому градиент на этом радиусе возрастает как \(Z^3\):
\[\tag{40}
\left.
\frac{\partial E^{(Z)}}{\partial R}
\right|_{R_n^{(Z)}}
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2Z^3}
{2n^4a_0}.
\]
Если оставить внутренний сдвиг ветви точно таким же, как в водороде, то геометрическая конструкция предскажет зависимость \(Z^3\). Между тем ведущая тонкая структура водородоподобных ионов масштабируется как \(Z^4\). Для её воспроизведения радиальный перенос также должен получить один множитель \(Z\):
\[\tag{41}
\delta R_{n,\kappa}^{(Z)}
=
-\frac{nZr_e}{\kappa}.
\]
Только при таком дополнительном условии формула принимает вид
\[\tag{42}
\left|
\Delta E_{n;\kappa_1\kappa_2}^{(Z)}
\right|
\approx
\frac{m_ec^2(Z\alpha_{\mathrm{fs}})^4}{2n^3}
\left|
\frac{1}{\kappa_1}
-
\frac{1}{\kappa_2}
\right|.
\]
Зависимость (41) в настоящей статье не выведена из оператора \(J(a,b)\). Поэтому формула (42) является не готовым результатом модели, а условием её будущего обобщения на \(Z>1\). Геометрически ещё предстоит показать, почему заряд ядра должен увеличивать перенос внутреннего масштаба в \(Z\) раз. Для водорода этот дополнительный вопрос отсутствует, поскольку \(Z=1\).
Для щелочных и других многоэлектронных атомов качественная идея двух ветвей сохраняется, что наглядно видно по дублетам спектральных линий. Но водородную формулу нельзя переносить на них буквально: экранирование ядра, проникновение электронной волны во внутренние оболочки и взаимодействие электронов изменяют радиальную энергию. Поэтому жёлтый дублет натрия остаётся хорошей иллюстрацией самого явления, но не прямой численной проверкой водородной геометрии.
10. Что в построении является выводом, а что — гипотезой
Чтобы не смешивать разные уровни модели, перечислим статус основных шагов.
| Положение | Статус в настоящей модели |
|---|---|
| \(a_0=r_e/\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), \(R_n=n^2a_0\) | Опорные пространственные соотношения, полученные или использованные ранее |
| \(\omega_\kappa=\kappa\omega_e\) | Условие целочисленного замыкания внутренней гармоники |
| \(\rho_\kappa=r_e/\kappa\) | Следствие инварианта \(\omega_\kappa\rho_\kappa=c\) |
| \(\delta R_{n,\kappa}=-n\rho_\kappa\) | Новая геометрическая гипотеза о когерентном переносе малого масштаба на \(n\) фазовых звеньев |
| \(\kappa=j+1/2\) | Сопоставление целого гармонического индекса с наблюдаемой классификацией ветвей |
| Формула (25) | Математическое следствие перечисленных геометрических условий |
| Общая поправка \(3/(4n)\) | В настоящем построении пока не выведена |
| Обобщение на \(Z>1\) | Требует отдельного вывода зависимости \(\delta R_{n,\kappa}^{(Z)}=-nZr_e/\kappa\) |
Самое сильное место конструкции состоит в том, что после выбора одного геометрического правила переноса не требуется отдельно постулировать зависимость \(\alpha_{\mathrm{fs}}^4/n^3\). Она появляется из уже существующих масштабов и энергетического градиента. Самое уязвимое место также видно ясно: правило когерентного суммирования по \(n\) звеньям должно в дальнейшем быть получено непосредственно из полного оператора \(J(a,b)\), а не оставаться только пространственной интерпретацией.
11. Общая геометрическая цепочка
Теперь весь переход от внутренней динамики электрона к атомному спектру можно записать одной последовательностью:
\[\tag{43}
\boxed{
\begin{aligned}
\omega_e
&\longrightarrow
\omega_{\kappa}=\kappa\omega_e
\longrightarrow
\rho_{\kappa}=\frac{r_e}{\kappa}
\\
&\longrightarrow
\delta R_{n,\kappa}=-\frac{nr_e}{\kappa}
\longrightarrow
E_{n,\kappa}
\\
&\longrightarrow
\Delta E_{n;\kappa_1\kappa_2}
\longrightarrow
\Delta\nu.
\end{aligned}
}.
\]
В этой цепочке каждое звено выполняет собственную роль. Частота задаёт число внутренних оборотов; инвариант частоты и радиуса превращает их в обратный спектр длин; внешнее замыкание уровня \(n\) накапливает малый масштаб; энергетический градиент переводит геометрическое расстояние в разность энергий; переход между уровнями делает эту разность наблюдаемой в спектре.
Заключение
В первой части две орбитальные ветви были введены как сохранённое проявление ранее построенной двухветвевой структуры электрона. Во второй части эта картина обобщена на целое семейство разрешённых состояний. Целочисленная гармоника \(\kappa\) создаёт обратный пространственный масштаб \(r_e/\kappa\), а замыкание внешнего уровня из \(n\) фазовых звеньев переносит его в радиальный сдвиг \(-nr_e/\kappa\).
После этого тонкое расщепление возникает уже не как отдельная спектроскопическая формула, а как непосредственное действие энергетического градиента на две близкие геометрические ветви. Связь \(r_e=\alpha_{\mathrm{fs}}^2a_0\) автоматически создаёт порядок \(\alpha_{\mathrm{fs}}^4\), а сочетание радиуса \(R_n=n^2a_0\) с накоплением по \(n\) звеньям даёт зависимость \(1/n^3\).
После сопоставления \(\kappa=j+1/2\) полученная разность энергий совпадает с ведущей формулой тонкого расщепления водорода:
\[\tag{44}
\boxed{
\left|
\Delta E_{n;j_1j_2}
\right|
=
\frac{m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^4}{2n^3}
\left|
\frac{1}{j_1+\frac12}
-
\frac{1}{j_2+\frac12}
\right|
}.
\]
Получен именно интервал между ветвями. Общий сдвиг центра уровня, а также радиационные и ядерные поправки остаются за пределами настоящего построения. Тем не менее главный результат уже определён: внутренние гармоники электрона, пространственное расщепление орбит и наблюдаемая тонкая структура могут быть представлены как последовательные проявления одной геометрической системы.
Сделаем также терминологическое замечание. Внешнее связанное движение с радиусом \(R_1=a_0\) мы,
следуя боровской картине, называем первой атомной орбитой; в современном квантовом описании ему соответствует орбиталь \(1s\).
Внутреннее замкнутое движение электрона на масштабе \(r_e\) мы называем нулевой орбитой.
Этот термин вводится в рамках предлагаемой модели и не обозначает атомную орбиталь с \(n=0\), которой в стандартной квантовой механике не существует.
Индекс «ноль» указывает лишь на место этого движения в геометрической последовательности:
оно существует у электрона ещё до образования атома и служит внутренней основой, из которой затем строится первая внешняя орбита.
Используемые материалы
- Справочные данные о спектральных линиях натрия и уровнях водорода. NIST: Energy Levels of Neutral Hydrogen.