2026-07-25
Геометрическое происхождение квадрата постоянной тонкой структуры и параметров атома Бора
Настоящая работа является частью более общей концепции, согласно которой математика рассматривается как фундаментальная основа построения наблюдаемой реальности. В рамках этой точки зрения физические законы не являются первичными, а представляют собой проявление более глубоких математических структур.
Физика, химия, биология и другие естественные науки описывают лишь один из возможных способов реализации этих структур в наблюдаемой Вселенной. Поэтому поиск новых математических объектов и закономерностей может привести не только к расширению существующих физических моделей, но и к более общему пониманию принципов построения реальности.
Такой подход не противоречит копенгагенской интерпретации квантовой механики, согласно которой физическая теория описывает наблюдаемые результаты измерений, а не обязана непосредственно отражать "устройство мира". В предлагаемой концепции математическая структура рассматривается как первичная, тогда как физические объекты и законы являются одной из возможных форм её проявления. При этом не исключается возможность существования других математически согласованных структур, которым могли бы соответствовать иные физические законы.
Введение
В предыдущей работе было показано,
что постоянная тонкой структуры может быть получена как следствие геометрии внутреннего вращения частицы.
В рамках предложенной модели внутреннее состояние описывается оператором \[ J(a)=\j^a, \] а соответствующий коэффициент проекции принимает вид \[ \frac{1}{\gamma} = \alpha_{\mathrm{fs}}. \] Тем самым постоянная тонкой структуры появляется не только как экспериментально определяемая константа, но и как величина, возникающая непосредственно из геометрической модели внутреннего движения.
Математической основой дальнейшего обобщения служит введённая ранее сплит-геометрия.
В ней единое комплексное вращение расщепляется на два независимых вращения в ортогональных идемпотентных подпространствах, соответствующих компонентам \(\ep\) и \(\em\).
Эти вращения описываются операторами \(\j^a\) и \((-\j)^b\), а их произведение образует составной сплит-оператор \[ J(a,b) = \j^a(-\j)^b = \ep e^{i\pi b} + \em e^{i\pi a}. \]
Параметр \(a\) характеризует внутреннее состояние частицы, тогда как параметр \(b\) описывает её внешнее движение.
Таким образом, сплит-геометрия позволяет представить внутреннюю и внешнюю динамику как две независимые компоненты одного полного состояния.
Естественным продолжением этой конструкции является вопрос: к какому коэффициенту проекции приводит объединение двух независимых ортогональных движений? В настоящей работе рассматривается полное состояние
\[
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b.
\]
На уровне сплит-геометрии оно представляет собой композицию двух вращений, происходящих в ортогональных идемпотентных плоскостях. Для определения релятивистских характеристик этого составного состояния соответствующие скорости объединяются по правилу релятивистского сложения взаимно перпендикулярных скоростей.
Будет показано, что такая композиция приводит к квадратному Лоренц-фактору \(\gamma_{\mathrm H}\), обратная величина которого равна квадрату постоянной тонкой структуры:
\[
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Таким образом, величина \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) возникает как релятивистский коэффициент проекции составного геометрического состояния, образованного внутренним и внешним ортогональными движениями. Из неё далее последовательно восстанавливаются основные параметры атома водорода: скорость электрона на первой боровской орбите, боровский радиус, угловой момент и энергия основного состояния.
Квадратный Лоренц-фактор
Постоянная тонкой структуры
\[
\alpha_{\mathrm{fs}}\approx\frac{1}{137}
\]
входит практически во все основные параметры атома водорода. Скорость электрона в боровской модели пропорциональна
\(\alpha_{\mathrm{fs}}\), энергия основного состояния — \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), а боровский радиус обратно пропорционален \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).
В стандартной теории эти соотношения следуют из совместного использования кулоновского взаимодействия, квантования углового момента и уравнения Шрёдингера. В настоящей работе рассматривается другой подход: атомное состояние строится как сочетание двух независимых вращений в расширенном базисе.
Предполагается, что внутреннее и внешнее движения имеют одинаковый исходный релятивистский масштаб и принадлежат взаимно ортогональным плоскостям состояния. Применение релятивистского сложения соответствующих взаимно перпендикулярных скоростей приводит к составному коэффициенту
\[
\tag{1}
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Здесь \(\gamma_{\mathrm H}\) — квадратный Лоренц-фактор составного состояния, описываемого оператором
\[
J(a,b)=\j^a(-\j)^b.
\]
Далее будет показано, что из этой величины последовательно восстанавливаются классические параметры первой боровской орбиты:
\[
\tag{2}
v_1=\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\]
\[
\tag{3}
a_0=\frac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}},
\]
\[
\tag{4}
m_ev_1a_0=\hbar,
\]
\[
\tag{5}
E_1=-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
1. Два уровня движения
В основе модели лежит оператор состояния
\[
\tag{6}
J(t)=\j^a(-\j)^b,
\]
где параметр \(a\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b\) — её внешнее движение:
\[
\tag{7}
a=\varpi t,
\qquad
\varpi\pi=\omega,
\]
\[
\tag{8}
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Степени гиперболической единицы раскладываются по двум идемпотентным компонентам:
\[
\tag{9}
\j^a
=
\ep+\em e^{i\pi a},
\]
\[
\tag{10}
(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}+\em.
\]
Поэтому полный оператор принимает вид
\[
\begin{aligned}
J(a,b)
&=
\left(
\ep+\em e^{i\pi a}
\right)
\left(
\ep e^{i\pi b}+\em
\right)
\\[2mm]
&=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}.
\end{aligned}
\tag{11}
\]
Таким образом, две компоненты полного состояния вращаются независимо:
\[
\tag{12}
J(a,b)
=
\ep e^{i\phi_{\mathrm{ext}}}
+
\em e^{i\phi_{\mathrm{int}}},
\]
где
\[
\tag{13}
\phi_{\mathrm{ext}}=\pi b,
\qquad
\phi_{\mathrm{int}}=\pi a.
\]
Геометрически такое состояние соответствует двум вращениям в ортогональных комплексных плоскостях. При постоянных модулях обеих компонент траектория полного состояния принадлежит тороидальной геометрии.
2. Внутреннее движение свободной частицы
В предыдущей работе Лоренц-фактор был получен непосредственно из геометрии внутреннего состояния частицы. Поэтому в настоящей статье он не вводится как самостоятельная релятивистская гипотеза, а рассматривается как уже установленная характеристика оператора внутреннего движения.
\[
J_a=\j^a.
\]
Для свободной частицы ранее было получено соответствие между геометрическим коэффициентом проекции и постоянной тонкой структуры:
\[
\tag{14}
\frac{1}{\gamma_a}
=
\alpha_{\mathrm{fs}} = \sqrt{1-\beta_a^2}.
\]
Здесь \(\gamma_a\) — геометрически полученный Лоренц-фактор внутреннего состояния.
Используя стандартную связь находим безразмерную скорость внутреннего движения:
\[
\tag{15}
\alpha_{\mathrm{fs}} = \sqrt{1-\beta_a^2},
\]
Следовательно,
\[
\boxed{
\beta_a
=
\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}
}
\tag{16}
\]
и соответствующая скорость равна
\[
\tag{17}
v_a
=
c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
\]
Таким образом, почти световая скорость внутреннего движения не задаётся отдельно, а следует из ранее полученного геометрического соотношения.
В рамках рассматриваемой модели величина \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) интерпретируется как коэффициент проекции внутреннего почти светового движения на наблюдаемое массивное состояние электрона.
Важно подчеркнуть, что скорость \(v_a\) не является скоростью перемещения электрона по боровской орбите.
Она характеризует внутреннее движение свободной частицы в расширенном пространстве состояния.
Наблюдаемая орбитальная скорость возникает позднее как относительная проекция составного внутреннего и внешнего состояния.
3. Включение внешнего замкнутого движения
При образовании атомного связанного состояния к внутреннему вращению
\[
\tag{18}
\j^a
\]
добавляется внешнее движение
\[
\tag{19}
(-\j)^b.
\]
Предположим, что внешнее движение имеет тот же исходный релятивистский масштаб:
\[
\tag{20}
\beta_a=\beta_b=\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2},
\]
\[
\tag{21}
\gamma_a=\gamma_b=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Внутреннее и внешнее движения принадлежат различным плоскостям состояния. Поэтому рассматривается последовательная композиция взаимно ортогональных скоростей.
4. Релятивистское сложение ортогональных скоростей
Перед тем как перейти к математическим преобразованиям, рассмотрим геометрический смысл предлагаемой модели.
В отличие от классического подхода, где движение электрона описывается одной скоростью, в настоящей работе предполагается существование двух взаимно перпендикулярных релятивистских движений: внутреннего вращения, связанного с собственной структурой частицы, и внешнего орбитального движения вокруг ядра.
Их совместное действие приводит к появлению квадратичного лоренц-фактора, который далее используется для вывода основных параметров атома Бора.
Пусть первая скорость направлена вдоль одной координатной оси:
\[
\tag{22}
\beta_x=\beta.
\]
Вторая скорость в собственной системе отсчёта направлена перпендикулярно первой и имеет тот же модуль \(\beta\). При переходе в исходную систему её поперечная компонента уменьшается в \(\gamma\) раз:
\[
\tag{23}
\beta_y=\frac{\beta}{\gamma}.
\]
Поскольку
\[
\tag{24}
\frac{1}{\gamma}=\alpha_{\mathrm{fs}},
\]
получаем
\[
\tag{25}
\beta_y=\alpha_{\mathrm{fs}}\beta.
\]
Квадрат модуля результирующей скорости равен
\[
\begin{aligned}
\beta_{\mathrm H}^2
&=
\beta_x^2+\beta_y^2
\\[1mm]
&=
\beta^2+\alpha_{\mathrm{fs}}^2\beta^2
\\[1mm]
&=
\beta^2
\left(
1+\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\right).
\end{aligned}
\tag{26}
\]
Подставляя
\[
\tag{27}
\beta^2=1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2,
\]
находим
\[
\begin{aligned}
\beta_{\mathrm H}^2
&=
\left(
1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\right)
\left(
1+\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\right)
\\[1mm]
&=
1-\alpha_{\mathrm{fs}}^4.
\end{aligned}
\tag{28}
\]
Следовательно,
\[
\tag{29}
1-\beta_{\mathrm H}^2
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^4.
\]
Обратный итоговый лоренц-фактор равен
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
&=
\sqrt{1-\beta_{\mathrm H}^2}
\\[1mm]
&=
\sqrt{\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
\\[1mm]
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\end{aligned}
\tag{30}
\]
Таким образом,
\[
\boxed{
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
\tag{31}
\]
и квадрат постоянной тонкой структуры возникает как результат композиции двух одинаковых взаимно ортогональных релятивистских движений.
5. Эквивалентный вывод через лоренц-факторы
Тот же результат можно получить непосредственно через произведение лоренц-факторов последовательных ортогональных преобразований:
\[
\tag{32}
\gamma_{\mathrm H}
=
\gamma_a\gamma_b.
\]
Так как
\[
\tag{33}
\gamma_a=\gamma_b=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}},
\]
то
\[
\tag{34}
\gamma_{\mathrm H}
=
\frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
\]
Отсюда снова следует
\[
\boxed{
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\frac{1}{\gamma_a}
\frac{1}{\gamma_b}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
}
\tag{35}
\]
В операторной форме этому соответствует переход
\[
\tag{36}
\j^a
\quad\longrightarrow\quad
\j^a(-\j)^b.
\]
Один оператор создаёт коэффициент \(\alpha_{\mathrm{fs}}\), а совместное действие двух ортогональных операторов — коэффициент \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\).
6. Полное состояние и его наблюдаемая проекция
Величина
\[
\tag{37}
\beta_{\mathrm H}
=
\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
\]
очень близка к единице. Однако её нельзя непосредственно считать скоростью электрона по окружности радиуса \(a_0\).
Она характеризует полное движение в расширенном пространстве состояния, содержащее две ортогональные компоненты:
\[
\tag{38}
J_{\mathrm H}
=
\j^a(-\j)^b.
\]
Наблюдаемое движение в обычном пространстве должно определяться проекцией полного состояния на внешнюю компоненту. Поэтому различаются:
\[
\tag{39}
\text{полное почти волновое состояние}
\]
и
\[
\tag{40}
\text{наблюдаемое движение массивного электрона}.
\]
Масса электрона при этом не исчезает. Она определяется первой проекцией внутреннего состояния:
\[
\tag{41}
m_ec^2
=
\alpha_{\mathrm{fs}}E_{\mathrm{int}}.
\]
Дополнительное внешнее вращение изменяет полную геометрию связанного состояния, но наблюдаемая проекция по-прежнему обладает массой \(m_e\).
7. Наблюдаемая орбитальная скорость
Для внутреннего состояния коэффициент проекции равен
\[
\tag{42}
\alpha_{\mathrm{int}}
=
\frac{1}{\gamma_a}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}.
\]
Для полного атомного состояния:
\[
\tag{43}
\alpha_{\mathrm H}
=
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Относительный коэффициент внешней проекции определяется отношением полного коэффициента к внутреннему:
\[
\begin{aligned}
\beta_{\mathrm{orb}}
&=
\frac{\alpha_{\mathrm H}}
{\alpha_{\mathrm{int}}}
\\[1mm]
&=
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}
{\alpha_{\mathrm{fs}}}
\\[1mm]
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}.
\end{aligned}
\tag{44}
\]
Следовательно, наблюдаемая скорость внешнего движения равна
\[
\boxed{
v_{\mathrm{orb}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c.
}
\tag{45}
\]
Это совпадает со скоростью электрона на первой орбите в модели Бора.
Так разрешается кажущееся противоречие. Полное состояние почти световое и почти волновое:
\[
\tag{46}
\beta_{\mathrm H}\approx1,
\]
но его наблюдаемая внешняя проекция является нерелятивистской:
\[
\tag{47}
\beta_{\mathrm{orb}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\ll1.
\]
8. Классический радиус электрона
Ранее для внутреннего движения был получен пространственный масштаб
\[
\tag{48}
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\frac{\hbar}{m_ec}.
\]
Это выражение совпадает с классическим радиусом электрона:
\[
\tag{49}
r_e
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_ec^2}.
\]
Действительно, из определения постоянной тонкой структуры
\[
\tag{50}
\alpha_{\mathrm{fs}}
=
\frac{e^2}
{4\pi\varepsilon_0\hbar c}
\]
следует
\[
\begin{aligned}
\alpha_{\mathrm{fs}}
\frac{\hbar}{m_ec}
&=
\frac{e^2}
{4\pi\varepsilon_0\hbar c}
\frac{\hbar}{m_ec}
\\[1mm]
&=
\frac{e^2}
{4\pi\varepsilon_0m_ec^2}.
\end{aligned}
\tag{51}
\]
9. Получение боровского радиуса
При переходе от одного внутреннего вращения к совместному внутреннему и внешнему состоянию коэффициент изменяется от
\[
\tag{52}
\alpha_{\mathrm{fs}}
\]
до
\[
\tag{53}
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Соответствующий внешний пространственный масштаб определяется выражением
\[
\tag{54}
R_{\mathrm H}
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
\]
Подставляя формулу (48), получаем
\[
\begin{aligned}
R_{\mathrm H}
&=
\frac{
\alpha_{\mathrm{fs}}
\hbar
}{
m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
\\[1mm]
&=
\frac{\hbar}
{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\end{aligned}
\tag{55}
\]
Но
\[
\tag{56}
a_0
=
\frac{\hbar}
{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}
\]
есть боровский радиус. Следовательно,
\[
\boxed{
R_{\mathrm H}=a_0.
}
\tag{57}
\]
Связь трёх характерных масштабов принимает вид
\[
\tag{58}
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\bar\lambda_C,
\]
\[
\tag{59}
a_0
=
\frac{\bar\lambda_C}
{\alpha_{\mathrm{fs}}},
\]
где
\[
\tag{60}
\bar\lambda_C
=
\frac{\hbar}{m_ec}
\]
— приведённая комптоновская длина волны электрона.
Поэтому
\[
\boxed{
a_0
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
}
\tag{61}
\]
10. Угловой момент
Используем полученные величины
\[
\tag{62}
v_{\mathrm{orb}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c
\]
и
\[
\tag{63}
a_0
=
\frac{\hbar}
{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Классический угловой момент равен
\[
\tag{64}
L=m_ev_{\mathrm{orb}}a_0.
\]
После подстановки получаем
\[
\begin{aligned}
L
&=
m_e
\left(
\alpha_{\mathrm{fs}}c
\right)
\frac{\hbar}
{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}
\\[1mm]
&=
\hbar.
\end{aligned}
\tag{65}
\]
Следовательно,
\[
\boxed{
m_ev_{\mathrm{orb}}a_0=\hbar.
}
\tag{66}
\]
Таким образом, условие Бора для первой орбиты возникает как следствие совместного получения скорости и радиуса, а не вводится отдельным постулатом.
11. Энергия основного состояния
Полученный квадратный Лоренц-фактор позволяет восстановить не только наблюдаемую скорость электрона, боровский радиус и угловой момент, но и энергетический масштаб атома водорода.
Используя ранее полученное соотношение
\[
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2,
\]
а также стандартные выражения для кинетической и кулоновской потенциальной энергии, получаем энергию основного состояния:
\[
\boxed{
E_1
=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
}
\tag{67}
\]
Это соответствует энергии основного состояния атома водорода в нерелятивистском приближении. Тем самым квадратный Лоренц-фактор определяет не только пространственные параметры атома, но и энергетический масштаб связанного состояния.
12. Единая роль величины \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\)
Полученная величина одновременно характеризует несколько различных аспектов атомного состояния.
Во-первых, она является обратным лоренц-фактором полного геометрического движения:
\[
\tag{68}
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Во-вторых, она равна квадрату наблюдаемой орбитальной скорости:
\[
\tag{69}
\frac{v_{\mathrm{orb}}^2}{c^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
В-третьих, она задаёт энергетический масштаб атома:
\[
\tag{70}
\frac{2|E_1|}{m_ec^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Поэтому можно записать единое соотношение
\[
\boxed{
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\frac{v_{\mathrm{orb}}^2}{c^2}
=
\frac{2|E_1|}{m_ec^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
\tag{71}
\]
В данной модели это совпадение не является случайным: все три величины происходят из одной геометрической композиции двух ортогональных движений.
13. Геометрическая цепочка переходов
Полную логику вывода можно представить в компактной форме:
\[
\tag{72}
\j^a
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{\gamma_a}
=
\alpha_{\mathrm{fs}},
\]
\[
\tag{73}
\j^a(-\j)^b
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2,
\]
\[
\tag{74}
\frac{
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}{
\alpha_{\mathrm{fs}}
}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\quad\Longrightarrow\quad
v_{\mathrm{orb}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\]
\[
\tag{75}
\frac{
r_e
}{
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}
=
a_0,
\]
\[
\tag{76}
m_ev_{\mathrm{orb}}a_0
=
\hbar,
\]
\[
\tag{77}
E_1
=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Таким образом, параметры первой боровской орбиты оказываются связанными с одним геометрическим механизмом.
14. Физическая интерпретация
Полученная картина отличается как от чисто корпускулярного, так и от чисто волнового описания.
В обычном пространстве электрон проявляется как массивная частица с параметрами
\[
\tag{78}
m=m_e,
\qquad
v=\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\qquad
R=a_0.
\]
Однако его полное состояние в расширенном базисе содержит два почти световых ортогональных движения:
\[
\tag{79}
J_{\mathrm H}
=
\j^a(-\j)^b.
\]
Поэтому полное состояние является почти волновым:
\[
\tag{80}
\beta_{\mathrm H}
=
\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^4}
\approx1.
\]
Наблюдаемые корпускулярные характеристики возникают при проекции этого состояния на обычное пространство.
Такое разделение позволяет одновременно сохранить:
- почти световую динамику полного состояния;
- ненулевую наблюдаемую массу электрона;
- нерелятивистскую скорость движения в атоме;
- боровский радиус;
- квант углового момента;
- энергию основного состояния водорода.
Электрон в атоме в этой интерпретации не является классической точкой, буквально обращающейся по окружности с почти световой скоростью. Почти световым является многокомпонентное движение полного состояния, тогда как его пространственная проекция воспроизводит параметры массивной частицы.
15. Исходные допущения и границы вывода
Необходимо отделить математические следствия модели от её исходных гипотез.
В статье приняты следующие допущения:
- внутреннее состояние частицы описывается оператором \[ \j^a; \]
- внешнее замкнутое движение описывается оператором \[ (-\j)^b; \]
- оба движения имеют одинаковый исходный параметр \[ \beta=\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}; \]
- движения принадлежат взаимно ортогональным плоскостям состояния;
- для их композиции применяются стандартные релятивистские преобразования ортогональных скоростей;
- наблюдаемая орбитальная скорость определяется относительной проекцией полного и внутреннего состояний: \[ \beta_{\mathrm{orb}} = \frac{\alpha_{\mathrm H}} {\alpha_{\mathrm{int}}}. \]
После принятия этих допущений формулы для \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\), \(v_{\mathrm{orb}}\), \(a_0\), \(L\) и \(E_1\) следуют последовательно.
При этом сама идентификация параметра внутреннего движения с постоянной тонкой структуры и правило проекции требуют дальнейшего физического обоснования. Они являются элементами предлагаемой модели, а не следствиями одной только специальной теории относительности.
Выводы
В работе рассмотрено атомное состояние, образованное двумя независимыми ортогональными движениями:
\[
\tag{81}
J_{\mathrm H}
=
\j^a(-\j)^b.
\]
Каждое движение характеризуется обратным лоренц-фактором
\[
\tag{82}
\frac{1}{\gamma}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}.
\]
Последовательная релятивистская композиция двух ортогональных движений приводит к произведению:
\[
\tag{83}
\frac{1}{\gamma_{\mathrm H}}
=
\frac{1}{\gamma_a}
\frac{1}{\gamma_b}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Отношение полного коэффициента проекции к внутреннему даёт наблюдаемую скорость электрона:
\[
\tag{84}
v_{\mathrm{orb}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c.
\]
Из внутреннего масштаба
\[
\tag{85}
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\frac{\hbar}{m_ec}
\]
и полного коэффициента \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) получается боровский радиус:
\[
\tag{86}
a_0
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}
=
\frac{\hbar}
{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Далее автоматически восстанавливаются квант углового момента
\[
\tag{87}
m_ev_{\mathrm{orb}}a_0
=
\hbar
\]
и энергия основного состояния:
\[
\tag{88}
E_1
=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Таким образом, квадрат постоянной тонкой структуры интерпретируется как геометрический результат объединения внутреннего и внешнего ортогональных движений. Полное состояние остаётся почти волновым, тогда как его наблюдаемая проекция воспроизводит классические параметры массивного электрона в атоме водорода.
Основной результат можно представить одной цепочкой:
\[
\boxed{
\j^a(-\j)^b
\Longrightarrow
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\Longrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
v_{\mathrm{orb}}&=\alpha_{\mathrm{fs}}c,\\[1mm]
a_0&=\dfrac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}},\\[2mm]
L&=\hbar,\\[1mm]
E_1&=-\dfrac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\end{aligned}
\right.
}
\tag{89}
\]
Предложенная конструкция предполагает, что атом Бора является лишь простейшим проявлением более общей геометрической структуры. Тот же подход может быть распространен на возбужденные состояния, многоэлектронные системы, взаимодействия частиц и другие квантовые явления, где геометрия ортогональных движений может играть роль объединяющего математического принципа.