2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 4. Пространство состояний и вероятности секторных перестроек
В третьей части частица была определена как устойчивая согласованная сборка независимых операторных секторов, а взаимодействие — как изменение карт принадлежности ветвей \(\kappa_r\) только в активных уровнях. Такая геометрия перечисляет возможные выходные сборки, но сама по себе ещё не определяет, с какой вероятностью реализуется каждая из них.
Для вероятностного описания необходимо заново определить три объекта: пространство полных состояний, внутреннее произведение и оператор взаимодействия. Прежний кет \(|A:B\rangle\) описывал соединение двух ветвей одного сплит-сектора и потому не мог представлять всю частицу. Теперь кет будет содержать полную секторную сигнатуру, состояние внутреннего замыкания и набор карт соединения.
В этой части правило \(P=|\mathcal A|^2\) принимается как вероятностный постулат, согласованный с квантовой механикой. Из идемпотентной алгебры непосредственно следуют ортогональные каналы и правила их перестройки, но квадрат модуля амплитуды, механизм единичной регистрации и конкретные численные вероятности пока из сплит-геометрии не выведены.
\[\tag{1}
\boxed{
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle
=\sum_k\mathcal A_k|\mathcal C_k\rangle,
\qquad
P_k=|\mathcal A_k|^2.
}
\]
1. Полное состояние частицы
Современная многооператорная запись частицы имеет вид
\[\tag{2}
\boxed{
J_P
=J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)}(a,b)
Q_\Gamma
J_qJ_{\mathrm{orb}}J_fJ_cJ_g\cdots,
\qquad \sigma=\pm.
}
\]
Динамический оператор содержит внутреннюю периодичность, внешнее движение и две ориентации состояния. Оператор \(Q_\Gamma\) характеризует внутреннее замыкание, \(J_q\) — зарядовую структуру, \(J_{\mathrm{orb}}\) — орбитальное состояние. Остальные независимые свойства получают собственные операторы и не обязаны находиться в первых двух идемпотентных плоскостях.
Полной сборке сопоставим кет
\[\tag{3}
|P\rangle
=\left|
J_{\mathrm{dyn}}^{(\sigma)},
Q_\Gamma,J_q,J_{\mathrm{orb}},J_f,J_c,J_g,\ldots
\right\rangle.
\]
Его компактная запись:
\[\tag{4}
\boxed{
|P\rangle=|\Lambda_P,\kappa_P\rangle.
}
\]
Здесь \(\Lambda_P\) — полная структурная сигнатура, а \(\kappa_P=\{\kappa_r\}\) — набор карт принадлежности ветвей. Таким образом, кет обозначает уже не пару компонент, а полное состояние устойчивой операторной сборки.
2. Три различных понятия нормы
В вероятностной модели особенно важно не смешивать три математически разные величины. Первая — конечная алгебраическая норма динамического оператора:
\[\tag{5}
J_{\mathrm{dyn}}
\overline{J}_{\mathrm{dyn}}=1.
\]
Она выражает единичность выбранной операторной геометрии. Вторая — нормировка вектора состояния:
\[\tag{6}
\langle\Psi|\Psi\rangle=1.
\]
Она приобретает вероятностный смысл только после определения положительного внутреннего произведения. Третья величина — энергетическая проекция внутренней частоты:
\[\tag{7}
E=\hbar\omega.
\]
Равенство (5) не является ни величиной физической энергии, ни её законом сохранения. Формулы (5)–(7) принадлежат разным уровням описания: алгебре оператора, геометрии пространства состояний и физической проекции временно́й динамики.
3. Секторное пространство одной частицы
Каждому независимому уровню \(r\) сопоставим собственное пространство состояний \(\mathcal H_r\). Набор уровней:
\[\tag{8}
r\in\mathcal R
=\{\mathrm{dyn},\Gamma,q,\mathrm{orb},f,c,g,\ldots\}.
\]
Формальное пространство всех секторных комбинаций образуется тензорным произведением:
\[\tag{9}
\boxed{
\mathcal H_P^{(0)}
=\mathcal H_{\mathrm{dyn}}
\otimes\mathcal H_\Gamma
\otimes\mathcal H_q
\otimes\mathcal H_{\mathrm{orb}}
\otimes\mathcal H_f
\otimes\mathcal H_c
\otimes\mathcal H_g\otimes\cdots.
}
\]
Знак \(\otimes\) здесь означает произведение пространств состояний. Его нельзя смешивать с обычным умножением коммутирующих операторов внутри алгебраической записи (2).
Разделимое состояние имеет вид
\[\tag{10}
|P\rangle
=|\lambda_{\mathrm{dyn}}\rangle
\otimes|\lambda_\Gamma\rangle
\otimes|\lambda_q\rangle
\otimes|\lambda_{\mathrm{orb}}\rangle
\otimes\cdots.
\]
Однако общее состояние может содержать корреляции между секторами и тогда не раскладывается в одно произведение:
\[\tag{11}
|P\rangle
=\sum_{\boldsymbol\lambda}
C_{\boldsymbol\lambda}
|\lambda_{\mathrm{dyn}},\lambda_\Gamma,
\lambda_q,\lambda_{\mathrm{orb}},\ldots\rangle.
\]
4. Допустимое подпространство
Пространство \(\mathcal H_P^{(0)}\) содержит формально возможные комбинации, но не каждая из них представляет устойчивую частицу, связанную систему или свободную волну. Поэтому введём проекторы алгебраической, метрической, замыкающей, топологической и динамической устойчивости:
\[\tag{12}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
=\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{alg}}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{met}}
\widehat{\mathcal P}_{\Gamma}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{top}}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{stable}}.
\]
Физически допустимое пространство определяется образом этого проектора:
\[\tag{13}
\boxed{
\mathcal H_P
=\operatorname{Im}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
=\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
\mathcal H_P^{(0)}.
}
\]
Для допустимого состояния
\[\tag{14}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}|P\rangle=|P\rangle,
\qquad
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}^2
=\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}.
\]
Так запрещённая сборка исключается не словесным запретом, а отсутствием соответствующего вектора в допустимом подпространстве. Конкретный вид каждого проектора остаётся отдельной задачей модели.
5. Сигнатура и базис состояний
Структурная сигнатура частицы содержит значения всех признаков, необходимых для её различения:
\[\tag{15}
\Lambda_P
=\left(
\sigma,E,Q,N_\Gamma,
\mathrm{orb},f,c,g,\ldots
\right).
\]
Базисный вектор будем обозначать как
\[\tag{16}
|\Lambda,\kappa\rangle,
\]
где одна и та же сигнатура может допускать несколько внутренних карт соединения. Полный вектор частицы является их линейной комбинацией:
\[\tag{17}
|P\rangle
=\sum_{\kappa\in K(\Lambda_P)}
C_{\kappa}|\Lambda_P,\kappa\rangle.
\]
Именно полная сигнатура, а не отдельная пара сплит-ветвей, определяет принадлежность состояния электронному, фотонному, мюонному или другому классу.
6. Многочастичные состояния и пространство каналов
Совместное состояние двух исходных объектов записывается как
\[\tag{18}
|\Psi_{12}\rangle
=|P_1\rangle\otimes|P_2\rangle.
\]
Для \(N\) объектов:
\[\tag{19}
\mathcal H^{(N)}
=\bigotimes_{n=1}^{N}\mathcal H_{P_n}.
\]
Взаимодействие может менять число и тип наблюдаемых объектов. Поэтому пространства \(\mathcal H^{(N)}\) одного фиксированного числа частиц недостаточно. Введём полное пространство физических каналов:
\[\tag{20}
\boxed{
\mathscr H
=\bigoplus_{\chi}\mathcal H_\chi.
}
\]
Например, для электрон-позитронной системы доступная часть пространства может иметь структуру
\[\tag{21}
\mathscr H_{e^-e^+}
=\mathcal H_{e^-e^+}
\oplus\mathcal H_{\gamma\gamma}
\oplus\mathcal H_{\mu^-\mu^+}
\oplus\mathcal H_{Ps\,\gamma}
\oplus\cdots.
\]
Каждое слагаемое соответствует целому выходному каналу со своей размерностью, непрерывными параметрами и набором внутренних состояний.
7. Карты соединения как часть состояния
Пусть \(\kappa_r\) указывает, каким выходным объектам принадлежат ветви сектора \(r\):
\[\tag{22}
\kappa_r:
\{X_{1r}^+,X_{1r}^-,X_{2r}^+,X_{2r}^-\}
\longrightarrow
\{P'_1,P'_2,\ldots\}.
\]
Полная карта системы является набором секторных карт:
\[\tag{23}
\boxed{
\kappa
=\{\kappa_r\}_{r\in\mathcal R}.
}
\]
Прямая и перекрёстная сборки прежней модели сохраняются как два частных значения одной \(\kappa_r\). Они больше не считаются универсальными состояниями всей частицы.
8. Внутреннее произведение
Чтобы перейти от формального набора состояний к амплитудам, требуется положительно определённое внутреннее произведение. Для каждого сектора выберем метрическое отображение ветвей на ортонормированные векторы:
\[\tag{24}
p_r^+\longleftrightarrow\boldsymbol\xi_r^+,
\qquad
p_r^-\longleftrightarrow\boldsymbol\xi_r^-,
\qquad
\boldsymbol\xi_r^\alpha\boldsymbol\cdot
\boldsymbol\xi_r^\beta=\delta_{\alpha\beta}.
\]
В выбранном координатном базисе секторное внутреннее произведение можно записать через положительную эрмитову метрику \(G_r\):
\[\tag{25}
\langle x_r|y_r\rangle_r
=x_r^\dagger G_r y_r,
\qquad
G_r=G_r^\dagger>0.
\]
Для разделимых полных состояний естественным определением служит произведение секторных перекрытий:
\[\tag{26}
\boxed{
\langle P'|P\rangle
=\prod_{r\in\mathcal R}
\langle\lambda'_r|\lambda_r\rangle_r.
}
\]
Несовместимость в одном обязательном секторе обнуляет полное перекрытие:
\[\tag{27}
\langle\lambda'_s|\lambda_s\rangle_s=0
\quad\Longrightarrow\quad
\langle P'|P\rangle=0.
\]
Для коррелированного состояния (11) внутреннее произведение вычисляется в полном тензорном пространстве и уже не факторизуется. Если выбранные состояния неортогональны, их геометрию описывает матрица Грама:
\[\tag{28}
G_{mn}=\langle\mathcal C_m|\mathcal C_n\rangle.
\]
Таким образом, внутреннее произведение является дополнительной метрической структурой пространства состояний. Оно не совпадает автоматически с алгебраической нормой отдельного оператора.
9. Оператор секторного взаимодействия
В концепции уже используется обозначение \(V(t)=cJ(t)\) для скорости. Поэтому оператор взаимодействия обозначим не \(\widehat V\), а \(\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}\):
\[\tag{29}
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle.
\]
Оператор действует только в наборе активных секторов \(\mathcal R_{\mathrm{act}}\):
\[\tag{30}
\boxed{
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
=\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
\left[
\prod_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}
\widehat{\mathcal U}_r(\kappa_r)
\right]
\otimes
\widehat I_{\mathrm{spec}}.
}
\]
Здесь \(\widehat I_{\mathrm{spec}}\) сохраняет спектаторные уровни. Если разные секторные преобразования не коммутируют, произведение в (30) должно быть упорядочено:
\[\tag{31}
\prod_r\widehat{\mathcal U}_r
\;\longrightarrow\;
\mathcal T_\tau
\exp\left(
-i\int d\tau\,
\widehat{\mathcal G}_{\mathrm{int}}(\tau)
\right).
\]
На допустимом подпространстве проектор \(\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}\) действует как единица. Если непроецированная перестройка создаёт запрещённые компоненты, её проекция уже не обязана сохранять норму; это означает, что выбранный генератор или набор рассматриваемых каналов неполон.
10. Структурные инварианты взаимодействия
Допустимость перехода не должна задаваться только последующей проверкой привычного списка законов сохранения. В замкнутой полной системе взаимодействие рассматривается как внутренняя перестройка, которая сохраняет генераторы её симметрий и полные секторные индексы.
Пусть \(\widehat I_\alpha\) — оператор структурного инварианта. Тогда
\[\tag{32}
\left[
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}},
\widehat I_\alpha
\right]=0.
\]
Для нормосохраняющего оператора из (32) следует равенство соответствующих средних значений:
\[\tag{33}
\langle\Psi_{\mathrm{out}}|
\widehat I_\alpha
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=
\langle\Psi_{\mathrm{in}}|
\widehat I_\alpha
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle.
\]
Энергия связывается с генератором сдвигов по временно́му параметру, импульс — с генератором устойчивой пространственной трансляции, заряд и замыкание — с индексами соответствующих внутренних секторов:
\[\tag{34}
\widehat H=i\hbar\partial_\tau,
\qquad
\widehat p_s=-i\hbar\partial_s,
\qquad
\widehat Q,\quad\widehat N_\Gamma.
\]
Если геометрия замкнутого взаимодействия однородна относительно сдвига \(\tau\), то для унитарной полной эволюции
\[\tag{35}
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}^\dagger
\widehat H
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
=\widehat H
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}},
\widehat H
\right]=0
\quad\Longrightarrow\quad
E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{out}}.
\]
Поэтому сохранение энергии связывается не с единичностью \(J\overline J\), а с симметрией полной динамики относительно переноса по времени. Строгий вывод этой симметрии из первичного порядка событий остаётся отдельной задачей концепции.
11. Динамический генератор
Оператор перестройки можно представить как эволюцию между двумя моментами параметра \(\tau\):
\[\tag{36}
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}(\tau_2,\tau_1)
=\mathcal T_\tau
\exp\left[
-\frac{i}{\hbar}
\int_{\tau_1}^{\tau_2}
\widehat H_{\mathrm{int}}(\tau)\,d\tau
\right].
\]
Соответствующее уравнение изменения состояния:
\[\tag{37}
i\hbar\frac{d}{d\tau}|\Psi(\tau)\rangle
=\widehat H_{\mathrm{int}}(\tau)
|\Psi(\tau)\rangle.
\]
В секторной форме генератор может включать одноуровневые и корреляционные члены:
\[\tag{38}
\widehat H_{\mathrm{int}}
=\sum_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}
\widehat H_r
+\sum_{r<s}\widehat H_{rs}
+\widehat H_{\mathrm{corr}}.
\]
Формулы (36)–(38) задают общую динамическую архитектуру. Явный вид \(\widehat H_{\mathrm{int}}\) ещё должен быть получен из фазовой и секторной геометрии модели.
12. Амплитуда перехода
Пусть \(|\mathcal C_k\rangle\) — нормированное состояние полного выходного канала. Амплитуда перехода равна
\[\tag{39}
\boxed{
\mathcal A_k
=\langle\mathcal C_k|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle.
}
\]
Бра в (39) проверяет не совпадение одной пары ветвей, а соответствие всей сигнатуре, картам соединения и непрерывным параметрам выбранного канала.
Если состояние и преобразование действительно разделимы по активным секторам, матричный элемент факторизуется:
\[\tag{40}
\mathcal A_k
=\prod_{r\in\mathcal R_{\mathrm{act}}}
\langle\lambda_{k,r}|
\widehat{\mathcal U}_r
|\lambda_{\mathrm{in},r}\rangle_r.
\]
При корреляции уровней требуется полный матричный элемент:
\[\tag{41}
\mathcal A_k
\ne
\prod_r\mathcal A_{k,r}.
\]
Запрещённый проектором канал имеет нулевую амплитуду:
\[\tag{42}
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
|\mathcal C_k\rangle=0
\quad\Longrightarrow\quad
\mathcal A_k=0.
\]
13. Вероятностный постулат
Для нормированного дискретного канала вероятность регистрации принимается равной квадрату модуля амплитуды:
\[\tag{43}
\boxed{
P_k=|\mathcal A_k|^2.
}
\]
Для проектора на подпространство результатов \(\widehat\Pi_k\) то же правило записывается как
\[\tag{44}
P_k
=\langle\Psi_{\mathrm{out}}|
\widehat\Pi_k
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle,
\qquad
\widehat\Pi_k^2=\widehat\Pi_k.
\]
Для одномерного ортогонального канала
\[\tag{45}
\widehat\Pi_k
=|\mathcal C_k\rangle
\langle\mathcal C_k|,
\]
и формула (44) переходит в (43). Проекторная запись полезна, когда один наблюдаемый исход содержит несколько неразличаемых внутренних состояний.
14. Нормировка и унитарность
Для замкнутой системы полная эволюция должна сохранять статистическую норму:
\[\tag{46}
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}^\dagger
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}=I.
\]
Тогда
\[\tag{47}
\langle\Psi_{\mathrm{out}}|
\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=\langle\Psi_{\mathrm{in}}|
\Psi_{\mathrm{in}}\rangle=1.
\]
Если ортогональные проекторы образуют полный набор,
\[\tag{48}
\sum_k\widehat\Pi_k=I,
\qquad
\widehat\Pi_k\widehat\Pi_l
=\delta_{kl}\widehat\Pi_k,
\]
то полная вероятность сохраняется:
\[\tag{49}
\sum_kP_k=1.
\]
После ограничения рассмотрения лишь выбранной группой каналов проекция может уменьшить норму. Тогда условная вероятность внутри этой группы равна
\[\tag{50}
P_k^{(S)}
=\frac{|\mathcal A_k|^2}
{\displaystyle\sum_{n\in S}|\mathcal A_n|^2},
\qquad k\in S.
\]
Поэтому унитарность относится к полной замкнутой системе, а не обязательно к усечённому набору наблюдаемых каналов.
15. Суперпозиция и интерференция перестроек
Полное выходное состояние является суперпозицией допустимых каналов:
\[\tag{51}
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=\sum_k\mathcal A_k|\mathcal C_k\rangle.
\]
Если один и тот же конечный канал достигается несколькими неразличимыми последовательностями секторных перестроек, складываются их амплитуды:
\[\tag{52}
\mathcal A_k
=\sum_\lambda\mathcal A_k^{(\lambda)}.
\]
Для двух альтернатив
\[\tag{53}
P_k
=\left|
\mathcal A_k^{(1)}+\mathcal A_k^{(2)}
\right|^2.
\]
После раскрытия:
\[\tag{54}
P_k
=|\mathcal A_k^{(1)}|^2
+|\mathcal A_k^{(2)}|^2
+2\operatorname{Re}
\left(
\mathcal A_k^{(1)}
\overline{\mathcal A_k^{(2)}}
\right).
\]
В геометрической интерпретации интерферируют не разные зарегистрированные результаты, а неразличимые способы изменения карт \(\kappa_r\), приводящие к одной и той же полной выходной сигнатуре.
16. Последовательные взаимодействия
Для цепочки преобразований общий оператор равен упорядоченному произведению:
\[\tag{55}
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{tot}}
=\widehat{\mathcal U}_n\cdots
\widehat{\mathcal U}_2
\widehat{\mathcal U}_1.
\]
Амплитуда перехода через промежуточное состояние \(|\mathcal C_m\rangle\):
\[\tag{56}
\mathcal A_{i\to m\to f}
=\langle\mathcal C_f|
\widehat{\mathcal U}_2
|\mathcal C_m\rangle
\langle\mathcal C_m|
\widehat{\mathcal U}_1
|\mathcal C_i\rangle.
\]
Полнота допустимых промежуточных состояний:
\[\tag{57}
I_{\mathrm{adm}}
=\sum_m|\mathcal C_m\rangle
\langle\mathcal C_m|.
\]
Суммирование по ним даёт
\[\tag{58}
\mathcal A_{i\to f}
=\sum_m
\langle\mathcal C_f|
\widehat{\mathcal U}_2
|\mathcal C_m\rangle
\langle\mathcal C_m|
\widehat{\mathcal U}_1
|\mathcal C_i\rangle
=\langle\mathcal C_f|
\widehat{\mathcal U}_2
I_{\mathrm{adm}}
\widehat{\mathcal U}_1
|\mathcal C_i\rangle.
\]
17. Фазовое и частотное согласование
Амплитуда не может зависеть только от комбинаторики соединений. Секторные состояния содержат фазы, частоты, ориентации и метрические параметры. Поэтому общий оператор следует искать в форме
\[\tag{59}
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
=\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
\left(
\{\Delta\phi_r\},
\{\omega_r\},
\{\kappa_r\},
\Lambda_{\mathrm{in}}
\right).
\]
Для каждого активного сектора можно ввести меру фазового рассогласования:
\[\tag{60}
\Delta\phi_r
=\phi_{r,\mathrm{out}}
-\phi_{r,\mathrm{in}}.
\]
Рабочая гипотеза может связывать секторный матричный элемент со сплит-функциями:
\[\tag{61}
\langle\lambda_{k,r}|
\widehat{\mathcal U}_r
|\lambda_{i,r}\rangle_r
=F_r\left(
\Sin(\Delta\phi_r),
\Cos(\Delta\phi_r),
\Delta\omega_r,\kappa_r
\right).
\]
Конкретный вид \(F_r\), его размерность и нормировка должны быть выведены отдельно. Формула (61) обозначает направление поиска, но не является готовым законом взаимодействия.
18. Аннигиляция электронной пары
Рассмотрим переход
\[\tag{62}
|e^-,e^+\rangle
\longrightarrow
|\gamma_1,\gamma_2\rangle.
\]
Этот процесс нельзя описать простой перестановкой двух универсальных ветвей. Здесь должны согласованно перестроиться по меньшей мере динамический, замыкающий и зарядовый уровни, а информация о двух ориентациях динамических операторов должна отобразиться в поляризационном состоянии излучения.
Амплитуда двухфотонного канала:
\[\tag{63}
\mathcal A_{\gamma\gamma}
=\langle\gamma_1,\gamma_2|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|e^-,e^+\rangle.
\]
Структурное условие перехода имеет вид
\[\tag{64}
\Lambda_{e^-e^+}^{\mathrm{tot}}
\overset{\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}}{\longrightarrow}
\Lambda_{\gamma\gamma}^{\mathrm{tot}},
\qquad
I_\alpha^{\mathrm{in}}
=I_\alpha^{\mathrm{out}}.
\]
Замыкания отдельных электронной и позитронной волн могут исчезнуть только внутри полного перехода, в котором их топологические и динамические признаки компенсированно перераспределяются между всеми выходными компонентами.
19. Обратное рождение пары
Обратный процесс записывается как
\[\tag{65}
|\gamma_1,\gamma_2\rangle
\longrightarrow
|e^-,e^+\rangle.
\]
Его амплитуда:
\[\tag{66}
\mathcal A_{e^-e^+}
=\langle e^-,e^+|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\gamma_1,\gamma_2\rangle.
\]
Если полная динамика обратима, соответствующие операторы связаны сопряжением:
\[\tag{67}
\widehat{\mathcal U}_{\gamma\gamma\to e^-e^+}
=\widehat{\mathcal U}_{e^-e^+\to\gamma\gamma}^{\dagger}.
\]
Однако равенство наблюдаемых вероятностей прямого и обратного процессов из (67) автоматически не следует: необходимо учитывать подготовку начальных состояний, доступный фазовый объём и число внутренних конфигураций каналов.
20. Разные классы выходных каналов
При взаимодействии электронной пары возможны качественно разные перестройки:
\[\tag{68}
|e^-,e^+\rangle
\longrightarrow
|e'^-,e'^+\rangle
\qquad\text{— рассеяние},
\]
\[\tag{69}
|e^-,e^+\rangle
\longrightarrow
|\mu^-,\mu^+\rangle
\qquad\text{— изменение типа частиц},
\]
\[\tag{70}
|e^-,e^+\rangle
\longrightarrow
|Ps,\gamma\rangle
\qquad\text{— образование связанного состояния}.
\]
В первом случае могут сохраняться зарядовые и замыкающие классы отдельных частиц при изменении внешних динамических параметров. Во втором требуется перестройка внутренней частоты и метрического масштаба. В третьем активируется орбитальный сектор и появляется общее замыкание составной системы. Поэтому каждому процессу соответствует свой набор \(\mathcal R_{\mathrm{act}}\).
21. Связь с наблюдаемыми величинами
В серии одинаково подготовленных событий вероятность канала проявляется как предельная относительная частота:
\[\tag{71}
P_k
=\lim_{N\to\infty}\frac{N_k}{N}.
\]
Но в эксперименте измеряется не только полная вероятность. Выходной канал обычно имеет непрерывные параметры \(\zeta\), поэтому требуется плотность вероятности:
\[\tag{72}
dP_k
=|\mathcal A_k(\zeta)|^2
d\mu_k(\zeta),
\]
где \(d\mu_k\) — мера доступных состояний канала. Полная вероятность:
\[\tag{73}
P_k
=\int_{\Omega_k}
|\mathcal A_k(\zeta)|^2
d\mu_k(\zeta).
\]
Для вычисления сечений, угловых распределений и времён жизни одной геометрии состояний недостаточно. Нужны явный генератор взаимодействия, мера фазового пространства и связь амплитуды с потоком исходных состояний.
22. Что следует из построения, а что остаётся гипотезой
Из принятой математической конструкции следуют: тензорное произведение независимых секторных пространств; прямая сумма различающихся физических каналов; действие проекторов; композиция последовательных операторов; появление интерференционного члена при сложении комплексных амплитуд.
Из многооператорной архитектуры третьей части следуют: необходимость полного секторного кета; разделение активных и спектаторных уровней; зависимость состояния от набора карт \(\kappa_r\); недостаточность одной прямой или перекрёстной сборки для определения частицы.
Дополнительными определениями являются: положительное внутреннее произведение каждого сектора; метрика полного пространства; ортогональный базис наблюдаемых каналов; проектор допустимого подпространства.
Физическими постулатами и гипотезами остаются: правило \(P=|\mathcal A|^2\); описание взаимодействия оператором секторной перестройки; конкретный состав активных уровней; существование единственного зарегистрированного исхода; связь сплит-функций с матричными элементами.
Отдельного вывода требуют: явные операторы \(\widehat H_{\mathrm{int}}\) и \(\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}\); происхождение их симметрий из первичной геометрии; численные амплитуды; энергетические пороги; сечения взаимодействий и времена распада.
23. Основной принцип вероятностной модели
Полную конструкцию можно сформулировать как последовательность трёх операций. Сначала выбирается допустимое исходное состояние:
\[\tag{74}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle
\in\mathscr H_{\mathrm{adm}}.
\]
Затем оператор полной секторной динамики создаёт суперпозицию допустимых выходных каналов:
\[\tag{75}
\boxed{
|\Psi_{\mathrm{out}}\rangle
=\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle
=\sum_k
\langle\mathcal C_k|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle
|\mathcal C_k\rangle.
}
\]
Наконец, вероятностный постулат связывает компоненту состояния с частотой регистрации соответствующего канала:
\[\tag{76}
\boxed{
P_k
=\left|
\langle\mathcal C_k|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle
\right|^2,
\qquad
\sum_kP_k=1.
}
\]
Первая часть формулы (75) описывает геометрию и динамику полной перестройки. Формула (76) задаёт вероятностную интерпретацию. Их следует различать до тех пор, пока квадрат модуля амплитуды не будет получен из более глубокого принципа самой модели.
Выводы
Кет частицы теперь описывает полную многооператорную сборку, а не соединение двух универсальных ветвей:
\[\tag{77}
\boxed{
|P\rangle
=|\Lambda_P,\kappa_P\rangle
\in
\widehat{\mathcal P}_{\mathrm{adm}}
\left(
\bigotimes_{r\in\mathcal R}\mathcal H_r
\right).
}
\]
Разные конечные реакции принадлежат различным подпространствам одного полного пространства каналов:
\[\tag{78}
\mathscr H_{\mathrm{adm}}
=\bigoplus_\chi
\mathcal H_\chi^{\mathrm{adm}}.
\]
Взаимодействие изменяет карты принадлежности только в активных секторах и сохраняет структурные инварианты полной замкнутой системы:
\[\tag{79}
\boxed{
\{\kappa_r^{\mathrm{in}}\}
\overset{\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}}{\longrightarrow}
\{\kappa_r^{\mathrm{out}}\},
\qquad
\left[
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}},
\widehat I_\alpha
\right]=0.
}
\]
Энергетический баланс при этом связывается с однородностью полной динамики относительно временно́го переноса, а не с равенством алгебраической нормы единице. Зарядовые, замыкающие и другие индексы сохраняются или компенсированно перераспределяются внутри полного состояния.
После введения внутреннего произведения амплитуда канала определяется проекцией преобразованного состояния на его полную сигнатуру, а вероятность — отдельным статистическим правилом:
\[\tag{80}
\boxed{
\mathcal A_k
=\langle\mathcal C_k|
\widehat{\mathcal U}_{\mathrm{int}}
|\Psi_{\mathrm{in}}\rangle,
\qquad
P_k=|\mathcal A_k|^2.
}
\]
Таким образом, бра-кет-формализм становится языком полного секторного пространства: кет задаёт согласованную операторную сборку, оператор описывает её динамическую перестройку, бра выделяет конкретный допустимый канал, а квадрат амплитуды сопоставляется наблюдаемой статистике. Следующим шагом должен стать вывод явного генератора взаимодействия и исследование того, может ли вероятностное правило быть получено из фазовой геометрии, устойчивости и полноты внутренних каналов.