2026-07-25
Геометрическое происхождение квадрата постоянной тонкой структуры и параметров атома Бора
Настоящая работа является частью более общей концепции, в которой математика рассматривается не только как язык описания уже существующей действительности, но и как основа её построения. Действительность при этом может иметь множество различных воплощений в виде разных реальностей. Их физические свойства и законы могут различаться, однако лежащие в их основании математические отношения должны сохранять свою непротиворечивость.
В рамках этой концепции наша физическая реальность рассматривается как одно из возможных отображений более общей математической структуры. Поэтому движение, масса, заряд и атомные состояния не обязательно должны вводиться как независимые первичные сущности. Они могут оказаться различными наблюдаемыми проявлениями одного исходного волнового состояния. В предлагаемой модели таким исходным объектом является нормированный сплит-оператор, объединяющий внутреннее состояние частицы и её внешнее движение.
Введение
Параметры атома водорода связаны с постоянной тонкой структуры особенно простыми соотношениями. На первой боровской орбите скорость электрона равна \(\alpha_{\mathrm{fs}}c\), радиус равен \(\hbar/(m_ec\alpha_{\mathrm{fs}})\), а энергия основного состояния пропорциональна \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\). В стандартной теории эти результаты следуют из кулоновского взаимодействия и условия квантования углового момента.
Однако простая подстановка \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) в готовые формулы ещё не объясняет её происхождения. Если заранее принять, что коэффициент внутренней проекции равен \(\alpha_{\mathrm{fs}}\), что радиус изменяется в \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз и что орбитальная скорость равна \(\alpha_{\mathrm{fs}}c\), то параметры атома Бора действительно воспроизводятся, но сама постоянная тонкой структуры остаётся исходным постулатом. Геометрическая задача состоит в другом: сначала получить безразмерный коэффициент из отношения независимо построенных масштабов и лишь затем показать, что этот коэффициент совпадает с \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).
Для этого необходимо различать три уровня. Первый уровень — внутренний электромагнитный масштаб электрона \(r_e\), который далее будем называть нулевой орбитой. Второй — приведённая комптоновская длина \(\overline\lambda_C\), связанная с наблюдаемой массой электрона. Третий — радиус первой атомной орбиты \(R_1=a_0\). Постоянная тонкой структуры сначала возникнет как отношение первых двух масштабов, а её квадрат — как результат двух последовательных геометрических переходов.
Последовательность построения имеет вид
\[
\tag{1}
\boxed{
\left(r_e,\;\omega_{\mathrm{int}}\right)
\;\longrightarrow\;
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\frac{\omega_C}{\omega_{\mathrm{int}}}
\;\longrightarrow\;
\alpha_{\mathrm{fs}}
\;\longrightarrow\;
R_1=a_0
\;\longrightarrow\;
v_1,\;L_1,\;E_1
}
\]
В этой цепочке \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) не подставляется до построения величин \(r_e\) и \(\overline\lambda_C\). Поэтому равенство геометрического коэффициента постоянной тонкой структуры становится результатом сравнения двух масштабов, а не скрытым исходным предположением.
1. Полный оператор состояния
Основой модели служат два взаимно дополнительных идемпотента
\[
\tag{2}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Через них определяется гиперболическая единица \(\j=\ep-\em\), для которой \(\j^2=1\). Полное состояние частицы записывается в виде
\[
\tag{3}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}
}.
\]
Параметры \(a\) и \(b\) имеют разные физические роли:
\[
\tag{4}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega_{\mathrm{int}},
\]
\[
\tag{5}
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Показатель \(a\) описывает внутреннюю периодичность частицы, а показатель \(b\) — её внешнее движение в наблюдаемом пространстве. Эти два процесса входят в один оператор, но принадлежат разным идемпотентным компонентам. Их ортогональность выражается равенством \(\ep\em=0\), а нормировка полного состояния имеет вид
\[
\tag{6}
J\overline J=\ep+\em=1,
\qquad
\lVert J\rVert_i=1.
\]
Единичная норма означает сохранение полного состояния, но не означает, что масса, энергия или радиус численно равны единице. Физические величины возникают при отображении нормированного внутреннего состояния в пространство с размерными координатами. Именно при таком отображении появляются частотные и пространственные масштабы.
2. Два независимо определяемых масштаба электрона
Чтобы не вводить постоянную тонкой структуры заранее, сначала построим два масштаба, в определениях которых \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) отсутствует. Первый масштаб связан с электромагнитной энергией заряда, второй — с квантовой частотой наблюдаемой массы.
Характерная энергия электромагнитного взаимодействия на расстоянии \(r\) равна
\[
\tag{7}
E_{\mathrm{em}}(r)
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}.
\]
Определим внутренний масштаб электрона \(r_e\) условием, при котором эта энергия достигает энергии покоя электрона:
\[
\tag{8}
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r_e}
=
m_ec^2.
\]
Отсюда непосредственно следует
\[
\tag{9}
\boxed{
r_e
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_ec^2}
}.
\]
Это стандартное выражение для классического радиуса электрона. В настоящей модели оно не означает, что электрон является классическим твёрдым шариком такого радиуса. Величина \(r_e\) используется как внутренний электромагнитный масштаб, на котором энергия заряда и энергия покоя имеют одинаковый порядок. Поскольку этот масштаб предшествует построению атомной орбиты, далее будем называть его нулевой орбитой.
Второй масштаб определяется наблюдаемой комптоновской частотой электрона:
\[
\tag{10}
\omega_C
=
\frac{m_ec^2}{\hbar}.
\]
Соответствующая ей приведённая комптоновская длина равна
\[
\tag{11}
\boxed{
\overline\lambda_C
=
\frac{c}{\omega_C}
=
\frac{\hbar}{m_ec}
}.
\]
Таким образом, \(r_e\) получен из электромагнитного энергетического масштаба, а \(\overline\lambda_C\) — из квантовой частоты энергии покоя. Ни в формуле (9), ни в формуле (11) постоянная тонкой структуры не использовалась.
3. Вывод постоянной тонкой структуры как геометрического отношения
Два построенных масштаба относятся к одному электрону, но описывают разные стороны его состояния. Нулевая орбита \(r_e\) характеризует внутренний электромагнитный уровень, а \(\overline\lambda_C\) — уровень наблюдаемой массы. Поэтому естественным безразмерным коэффициентом перехода между ними является отношение
\[
\tag{12}
\alpha_g
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}.
\]
Индекс \(g\) подчёркивает, что на этом этапе введён именно геометрический коэффициент отношения двух длин. Подставим независимо полученные выражения (9) и (11):
\[
\tag{13}
\begin{aligned}
\alpha_g
&=
\frac{
\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_ec^2}
}{
\dfrac{\hbar}{m_ec}
}
\\
&=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}.
\end{aligned}
\]
Правая часть является стандартным выражением для постоянной тонкой структуры. Следовательно,
\[
\tag{14}
\boxed{
\alpha_g
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
}.
\]
Это равенство является ключевым результатом статьи.
Постоянная тонкой структуры не была подставлена в формулу для \(r_e\), чтобы затем получить саму себя.
Сначала независимо определены электромагнитный и квантовый масштабы, после чего их отношение оказалось точно равным \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).
Численно эти масштабы существенно различаются: \(r_e\approx2.818\cdot10^{-15}\) м, тогда как \(\overline\lambda_C\approx3.862\cdot10^{-13}\) м. Их отношение равно приблизительно \(7.297\cdot10^{-3}\), то есть \(1/137.036\). Таким образом, малость постоянной тонкой структуры непосредственно выражает большое различие внутреннего электромагнитного и комптоновского масштабов электрона.
При этом важно точно сформулировать предел полученного результата. Формула (14) выводит геометрический и физический смысл постоянной тонкой структуры как отношения двух фундаментальных масштабов электрона. Она не вычисляет число \(1/137.035\ldots\) из одной только абстрактной алгебры без использования физических постоянных \(e\), \(\varepsilon_0\), \(\hbar\) и \(c\). Численное значение остаётся свойством нашей физической реализации, тогда как геометрия объясняет, где именно этот безразмерный коэффициент возникает и какие уровни состояния он связывает.
4. Частотная форма того же геометрического перехода
Пространственному масштабу \(r_e\) сопоставим внутреннюю частоту \(\omega_{\mathrm{int}}\). Первичный волновой процесс связывает длину и частоту инвариантом скорости:
\[
\tag{15}
\boxed{
r_e\omega_{\mathrm{int}}=c
}.
\]
Для комптоновского масштаба из формулы (11) аналогично следует
\[
\tag{16}
\boxed{
\overline\lambda_C\omega_C=c
}.
\]
Разделим второе равенство на первое. Поскольку произведение длины на соответствующую частоту в обоих случаях равно \(c\), уменьшение частоты сопровождается обратным увеличением пространственного масштаба:
\[
\tag{17}
\frac{\omega_C}{\omega_{\mathrm{int}}}
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}.
\]
С учётом геометрического вывода (14) получаем
\[
\tag{18}
\boxed{
\frac{\omega_C}{\omega_{\mathrm{int}}}
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
}.
\]
Следовательно, одна и та же постоянная является одновременно отношением длин и обратным отношением соответствующих частот:
\[
\tag{19}
\boxed{
\omega_C
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
\overline\lambda_C
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
}.
\]
В геометрической модели массы уменьшение частоты интерпретируется как поперечно-доплеровская проекция внутреннего процесса между ортогональными идемпотентными плоскостями. Теперь коэффициент этой проекции не требуется отдельно отождествлять с \(\alpha_{\mathrm{fs}}\): равенство уже получено из отношения двух масштабов.
Если обозначить угол внутреннего отображения через \(\theta_g\) и ввести параметр проекции \(\beta_g=\sin\theta_g\), то соответствующая величина \(\gamma_g=1/\sqrt{1-\beta_g^2}\). Поэтому коэффициент проекции можно записать в геометрической форме
\[
\tag{20}
\widetilde\alpha
=
\cos\theta_g
=
\frac{1}{\gamma_g}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}.
\]
Величины \(\theta_g\) и \(\gamma_g\) характеризуют внутреннее отображение состояния. Их нельзя отождествлять с углом и лоренц-фактором реального внешнего движения электрона по атомной орбите. Внешнее движение по-прежнему описывается отдельным параметром \(b\), скоростью \(\beta\) и внешним фактором \(\gamma\).
Энергия покоя теперь записывается как следствие полученного частотного отношения:
\[
\tag{21}
\boxed{
m_ec^2
=
\hbar\omega_C
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_{\mathrm{int}}
}.
\]
Таким образом, формула массы и формула нулевой орбиты взаимно согласованы, но больше не образуют кругового вывода. Сначала \(r_e\) определяется электромагнитным условием (8), затем из отношения \(r_e/\overline\lambda_C\) получается \(\alpha_{\mathrm{fs}}\), и лишь после этого постоянная появляется в формуле (21).
5. Три пространственных уровня и происхождение квадрата
Первый геометрический переход уже построен:
\[
\tag{22}
r_e
\;\overset{\alpha_{\mathrm{fs}}^{-1}}{\longrightarrow}\;
\overline\lambda_C,
\qquad
\overline\lambda_C
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Он переводит внутренний электромагнитный масштаб электрона в квантовый масштаб наблюдаемой массы. При образовании связанного состояния электрона и протона появляется следующий уровень — пространственное замыкание электронной волны в атоме.
Основная геометрическая гипотеза атомного построения состоит в самоподобии двух последовательных отображений. Переход от внутреннего электронного уровня к массовому и переход от массового уровня к первой замкнутой атомной орбите имеют один и тот же безразмерный коэффициент. Поэтому
\[
\tag{23}
R_1
=
\frac{\overline\lambda_C}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Это уже не постулат о численном значении постоянной тонкой структуры: коэффициент \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) предварительно получен в формуле (14). Новым предположением здесь является только повторение того же геометрического отношения при следующем уровне замыкания. Такое повторение означает, что между масштабами не вводится ещё одна независимая безразмерная постоянная.
Последовательно применяя формулы (22) и (23), получаем
\[
\tag{24}
R_1
=
\frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
\]
Следовательно,
\[
\tag{25}
\boxed{
\frac{r_e}{R_1}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
Квадрат постоянной тонкой структуры появляется здесь не как квадрат обратного лоренц-фактора некоторой внешней почти световой скорости. Он является произведением двух одинаковых геометрических отношений:
\[
\tag{26}
\boxed{
\frac{r_e}{R_1}
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
\frac{\overline\lambda_C}{R_1}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\alpha_{\mathrm{fs}}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
Именно формула (26) раскрывает геометрическое происхождение квадрата: первый множитель относится к структуре самого электрона, второй — к замыканию его состояния в атоме.
6. Получение боровского радиуса
Подставим в формулу (23) выражение для приведённой комптоновской длины:
\[
\tag{27}
\begin{aligned}
R_1
&=
\frac{\overline\lambda_C}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
\\
&=
\frac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\end{aligned}
\]
Используя уже выведенное равенство
\[
\alpha_{\mathrm{fs}}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c},
\]
получаем
\[
\tag{28}
\boxed{
R_1=a_0
=
\frac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}
=
\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}
}.
\]
Правая часть является стандартным боровским радиусом. Три пространственных масштаба образуют симметричную относительно \(\overline\lambda_C\) последовательность:
\[
\tag{29}
\boxed{
r_e
\;\overset{\alpha_{\mathrm{fs}}^{-1}}{\longrightarrow}\;
\overline\lambda_C
\;\overset{\alpha_{\mathrm{fs}}^{-1}}{\longrightarrow}\;
a_0
}.
\]
В логарифмической шкале приведённая комптоновская длина находится точно посередине между нулевой и первой орбитами:
\[
\tag{30}
\boxed{
\overline\lambda_C^2
=
r_ea_0
}.
\]
Действительно, из \(r_e=\alpha_{\mathrm{fs}}\overline\lambda_C\) и \(a_0=\overline\lambda_C/\alpha_{\mathrm{fs}}\) произведение крайних масштабов равно квадрату среднего. Это дополнительное выражение самоподобия геометрической цепочки.
7. Вывод скорости на первой орбите
В прежней последовательности равенство \(v_1=\alpha_{\mathrm{fs}}c\) принималось отдельно. Однако после получения радиуса первой орбиты скорость можно вывести из динамического равновесия, не вводя её как ещё один постулат.
Для кругового движения центростремительная сила должна быть равна силе кулоновского притяжения:
\[
\tag{31}
\frac{m_ev_1^2}{R_1}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R_1^2}.
\]
Умножая обе части на \(R_1/m_e\), получаем
\[
\tag{32}
v_1^2
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_eR_1}.
\]
Теперь подставим \(R_1=a_0=\hbar/(m_ec\alpha_{\mathrm{fs}})\):
\[
\tag{33}
\begin{aligned}
v_1^2
&=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_e}
\frac{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}{\hbar}
\\
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2c^2.
\end{aligned}
\]
При выборе положительного модуля скорости получаем
\[
\tag{34}
\boxed{
\beta_1
=
\frac{v_1}{c}
=
\alpha_{\mathrm{fs}},
\qquad
v_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c
}.
\]
Следовательно, орбитальная скорость не задаётся независимо от радиуса и постоянной тонкой структуры. Она возникает как динамическое следствие геометрически полученного масштаба \(R_1\) и кулоновского взаимодействия.
В сплит-операторе этой реальной внешней скорости соответствует показатель
\[
\tag{35}
\boxed{
b_1
=
\frac{\arcsin\alpha_{\mathrm{fs}}}{\pi}
}.
\]
Внешний лоренц-фактор электрона на первой орбите равен
\[
\tag{36}
\boxed{
\gamma_1
=
\frac{1}{\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}}
\approx
1.0000266
}.
\]
Орбитальное движение является нерелятивистским в первом приближении. Коэффициент \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\approx137\) не является его лоренц-фактором, а величину \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) тем более нельзя интерпретировать как фактор Лоренца полного атомного движения.
8. Угловой момент первой орбиты
Теперь и радиус, и скорость получены независимо от условия Бора. Проверим угловой момент:
\[
\tag{37}
L_1=m_ev_1R_1.
\]
Подставляя формулы (28) и (34), находим
\[
\tag{38}
\begin{aligned}
L_1
&=
m_e
\left(\alpha_{\mathrm{fs}}c\right)
\frac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}}
\\
&=
\hbar.
\end{aligned}
\]
Таким образом, для первой орбиты выполняется условие Бора:
\[
\tag{39}
\boxed{
m_ev_1a_0=\hbar
}.
\]
В данной последовательности условие \(L_1=\hbar\) не используется для вычисления радиуса или скорости. Напротив, оно возникает как проверка согласованности электромагнитного масштаба, геометрического замыкания и динамического равновесия.
9. Энергия основного состояния
Кинетическая энергия электрона на первой орбите равна
\[
\tag{40}
T_1
=
\frac{m_ev_1^2}{2}
=
\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Кулоновская потенциальная энергия на радиусе \(a_0\) имеет вид
\[
\tag{41}
U_1
=
-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0}.
\]
Из условия динамического равновесия (31) следует
\[
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0}
=
m_ev_1^2.
\]
Поэтому
\[
\tag{42}
U_1
=
-m_ev_1^2
=
-m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2
=
-2T_1.
\]
Полная энергия связанного состояния равна
\[
\tag{43}
\boxed{
E_1
=
T_1+U_1
=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
Знак минус показывает, что состояние связано. Для освобождения электрона необходимо сообщить ему энергию \(|E_1|\). Квадрат постоянной тонкой структуры определяет относительную глубину связанного состояния по сравнению с энергией покоя электрона.
10. Орбитальная частота
Угловая частота движения по первой орбите определяется отношением скорости к радиусу:
\[
\tag{44}
\omega_1
=
\frac{v_1}{a_0}.
\]
После подстановки формул (28) и (34) получаем
\[
\tag{45}
\boxed{
\omega_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
\frac{m_ec^2}{\hbar}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2\omega_C
}.
\]
Поскольку \(\omega_C=\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_{\mathrm{int}}\), орбитальная частота связана с исходной внутренней частотой ещё одним соотношением:
\[
\tag{46}
\boxed{
\omega_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^3\omega_{\mathrm{int}}
}.
\]
При переходе от внутреннего состояния электрона к первой атомной орбите пространственный масштаб увеличивается, а наблюдаемая частота движения уменьшается. Эти изменения происходят согласованно и определяются степенями одного и того же коэффициента.
11. Инварианты частоты и длины
Для нулевой орбиты и комптоновского масштаба действует одна и та же взаимно обратная пара преобразований:
\[
\tag{47}
\overline\lambda_C
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}},
\qquad
\omega_C
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_{\mathrm{int}}.
\]
Поэтому произведение соответствующих пространственных и частотных величин сохраняется:
\[
\tag{48}
\boxed{
r_e\omega_{\mathrm{int}}
=
\overline\lambda_C\omega_C
=
c
}.
\]
Формула (48) показывает две стороны одного преобразования. Если наблюдаемая частота уменьшается в \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз, соответствующий пространственный масштаб увеличивается в \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\) раз. Произведение при этом остаётся равным \(c\).
Для первой орбиты произведение радиуса на орбитальную частоту равно уже реальной орбитальной скорости:
\[
\tag{49}
\boxed{
a_0\omega_1
=
v_1
=
\alpha_{\mathrm{fs}}c
}.
\]
12. Единая роль квадрата постоянной тонкой структуры
После геометрического вывода \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) и построения первой орбиты величина \(\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) получает несколько взаимосвязанных смыслов.
Она задаёт отношение нулевого и первого пространственных масштабов:
\[
\tag{50}
\frac{r_e}{a_0}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Она является квадратом безразмерной орбитальной скорости:
\[
\tag{51}
\frac{v_1^2}{c^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Она определяет отношение орбитальной и комптоновской частот:
\[
\tag{52}
\frac{\omega_1}{\omega_C}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Наконец, она задаёт энергетический масштаб основного состояния:
\[
\tag{53}
\frac{2|E_1|}{m_ec^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\]
Все четыре отношения можно объединить:
\[
\tag{54}
\boxed{
\frac{r_e}{a_0}
=
\frac{v_1^2}{c^2}
=
\frac{\omega_1}{\omega_C}
=
\frac{2|E_1|}{m_ec^2}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
Одно и то же число связывает пространственную, кинематическую, частотную и энергетическую стороны первой орбиты. Это совпадение перестаёт выглядеть набором независимых формул: все отношения восходят к двум последовательным переходам с коэффициентом \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).
13. Полная геометрическая цепочка
Основные результаты можно представить в единой последовательности:
\[
\tag{55}
\boxed{
\begin{aligned}
r_e
&=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_ec^2},
\\
\overline\lambda_C
&=
\frac{\hbar}{m_ec},
\\
\alpha_{\mathrm{fs}}
&=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c},
\\
\omega_C
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}\omega_{\mathrm{int}},
\\
a_0
&=
\frac{\overline\lambda_C}{\alpha_{\mathrm{fs}}}
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2},
\\
v_1
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\qquad
b_1
=
\frac{\arcsin\alpha_{\mathrm{fs}}}{\pi},
\\
L_1
&=
m_ev_1a_0
=
\hbar,
\\
E_1
&=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\end{aligned}
}
\]
Принципиально важен порядок строк в формуле (55). Сначала строятся два масштаба без использования \(\alpha_{\mathrm{fs}}\). Затем постоянная получается как их отношение. После этого тот же коэффициент используется для второго геометрического перехода, а скорость, угловой момент и энергия выводятся уже как следствия построенного радиуса и динамического равновесия.
14. Что принимается и что выводится
Для правильной оценки модели необходимо отделить исходные физико-геометрические положения от полученных результатов.
Принимается:
1. Первичное состояние электрона описывается нормированным оператором \(J(a,b)=\j^a(-\j)^b\), где \(a\) отвечает за внутреннюю периодичность, а \(b\) — за внешнее движение.
2. Внутренний электромагнитный масштаб \(r_e\) определяется условием равенства характерной энергии заряда \(e^2/(4\pi\varepsilon_0r_e)\) и энергии покоя \(m_ec^2\).
3. Пространственный масштаб и соответствующая ему угловая частота связаны волновым инвариантом \(r\omega=c\).
4. При переходе от комптоновского масштаба к первой замкнутой атомной орбите повторяется тот же безразмерный коэффициент, который связывает нулевую орбиту с комптоновским масштабом. Это гипотеза самоподобия двух последовательных геометрических отображений.
5. Устойчивое круговое состояние удовлетворяет балансу кулоновской и центростремительной сил.
Выводится:
1. Коэффициент первого геометрического перехода равен \(r_e/\overline\lambda_C\) и совпадает с постоянной тонкой структуры \(\alpha_{\mathrm{fs}}\).
2. Частотная проекция внутреннего состояния имеет тот же коэффициент: \(\omega_C/\omega_{\mathrm{int}}=\alpha_{\mathrm{fs}}\).
3. Два последовательных перехода дают отношение \(r_e/a_0=\alpha_{\mathrm{fs}}^2\).
4. Радиус первой орбиты совпадает с боровским радиусом, а динамическое равновесие приводит к скорости \(v_1=\alpha_{\mathrm{fs}}c\).
5. Угловой момент первой орбиты равен \(\hbar\), а энергия связанного состояния равна \(-m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2/2\).
Такое разграничение важно. Модель получает постоянную тонкой структуры как отношение независимо введённых электромагнитного и квантового масштабов, но не претендует на вычисление её численного значения из одной только алгебры идемпотентов. Следующей, более глубокой задачей остаётся получение величин \(e\), \(\hbar\) и самого электромагнитного масштаба непосредственно из внутренней динамики оператора \(J\).
15. Связь с дальнейшим построением атома
Настоящая статья устанавливает общий каркас атомной задачи: нулевую орбиту \(r_e\), комптоновский промежуточный масштаб \(\overline\lambda_C\), первую орбиту \(a_0\), её скорость, угловой момент и энергию. Следующий этап состоит уже не в повторном получении этих величин, а в исследовании внутренней структуры первой орбиты.
В первой части построения первой орбиты рассматривается переход от внутренних движений электрона и протона к замкнутому совместному состоянию.
В следующей части исследуется расщепление этого состояния на близкие ветви и возникающий между ними градиент энергии.
Отношения \(r_e/a_0=\alpha_{\mathrm{fs}}^2\) и \(v_1/c=\alpha_{\mathrm{fs}}\) задают общий масштаб первой орбиты, тогда как её двухветвевая структура является следующим уровнем геометрического построения. Наличие двух идемпотентных компонент само по себе не означает автоматического существования двух различных физических радиусов: конкретные ветви появляются только после задания условий атомного замыкания.
Выводы
В работе восстановлен принципиально важный этап — получение постоянной тонкой структуры до её использования в формулах атома Бора. Сначала независимо определяются внутренний электромагнитный масштаб электрона и приведённая комптоновская длина:
\[
\tag{56}
r_e
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_ec^2},
\qquad
\overline\lambda_C
=
\frac{\hbar}{m_ec}.
\]
Их безразмерное отношение равно
\[
\tag{57}
\boxed{
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
}.
\]
Благодаря инварианту длины и частоты то же число является коэффициентом внутренней частотной проекции:
\[
\tag{58}
\boxed{
\frac{\omega_C}{\omega_{\mathrm{int}}}
=
\frac{r_e}{\overline\lambda_C}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
}.
\]
При повторении того же отношения в следующем геометрическом переходе возникает квадрат постоянной тонкой структуры:
\[
\tag{59}
\boxed{
r_e
\;\longrightarrow\;
\overline\lambda_C
\;\longrightarrow\;
a_0,
\qquad
\frac{r_e}{a_0}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}^2
}.
\]
Реальная орбитальная скорость затем получается из динамического равновесия, а не принимается отдельно. В результате восстанавливаются основные параметры атома Бора:
\[
\tag{60}
\boxed{
\left\{
\begin{aligned}
v_1
&=
\alpha_{\mathrm{fs}}c,
\\
a_0
&=
\frac{\hbar}{m_ec\alpha_{\mathrm{fs}}},
\\
L_1
&=
\hbar,
\\
E_1
&=
-\frac12m_ec^2\alpha_{\mathrm{fs}}^2.
\end{aligned}
\right.
}
\]
Таким образом, постоянная тонкой структуры больше не вводится в начале построения как неизвестный коэффициент внутренней проекции. Она возникает как отношение электромагнитного и квантового масштабов одного электрона. Её квадрат, в свою очередь, появляется как композиция двух последовательных геометрических переходов и одновременно определяет пространственный, скоростной, частотный и энергетический масштабы первой орбиты.