2026-07-22
Геометрическое представление взаимодействий частиц
Часть 2. Геометрическое правило взаимодействия частиц
В первой части была предложена идея двойного баланса для взаимодействия двух состояний. Однако само правило баланса становится значительно понятнее, если начать не с квадратного уравнения, а с более общего свойства сплит-чисел.
Главная особенность сплит-анализа состоит в том, что функция от сплит-числа распадается на две независимые части. Поэтому многозначность функции возникает отдельно в каждой идемпотентной плоскости. Если в каждой плоскости функция имеет две ветви, то полное сплит-выражение имеет уже четыре ветви.
Именно эта четырёхветвенность приводит к четырём возможным состояниям. Затем эти четыре состояния естественно объединяются в две пары. Оказывается, обе пары сохраняют одну и ту же сумму и одно и то же произведение. Отсюда и возникает правило двойного баланса.
1. Сплит-число и покомпонентное действие функций
Любое состояние в рассматриваемом базисе можно записать в виде
\[
\tag{1}
J=\ep A+\em B.
\]
Здесь \(A\) относится к первой комплексной плоскости, а \(B\) — ко второй. Идемпотенты удовлетворяют условиям
\[
\tag{2}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Условие \(\ep\em=0\) означает, что две части сплит-числа не смешиваются при умножении. Поэтому любые степени состояния вычисляются независимо в двух идемпотентных плоскостях.
Для любого целого \(n\geqslant1\) выполняется
\[
\tag{3}
(\ep A+\em B)^n
=
\ep A^n+\em B^n.
\]
При раскрытии степени все смешанные слагаемые содержат произведение \(\ep\em\) и обращаются в нуль. При этом собственные степени идемпотентов не изменяются: \(\ep^n=\ep\) и \(\em^n=\em\).
Теперь рассмотрим функцию, которая задаётся сходящимся степенным рядом
\[
\tag{4}
f(x)
=
\sum_{n=0}^{\infty}
c_nx^n.
\]
Подставим в этот ряд сплит-число \(J=\ep A+\em B\). Благодаря свойству (3) каждый член ряда распадается на две независимые компоненты. В результате получаем
\[
\tag{5}
f(\ep A+\em B)
=
\ep f(A)+\em f(B).
\]
Таким образом, одна и та же функция действует отдельно в первой и второй комплексных плоскостях. Это не дополнительное предположение, а прямое следствие идемпотентных соотношений.
Именно свойство (5) является исходной точкой дальнейшего рассуждения. Если функция однозначна, результат просто распадается на две компоненты. Если же функция многозначна, то ветви возникают отдельно в каждой плоскости, а затем соединяются во всех допустимых сочетаниях.
2. Квадратный корень как первый многозначный пример
Особенно важным примером является квадратный корень. В отличие от обычной аналитической функции, квадратный корень многозначен, поэтому формулу (5) необходимо понимать не как выбор одной главной ветви, а как правило построения полного множества корней.
Выберем по одному значению корня в каждой комплексной плоскости и обозначим их через \(A_0\) и \(B_0\):
\[
\tag{6}
A_0^2=A,
\qquad
B_0^2=B.
\]
Тогда число \(\ep A_0+\em B_0\) действительно является квадратным корнем сплит-числа. Это проверяется прямым возведением в квадрат:
\[
\tag{7}
(\ep A_0+\em B_0)^2
=
\ep A_0^2+\em B_0^2
=
\ep A+\em B.
\]
Следовательно, квадратный корень вычисляется независимо в двух идемпотентных плоскостях:
\[
\tag{8}
\sqrt{\ep A+\em B}
=
\ep\sqrt{A}
+
\em\sqrt{B}.
\]
Формула (8) является краткой записью множества корней. Символы \(\sqrt{A}\) и \(\sqrt{B}\) здесь обозначают все допустимые комплексные значения, а не только заранее выбранные главные ветви.
Для первой компоненты существуют два значения:
\[
\tag{9}
\sqrt{A}=\pm A_0,
\qquad
A_0^2=A.
\]
Для второй компоненты также существуют два значения:
\[
\tag{10}
\sqrt{B}=\pm B_0,
\qquad
B_0^2=B.
\]
Поскольку две идемпотентные плоскости независимы, знак в первой компоненте не обязан совпадать со знаком во второй. Поэтому два выбора в первой плоскости и два выбора во второй образуют четыре сочетания.
3. Четыре ветви как свойство сплит-анализа
Полный набор квадратных корней сплит-числа имеет вид
\[
\tag{11}
\sqrt{\ep A+\em B}
\in
\left\{
\ep A_0+\em B_0,
\;
\ep A_0-\em B_0,
\;
-\ep A_0+\em B_0,
\;
-\ep A_0-\em B_0
\right\}.
\]
Таким образом, обычный комплексный квадратный корень имеет две ветви, а квадратный корень сплит-числа — четыре.
Причина проста: сплит-число содержит две независимые комплексные части. Каждая часть даёт собственный выбор знака. Поэтому общее число ветвей равно произведению числа ветвей в каждой плоскости.
В данном случае получаем:
\[
\tag{12}
2\times2=4.
\]
Следовательно, четырёхветвенность не является особенностью одного квадратного уравнения. Это более общее свойство сплит-анализа. Квадратное уравнение только проявляет его в конкретной форме.
4. Переход от четырёх ветвей к четырём состояниям
Для описания взаимодействия удобнее обозначить два возможных значения первой компоненты как \(A_1\) и \(A_2\), а два возможных значения второй компоненты — как \(B_1\) и \(B_2\).
Тогда четыре ветви принимают вид
\[
\tag{13}
J_{11}=\ep A_1+\em B_1,
\qquad
J_{12}=\ep A_1+\em B_2,
\]
\[
\tag{14}
J_{21}=\ep A_2+\em B_1,
\qquad
J_{22}=\ep A_2+\em B_2.
\]
Эти состояния не вводятся искусственно. Они появляются автоматически, потому что каждая ветвь первой плоскости может сочетаться с каждой ветвью второй.
Здесь и проявляется фундаментальная особенность сплит-геометрии: одно многозначное выражение порождает не две, а четыре составные ветви.
5. Почему четыре состояния образуют две пары
Во взаимодействии рассматриваются два объекта, поэтому конечный результат должен состоять из двух состояний. Четыре ветви нужно разбить на пары так, чтобы в каждой паре использовались обе ветви первой плоскости и обе ветви второй плоскости.
Сделать это можно двумя естественными способами.
Первый способ сохраняет исходное соответствие компонент:
\[
\tag{15}
\mathcal C_{\parallel}
=
\left\{
J_{11},
J_{22}
\right\}.
\]
Второй способ меняет соответствие между двумя плоскостями:
\[
\tag{16}
\mathcal C_{\times}
=
\left\{
J_{12},
J_{21}
\right\}.
\]
В первом случае компоненте \(A_1\) соответствует \(B_1\), а компоненте \(A_2\) — \(B_2\). Во втором случае связи перекрещиваются: \(A_1\) соединяется с \(B_2\), а \(A_2\) — с \(B_1\).
При этом сами четыре компоненты не меняются. Меняется только способ их объединения в два целых состояния.
6. Сохранение суммы
Рассмотрим сумму состояний в первой паре:
\[
\tag{17}
J_{11}+J_{22}
=
\ep(A_1+A_2)
+
\em(B_1+B_2).
\]
Для перекрёстной пары получаем точно такую же сумму:
\[
\tag{18}
J_{12}+J_{21}
=
\ep(A_1+A_2)
+
\em(B_1+B_2).
\]
Следовательно, обе пары сохраняют один и тот же суммарный сплит-вектор.
Это первое балансное условие:
\[
\tag{19}
J_1+J_2=J_3+J_4.
\]
Но одной суммы недостаточно. Разные пары могут иметь одну и ту же сумму, поэтому она не определяет внутреннюю структуру пары полностью.
7. Сохранение произведения
Теперь рассмотрим произведение состояний. Благодаря условию \(\ep\em=0\) оно вычисляется покомпонентно.
Для первой пары:
\[
\tag{20}
J_{11}J_{22}
=
\ep A_1A_2
+
\em B_1B_2.
\]
Для перекрёстной пары:
\[
\tag{21}
J_{12}J_{21}
=
\ep A_1A_2
+
\em B_2B_1.
\]
Поскольку обычные комплексные компоненты коммутируют, \(B_2B_1=B_1B_2\). Поэтому произведения обеих пар совпадают.
Получаем второе балансное условие:
\[
\tag{22}
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Таким образом, сохранение произведения не вводится произвольно. Оно непосредственно следует из того, что две пары построены из одних и тех же ветвей сплит-функции.
8. Правило двойного баланса
Обе допустимые пары сохраняют одновременно сумму и произведение. Поэтому естественное правило преобразования двух состояний имеет вид
\[
\tag{23}
J_1+J_2=J_3+J_4,
\]
\[
\tag{24}
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Эту систему будем называть правилом двойного баланса.
Первое равенство сохраняет общий сплит-вектор пары. Второе сохраняет её внутреннюю алгебраическую структуру. Вместе они позволяют отличить допустимую перегруппировку компонент от произвольной пары с той же суммой.
Главное здесь состоит в порядке рассуждений. Двойной баланс не придумывается заранее. Сначала из многозначности сплит-функции появляются четыре ветви. Затем эти ветви образуют две пары. И уже после этого обнаруживается, что обе пары сохраняют одну и ту же сумму и одно и то же произведение.
9. Квадратное уравнение как следствие
Если обозначить общую сумму пары через \(S\), а общее произведение через \(P\), то любое состояние пары удовлетворяет уравнению
\[
\tag{25}
J^2-SJ+P=0.
\]
Это уравнение удобно для вычислений, но оно не является первичным источником четырёх состояний.
После разложения по идемпотентам оно распадается на два обычных комплексных квадратных уравнения. Каждое из них даёт две ветви. Независимое соединение этих ветвей снова создаёт четыре состояния.
Поэтому квадратное уравнение только повторяет уже найденную структуру:
\[
\tag{26}
2\ \text{ветви первой плоскости}
\times
2\ \text{ветви второй плоскости}
=
4\ \text{сплит-состояния}.
\]
Именно в этом смысле четырёхветвенность является фундаментальным свойством сплит-анализа, а квадратное уравнение — одним из её проявлений.
10. Общий смысл результата
В обычном комплексном анализе квадратный корень создаёт две ветви. В сплит-анализе каждая из двух независимых комплексных плоскостей создаёт собственные ветви. Поэтому число общих решений перемножается.
Это свойство не ограничивается квадратным корнем. Если функция имеет несколько ветвей в первой плоскости и несколько ветвей во второй, то полное сплит-выражение содержит все возможные сочетания этих ветвей.
Для взаимодействия двух объектов особенно важен простейший случай: две ветви в каждой плоскости. Он создаёт четыре состояния и два естественных способа собрать их в конечную пару.
Первая пара сохраняет исходное соединение компонент. Вторая соответствует их перекрёстной перегруппировке. Обе пары имеют одинаковые сумму и произведение, что и приводит к двойному балансу.
11. Физическая интерпретация
На геометрическом уровне взаимодействие можно понимать как изменение способа соединения компонент двух независимых плоскостей.
Исходные компоненты не исчезают и не возникают заново. Они лишь переходят из одной сборки в другую. Поэтому первая пара и перекрёстная пара описывают два различных способа образования двух целых состояний из одного и того же набора внутренних компонент.
При этом двойной баланс является только геометрическим условием допустимости. Для реального физического процесса дополнительно должны выполняться законы сохранения энергии, импульса, заряда, углового момента и других величин.
Общее условие можно записать как пересечение геометрических и физических ограничений:
\[
\tag{27}
\mathcal C_{\mathrm{total}}
=
\mathcal B_2
\cap
\mathcal C_{\mathrm{phys}}.
\]
Здесь \(\mathcal B_2\) обозначает множество состояний, удовлетворяющих двойному балансу, а \(\mathcal C_{\mathrm{phys}}\) — множество физически разрешённых состояний.
12. Основной вывод
Главный результат можно сформулировать следующим образом.
Функция от сплит-числа действует независимо в двух идемпотентных плоскостях. Поэтому многозначность функции также возникает отдельно в каждой плоскости.
Для квадратного корня каждая плоскость имеет две ветви. Их независимое соединение создаёт четыре сплит-состояния.
Эти четыре состояния образуют две естественные пары: прямую и перекрёстную. Обе пары сохраняют одну и ту же сумму и одно и то же произведение.
Отсюда непосредственно следует правило двойного баланса:
\[
\tag{28}
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Таким образом, двойной баланс является не внешним постулатом, а следствием четырёхветвенной структуры сплит-функций.
Квадратное уравнение \(J^2-SJ+P=0\) даёт ту же четвёрку решений, но выступает уже как алгебраическая форма и проверка более общего свойства сплит-анализа.
13. Правило взаимодействия частиц
Полученный результат позволяет сформулировать общее правило взаимодействия двух частиц в рамках сплит-геометрии.
Каждая частица представляется сплит-состоянием
\[
\tag{29}
J_k=e^{ia_k}\j^{b_k}
=
\ep A_k+\em B_k.
\]
При взаимодействии двух частиц возникают две ветви в первой идемпотентной плоскости и две ветви во второй. Эти ветви не обязаны сохранять первоначальное соединение. Они могут быть вновь собраны в два конечных состояния.
Поэтому взаимодействие двух частиц будем понимать как допустимую перегруппировку четырёх ветвей двух исходных сплит-состояний.
Общая схема имеет вид
\[
\tag{30}
J_1+J_2
\longrightarrow
J_3+J_4.
\]
Здесь конечные состояния должны быть собраны из того же полного набора идемпотентных ветвей, который присутствовал до взаимодействия.
Если исходные состояния записаны как
\[
\tag{31}
J_1=\ep A_1+\em B_1,
\qquad
J_2=\ep A_2+\em B_2,
\]
то геометрия допускает два способа собрать конечную пару.
Первый способ сохраняет исходное соединение компонент:
\[
\tag{32}
\left\{
J_3,J_4
\right\}
=
\left\{
\ep A_1+\em B_1,
\;
\ep A_2+\em B_2
\right\}.
\]
Это прямой канал. На геометрическом уровне он означает, что принадлежность компонент отдельным состояниям не изменилась.
Второй способ меняет соединение компонент:
\[
\tag{33}
\left\{
J_3,J_4
\right\}
=
\left\{
\ep A_1+\em B_2,
\;
\ep A_2+\em B_1
\right\}.
\]
Это перекрёстный канал. В нём каждая конечная частица получает одну компоненту от одного исходного состояния и вторую компоненту — от другого.
Таким образом, правило взаимодействия можно сформулировать словами:
взаимодействие двух частиц представляет собой перегруппировку четырёх ветвей сплит-функции с образованием двух новых составных состояний.
Такая перегруппировка автоматически сохраняет сумму и произведение состояний. Поэтому для любого допустимого двухчастичного канала выполняется двойной баланс:
\[
\tag{34}
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
\]
В этой формулировке двойной баланс уже не является исходным постулатом. Он выступает как алгебраическое следствие сохранения полного набора ветвей и их допустимой перегруппировки.
Полученный результат позволяет по-новому интерпретировать взаимодействие частиц. В предлагаемой модели сохраняются не сами частицы, а полный набор их внутренних ветвей. Частицы представляют собой различные способы объединения этих ветвей в целые состояния. Поэтому взаимодействие двух частиц можно рассматривать как перестройку структуры соединений при неизменном наборе внутренних компонент. Именно эта перестройка приводит к появлению новых конечных состояний.
14. Что определяет геометрия, а что определяет физика
Сплит-геометрия определяет только возможную структуру конечной пары. Она показывает, какие способы соединения ветвей алгебраически допустимы.
Однако из одной геометрии нельзя определить, произойдёт ли конкретная реакция, при какой энергии она начнётся и с какой вероятностью реализуется тот или иной канал.
Для реального процесса одновременно должны выполняться обычные физические законы сохранения:
\[
\tag{35}
E_1+E_2=E_3+E_4,
\qquad
\mathbf p_1+\mathbf p_2
=
\mathbf p_3+\mathbf p_4.
\]
Кроме энергии и импульса должны сохраняться электрический заряд, угловой момент и другие квантовые числа, относящиеся к рассматриваемой реакции.
Поэтому полное правило можно представить как последовательность двух проверок.
Сначала геометрия определяет допустимые сборки ветвей. Затем физические условия отбирают из них реально возможные процессы.
\[
\tag{36}
\text{четыре ветви}
\longrightarrow
\text{две геометрические пары}
\longrightarrow
\text{физически разрешённый канал}.
\]
Следовательно, прямой и перекрёстный каналы не следует заранее отождествлять с конкретными частицами. Такое соответствие должно быть получено из дополнительной физической модели, связывающей параметры \(A,B\) или \(a,b\) с массой, зарядом, импульсом, спином и другими характеристиками частиц.
15. Электрон-позитронная аннигиляция
Рассмотрим хорошо известный двухчастичный процесс
\[
\tag{37}
e^-+e^+
\longrightarrow
\gamma_1+\gamma_2.
\]
В сплит-представлении исходным частицам сопоставляются состояния
\[
\tag{38}
J_{e^-}=\ep A_-+\em B_-,
\qquad
J_{e^+}=\ep A_++\em B_+.
\]
Перекрёстная перегруппировка создаёт два новых состояния:
\[
\tag{39}
J_{\gamma_1}
=
\ep A_-+\em B_+,
\qquad
J_{\gamma_2}
=
\ep A_++\em B_-.
\]
В рамках предлагаемой интерпретации фотонные состояния рассматриваются как возможная новая сборка компонент электрона и позитрона.
Эта запись пока не является выводом свойств фотона из сплит-геометрии. Для такого вывода необходимо дополнительно показать, что новые состояния имеют нулевую массу, нулевой заряд, соответствующий спин и распространяются со скоростью света.
Тем не менее геометрическая схема правильно передаёт общий характер процесса: две исходные частицы исчезают как отдельные сборки, а тот же полный набор компонент образует два состояния другого типа.
16. Рождение электрон-позитронной пары
Обратный процесс можно записать как
\[
\tag{40}
\gamma_1+\gamma_2
\longrightarrow
e^-+e^+.
\]
В этом случае две фотонные сборки перегруппировываются в электронное и позитронное состояния.
Геометрическая обратимость следует из того, что перекрёстная перестановка, выполненная дважды, возвращает исходное соединение компонент.
\[
\tag{41}
(A_1,B_1)+(A_2,B_2)
\longleftrightarrow
(A_1,B_2)+(A_2,B_1).
\]
Физическая обратимость не означает одинаковой вероятности процессов. Для рождения пары необходимо, чтобы энергия столкновения была достаточна для образования масс электрона и позитрона, а также выполнялись все кинематические условия.
Важно различать двухфотонное рождение пары и превращение одного фотона в пару. Один свободный фотон в пустом пространстве не может одновременно сохранить энергию и импульс при образовании \(e^-e^+\). Для однофотонного процесса требуется дополнительный участник, например атомное ядро.
17. Комптоновское рассеяние
Комптоновское рассеяние имеет вид
\[
\tag{42}
\gamma+e^-
\longrightarrow
\gamma'+e'^-.
\]
До и после взаимодействия сохраняются типы частиц: в начальном и конечном состояниях присутствуют один фотон и один электрон. Однако их энергия, импульс и фаза изменяются.
В сплит-геометрии такой процесс можно интерпретировать как перегруппировку компонент, после которой новые сборки по-прежнему принадлежат электронному и фотонному классам.
Это важный пример того, что перекрёстный канал не обязательно означает превращение частиц в частицы другого вида. Он может соответствовать обмену внутренними компонентами при сохранении классов конечных объектов.
Для количественного описания комптоновского эффекта необходимо связать параметры сплит-состояния с энергией и импульсом и получить из двойного баланса известную кинематическую зависимость между частотой и углом рассеяния. Пока такая связь остаётся отдельной задачей.
18. Превращение электронной пары в мюонную
Особенно наглядным примером преобразования одной пары в другую является реакция
\[
\tag{43}
e^-+e^+
\longrightarrow
\mu^-+\mu^+.
\]
Здесь начальная и конечная пары имеют одинаковый суммарный электрический заряд, но состоят из частиц разных типов и масс.
В предлагаемой геометрической картине электрон и позитрон задают четыре исходные ветви. После взаимодействия эти ветви образуют две новые сборки, которые должны удовлетворять условиям мюона и антимюона.
Двойной баланс задаёт алгебраическую непрерывность преобразования:
\[
\tag{44}
J_{e^-}+J_{e^+}
=
J_{\mu^-}+J_{\mu^+},
\]
\[
\tag{45}
J_{e^-}J_{e^+}
=
J_{\mu^-}J_{\mu^+}.
\]
Однако реакция становится физически возможной только тогда, когда энергия столкновения превышает порог образования мюонной пары.
Этот пример показывает потенциально широкое применение правила: оно может описывать не только перестановку состояний одного типа, но и переход от одной пары частиц к другой паре при сохранении общей сплит-структуры.
19. Образование позитрония
Электрон и позитрон могут образовать связанное состояние — позитроний. Однако этот процесс требует отдельного рассмотрения, поскольку конечный результат содержит одну связанную систему, а не две свободные частицы.
Радиативное образование позитрония можно символически записать как
\[
\tag{46}
e^-+e^+
\longrightarrow
Ps+\gamma.
\]
Дополнительный фотон уносит избыток энергии и импульса. В веществе эту роль также может выполнять окружающая среда.
Позитроний существует в двух основных спиновых состояниях: синглетном парапозитронии и триплетном ортопозитронии. Эти состояния различаются взаимной ориентацией спинов электрона и позитрона и имеют различные основные каналы аннигиляции.
В рамках сплит-геометрии естественно исследовать, могут ли две геометрические сборки быть связаны с двумя способами согласования внутренних фаз или спинов. Но такое соответствие нельзя считать уже доказанным.
Для его обоснования необходимо включить в состояние \(J\) спиновую структуру и показать, что одна сборка приводит к синглетному состоянию, а другая — к триплетному.
Поэтому позитроний является не готовым подтверждением модели, а важным примером для её дальнейшей проверки.
20. Классы двухчастичных взаимодействий
Рассмотренные примеры позволяют выделить несколько общих типов процессов.
Первый тип — рассеяние. Частицы сохраняют свой тип, но меняют энергию, импульс или фазу. Примером служит комптоновское рассеяние.
Второй тип — аннигиляция и обратное рождение пары. Две исходные сборки заменяются двумя сборками другого класса. Примером служат процессы \(e^-+e^+\leftrightarrow\gamma+\gamma\).
Третий тип — преобразование одной материальной пары в другую. Примером является реакция \(e^-+e^+\to\mu^-+\mu^+\).
Четвёртый тип — образование связанного состояния. Здесь часть энергии должна быть отведена дополнительным объектом или средой. Примером является образование позитрония.
Во всех случаях сплит-геометрия предлагает единый первый шаг: разложить исходные состояния на независимые ветви и проверить возможные способы их повторной сборки.
21. Обобщённое правило
На основе рассмотренной структуры можно предложить следующую общую схему двухчастичного взаимодействия:
\[
\tag{47}
\left(
\ep A_1+\em B_1
\right)
+
\left(
\ep A_2+\em B_2
\right)
\longrightarrow
\left(
\ep A_1+\em B_2
\right)
+
\left(
\ep A_2+\em B_1
\right).
\]
Это выражение представляет чистую геометрическую перестройку. Оно показывает переход от прямой сборки компонент к перекрёстной.
Соответствующее правило двойного баланса имеет вид
\[
\tag{48}
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Для применения к конкретным частицам к нему необходимо добавить отображение
\[
\tag{49}
J_k
\longrightarrow
\left(
E_k,
\mathbf p_k,
q_k,
s_k,
m_k,
\ldots
\right),
\]
которое связывает параметры сплит-состояния с физическими характеристиками частицы.
Только после построения такого отображения можно строго определить, какая из четырёх ветвей соответствует электрону, фотону, мюону или другому объекту.
Таким образом, правило перегруппировки задаёт общий геометрический каркас взаимодействия, а физическая модель должна наполнить этот каркас измеряемыми величинами.
22. Вероятность реализации каналов
Наличие двух геометрически допустимых пар не означает, что обе они реализуются с одинаковой вероятностью.
Двойной баланс определяет множество возможных сборок, но не задаёт амплитуду перехода между ними.
Для вероятностного описания необходимо ввести дополнительную величину, зависящую от фаз, энергии, спина и других параметров взаимодействия.
Общую структуру можно представить как
\[
\tag{50}
P_{\parallel}+P_{\times}=1,
\]
где \(P_{\parallel}\) — вероятность прямого канала, а \(P_{\times}\) — вероятность перекрёстного канала.
Задача следующего этапа состоит в том, чтобы получить эти вероятности не внешним назначением, а из геометрии состояний, например через фазовое согласование или скалярное произведение исходных и конечных ветвей.
Выводы
Функция от сплит-числа действует независимо в двух идемпотентных плоскостях. Поэтому её многозначность также возникает отдельно в каждой плоскости.
Квадратный корень имеет две ветви в первой плоскости и две ветви во второй. Их независимое соединение создаёт четыре сплит-состояния.
Четыре состояния образуют две взаимодополняющие пары: прямую и перекрёстную. Обе пары построены из одного полного набора ветвей.
Поэтому обе пары имеют одинаковую сумму и одинаковое произведение. Отсюда следует правило двойного баланса
\[
\tag{51}
J_1+J_2=J_3+J_4,
\qquad
J_1J_2=J_3J_4.
\]
Двойной баланс является не внешним постулатом, а алгебраическим следствием четырёхветвенности сплит-функций и допустимой перегруппировки их ветвей.
На этой основе взаимодействие двух частиц предлагается понимать как повторную сборку четырёх ветвей двух исходных сплит-состояний в два конечных состояния.
Такой подход позволяет единым образом рассматривать рассеяние, аннигиляцию, рождение пары и преобразование одной пары частиц в другую.
Примеры электрон-позитронной аннигиляции, комптоновского рассеяния и превращения электронной пары в мюонную показывают возможные направления применения общего правила:
\[
\tag{52}
e^-+e^+
\leftrightarrow
\gamma+\gamma,
\qquad
\gamma+e^-
\to
\gamma'+e'^-,
\qquad
e^-+e^+
\to
\mu^-+\mu^+.
\]
Образование позитрония демонстрирует более сложный случай, в котором требуется учёт связанного состояния, спина и отвода энергии и импульса.
При этом геометрическая допустимость не равна физической реализуемости. Конкретная реакция должна дополнительно удовлетворять законам сохранения энергии, импульса, заряда, углового момента и других квантовых чисел.
Следующая задача состоит в построении явного соответствия между параметрами сплит-состояния и наблюдаемыми характеристиками частиц, а также в выводе вероятностей прямого и перекрёстного каналов.