2026-09-02
Атомные орбитали как проекции расщеплённого фазового пространства
В статье предлагается последовательная геометрическая интерпретация атомных орбиталей. Исходным элементом служит бинарный орбитальный оператор, допускающий две альтернативные фазовые ветви. Несколько независимых операторов образуют различные идемпотентные плоскости, а перестановочная симметрия выделяет из них конечное число физически различимых состояний. Два таких симметричных направления уровня n создают n2 совместных фазовых компонент, которые группируются в подпространства размерностей 1, 3, 5, 7 и далее. После единой проекции двухкомпонентного фазового состояния в трёхмерное пространство эти подпространства воспроизводят сферические гармоники и привычные формы s-, p-, d- и f-орбиталей. Конструкция не заменяет квантовую механику, а формулирует возможный внутренний геометрический механизм известных орбитальных кратностей.
1. Задача геометрического построения
В нерелятивистском водородоподобном атоме энергия уровня с главным квантовым числом n подчиняется закону
\[\tag{1}
E_n=\frac{E_1}{n^2}.
\]
В рамках Волнового Электричества модуль энергии связывается с внутренней фазовой частотой. Поэтому энергетическому закону соответствует уменьшение фазовой скорости:
\[\tag{2}
\begin{aligned}
\mathcal E_n&=\frac{\mathcal E_1}{n^2},
&\varpi_n&=\frac{\varpi_1}{n^2},\\
x_n&=\varpi_n t,
&x_n&=\frac{\varpi_1t}{n^2}.
\end{aligned}
\]
В стандартной классификации для данного n допустимы подуровни
\[\tag{3}
l=0,1,\ldots,n-1,
\qquad
m=-l,-l+1,\ldots,l.
\]
Подуровень с орбитальным числом l содержит 2l+1 пространственных орбиталей. Их общее число на уровне равно
\[\tag{4}
\boxed{
N_n=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2
}.
\]
| Индекс | Смысл | Допустимые значения |
|---|---|---|
| n | энергетический уровень и радиальная мода | 1, 2, 3, ... |
| l | тип углового подуровня | 0, ..., n−1 |
| m | ориентация орбитальной формы | −l, ..., +l |
| σ | ориентация спина электрона | +, − |
Наша задача состоит в том, чтобы получить как квадрат n2, так и его разложение на последовательные нечётные слои из одного внутреннего геометрического правила:
\[\tag{5}
\boxed{
n^2=1_s+3_p+5_d+7_f+\ldots+(2n-1)
}.
\]
2. Динамический и орбитальный операторы
В концепции Волнового Электричества полное фазовое состояние частицы описывается оператором
\[\tag{6}
J_{\mathrm{dyn}}(a,b)
=\j^a(-\j)^b.
\]
Здесь параметр a относится к внутреннему состоянию частицы, а параметр b — к её внешнему движению. В общем случае они определяются соотношениями
\[\tag{7}
a=\varpi t,
\qquad
\omega=\pi\varpi,
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Далее там, где различие с орбитальными операторами явно, полный динамический оператор кратко обозначается через \(J(a,b)\).
Для построения орбиталей потребуется другой уровень описания. Введём элементарный орбитальный оператор
\[\tag{8}
J_r^{\mathrm{orb}}(\alpha,\beta)
=\j_r^\alpha(-\j_r)^\beta,
\]
где индекс r обозначает независимый внутренний генератор. Аргументы α и β в формуле (8) нумеруют две ветви внутреннего орбитального расщепления и не являются скоростью центра атома.
Ограничения, которые далее вводятся для элементарного оператора \(J_r^{\mathrm{orb}}\), не распространяются на полный динамический оператор \(J_{\mathrm{dyn}}(a,b)\). У движущейся частицы внутренний параметр a и внешний параметр b могут быть одновременно ненулевыми.
3. Элементарное бинарное состояние
Предположим, что элементарный орбитальный оператор сохраняет одну выбранную фазовую ветвь. Тогда для него допускаются две альтернативы:
\[\tag{9}
J_r^{\mathrm{orb}}(\alpha,0)=\j_r^\alpha,
\qquad
J_r^{\mathrm{orb}}(0,\alpha)=(-\j_r)^\alpha.
\]
Условие элементарности запишем как
\[\tag{10}
\boxed{\alpha\beta=0}.
\]
Оно означает, что две ветви одного и того же генератора являются альтернативами, а не двумя одновременно активными составляющими элементарной орбитальной компоненты. Состояния \(J_r^{\mathrm{orb}}(\alpha,-\alpha)\) или \(J_r^{\mathrm{orb}}(\alpha,\alpha)\) математически существуют, но не включаются в выбранный физический класс элементарных орбитальных состояний.
Такое ограничение не запрещает сочетать противоположные ветви разных независимых генераторов. Например, состояние
\[\tag{11}
\j_r^\alpha *(-\j_s)^\beta,
\qquad r\ne s,
\]
является допустимым: его множители относятся к разным внутренним фазовым плоскостям.
4. Независимые генераторы и совместные плоскости
Пусть разным направлениям расщепления соответствуют независимые коммутирующие гиперболические единицы:
\[\tag{12}
\j_r^2=1,
\qquad
\j_r\j_s=\j_s\j_r,
\qquad
\j_r\ne\pm\j_s
\quad(r\ne s).
\]
Их независимость означает, что показатели разных генераторов не складываются:
\[\tag{13}
\boxed{
\j_r^\alpha *\j_s^\beta
\ne
\j^{\alpha+\beta},
\qquad r\ne s
}.
\]
Обычный знак умножения \(*\) здесь означает произведение внутри расширенной алгебры независимых генераторов. Он сохраняет информацию о каждом множителе и эквивалентен записи совместного состояния в произведении двух независимых пространств.
Для двух единиц \(\j_A\) и \(\j_B\) определим пары идемпотентов:
\[\tag{14}
\ep_A^\pm=\frac{1\pm\j_A}{2},
\qquad
\ep_B^\pm=\frac{1\pm\j_B}{2}.
\]
Их произведения образуют четыре совместных проектора:
\[\tag{15}
E_{++}=\ep_A^+\ep_B^+,
\quad
E_{+-}=\ep_A^+\ep_B^-,
\quad
E_{-+}=\ep_A^-\ep_B^+,
\quad
E_{--}=\ep_A^-\ep_B^-.
\]
Они идемпотентны, взаимно ортогональны и в сумме дают единицу:
\[\tag{16}
E_{\sigma\tau}E_{\mu\nu}
=\delta_{\sigma\mu}\delta_{\tau\nu}E_{\sigma\tau},
\qquad
\sum_{\sigma,\tau=\pm}E_{\sigma\tau}=1.
\]
После комплексного расширения каждому проектору соответствует своя фазовая плоскость
\[\tag{17}
\Pi_{\sigma\tau}
=\operatorname{span}_{\mathbb R}
\{E_{\sigma\tau},iE_{\sigma\tau}\}.
\]
Следовательно, произведение двух независимых бинарных расщеплений создаёт не одну степень исходной \(\j\), а четыре различные совместные плоскости:
\[\tag{18}
\boxed{2*2=4}.
\]
Это построение является частным случаем многоуровневого идемпотентного расщепления фазовых плоскостей.
5. Симметрия как правило ограничения
Если одно внутреннее направление уровня n строить из n−1 бинарных операторов без дополнительных условий, возникнет 2n−1 комбинаций. Такое число растёт слишком быстро и не соответствует атомной структуре. Поэтому введём правило перестановочной симметрии.
Перестановка равноправных бинарных операторов внутри одного направления не создаёт нового физического состояния. Различимым остаётся только число выбранных ветвей каждого знака, а не порядок их расположения.
Пусть в одном направлении имеется n−1 операторов. Обозначим через \(N_+\) и \(N_-\) число положительных и отрицательных ветвей. Тогда
\[\tag{19}
N_++N_-=n-1.
\]
Число \(N_-\) может принимать значения от 0 до n−1, то есть существует ровно n различных симметричных составов. Обозначим их \(A_r^{(n)}\), где r равно числу отрицательных ветвей:
\[\tag{20}
\boxed{
A_r^{(n)}
=\frac{1}{\sqrt{\binom{n-1}{r}}}
\operatorname{Sym}
\left[(A^+)^{n-1-r}(A^-)^r\right],
\quad
r=0,\ldots,n-1
}.
\]
Знак \(\operatorname{Sym}\) означает сумму всех различных перестановок ветвей с одинаковыми коэффициентами. Нормировочный множитель выбран при предположении ортонормированности первичных каналов.
Таким образом, симметричный сектор первого направления имеет размерность
\[\tag{21}
\dim\mathcal A_n=n.
\]
Независимое второе направление строится таким же образом:
\[\tag{22}
B_s^{(n)}
=\frac{1}{\sqrt{\binom{n-1}{s}}}
\operatorname{Sym}
\left[(B^+)^{n-1-s}(B^-)^s\right],
\qquad
\dim\mathcal B_n=n.
\]
6. Два направления и n² фазовых состояний
Совместим одно состояние направления \(\mathcal A_n\) с одним состоянием независимого направления \(\mathcal B_n\):
\[\tag{23}
Q_{rs}^{(n)}
=A_r^{(n)}*B_s^{(n)},
\qquad
r,s=0,1,\ldots,n-1.
\]
Число возможных пар равно
\[\tag{24}
\boxed{
\dim(\mathcal A_n*\mathcal B_n)
=n\cdot n=n^2
}.
\]
Таким образом, два независимых направления, каждое из которых построено симметризацией n−1 бинарных расщеплений, создают требуемое число орбитальных компонент. В отличие от простого бинарного дерева, симметрия заменяет экспоненциальную кратность 4n−1 квадратной кратностью n2.
Однако отдельная компонента \(Q_{rs}^{(n)}\) ещё не обязана быть состоянием с определёнными l и m. Физическая орбитальная форма возникает как согласованная линейная комбинация первичных каналов:
\[\tag{25}
\boxed{
\Phi_{lm}^{(n)}
=\sum_{r,s=0}^{n-1}
C_{rs}^{\,lm}Q_{rs}^{(n)}
}.
\]
Коэффициенты \(C_{rs}^{\,lm}\) задают фазовое согласование каналов. Если бинарная пара преобразуется как двухкомпонентное состояние, симметричный сектор из n−1 пар имеет геометрический индекс
\[\tag{26}
j_n=\frac{n-1}{2}.
\]
Совмещение двух одинаковых секторов даёт все целые значения от 0 до 2jn:
\[\tag{27}
j_n*j_n
=0\oplus1\oplus\ldots\oplus(n-1).
\]
Следовательно, совместное пространство распадается на подпространства
\[\tag{28}
\boxed{
\mathcal O_n
=\bigoplus_{l=0}^{n-1}\mathcal H_l,
\qquad
\dim\mathcal H_l=2l+1
}.
\]
По размерностям получаем
\[\tag{29}
\boxed{
n*n
=1\oplus3\oplus5\oplus\ldots\oplus(2n-1),
\qquad
n^2=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)
}.
\]
Алгебраическая независимость генераторов создаёт первичные каналы, но сама по себе ещё не задаёт их разложение по l. Для формул (26)–(29) дополнительно принимается правило, что бинарные ветви преобразуются как двухкомпонентное фазовое состояние, а физически различимые группы выделяются по закону сложения таких состояний.
7. Первый уровень: построение 1s-орбитали
При n=1 дополнительных орбитальных генераторов ещё нет. Пространство угловых форм одномерно:
\[\tag{30}
\mathcal O_1=\mathcal H_0,
\qquad
1^2=1_s.
\]
Угловая функция постоянна:
\[\tag{31}
\Phi_{1s}=1.
\]
Две ориентации спина задаются не дополнительным генератором, а двумя размещениями одной внутренней фазы \(x_1\) в основных идемпотентных плоскостях полного оператора \(J\):
\[\tag{32}
J_+(x_1)=J(x_1,0)=\j^{x_1},
\qquad
J_-(x_1)=J(0,x_1)=(-\j)^{x_1}.
\]
Полные состояния первой орбитали имеют вид
\[\tag{33}
\begin{aligned}
\Psi_{1s,+}
&=R_{10}(r)J(x_1,0)
=R_{10}(r)\j^{x_1},\\
\Psi_{1s,-}
&=R_{10}(r)J(0,x_1)
=R_{10}(r)(-\j)^{x_1}.
\end{aligned}
\]
Состояния \(J(x_1,0)\) и \(J(0,x_1)\) описывают две ориентации спина, но не две различные пространственные орбитали. После пространственной проекции обеим соответствует одна сферически симметричная форма 1s.
8. Второй уровень: построение 2s- и 2p-орбиталей
|
Второй энергетический уровень является первым нетривиальным примером орбитального расщепления.
Для \(n=1\) существует только одно пространственное состояние, тогда как при \(n=2\) должны возникнуть уже четыре независимых фазовых канала.
В предлагаемой конструкции они образуются совместным действием двух независимых бинарных операторов.
Каждый оператор допускает две альтернативные ветви, поэтому их произведение создаёт \(2*2=4\) первичных состояния.
Эти состояния ещё не являются отдельными атомными орбиталями: только их согласованные симметричные и антисимметричные комбинации образуют одну \(2s\)- и три \(2p\)-орбитали.
8.1. Два независимых бинарных оператора
Для n=2 каждое направление содержит по одному бинарному оператору. Обозначим два независимых генератора через \(\j_A\) и \(\j_B\). Полную орбитальную фазу \(x_2\) равномерно распределим между ними:
\[\tag{34}
A_+=\j_A^{x_2/2},
\qquad
A_-=(-\j_A)^{x_2/2},
\qquad
B_+=\j_B^{x_2/2},
\qquad
B_-=(-\j_B)^{x_2/2}.
\]
Их независимое умножение создаёт четыре первичных фазовых канала:
\[\tag{35}
\begin{aligned}
Q_{++}&=\j_A^{x_2/2}*\j_B^{x_2/2},\\
Q_{+-}&=\j_A^{x_2/2}*(-\j_B)^{x_2/2},\\
Q_{-+}&=(-\j_A)^{x_2/2}*\j_B^{x_2/2},\\
Q_{--}&=(-\j_A)^{x_2/2}*(-\j_B)^{x_2/2}.
\end{aligned}
\]
Индексы сохраняют информацию о том, какая ветвь выбрана в каждом из двух независимых направлений.
8.2. Перестановочная симметрия
Рассмотрим перестановку двух направлений \(A\leftrightarrow B\). Каналы \(Q_{++}\) и \(Q_{--}\) при ней не меняются, а два смешанных канала переходят друг в друга:
\[\tag{36}
Q_{+-}\longleftrightarrow Q_{-+}.
\]
Из четырёх каналов образуются три симметричные комбинации и одна антисимметричная. Три симметричные комбинации запишем как
\[\tag{37}
\begin{aligned}
\Phi_{2p,+1}&=Q_{++},\\
\Phi_{2p,0}&=\frac{Q_{+-}+Q_{-+}}{\sqrt2},\\
\Phi_{2p,-1}&=Q_{--}.
\end{aligned}
\]
Они образуют трёхкомпонентный сектор с l=1 и m=+1,0,−1. Оставшаяся антисимметричная комбинация одномерна:
\[\tag{38}
\Phi_{2s}
=\frac{Q_{+-}-Q_{-+}}{\sqrt2}.
\]
Ей соответствует скалярный сектор с l=0. В развёрнутой записи четыре орбитальные формы равны
\[\tag{39}
\begin{aligned}
\Phi_{2s}&=\frac{\j_A^{x_2/2}*(-\j_B)^{x_2/2}-(-\j_A)^{x_2/2}*\j_B^{x_2/2}}{\sqrt2},\\
\Phi_{2p,+1}&=\j_A^{x_2/2}*\j_B^{x_2/2},\\
\Phi_{2p,0}&=\frac{\j_A^{x_2/2}*(-\j_B)^{x_2/2}+(-\j_A)^{x_2/2}*\j_B^{x_2/2}}{\sqrt2},\\
\Phi_{2p,-1}&=(-\j_A)^{x_2/2}*(-\j_B)^{x_2/2}.
\end{aligned}
\]
Таким образом, второй уровень получает правильную структуру
\[\tag{40}
\boxed{2*2=1_s+3_p=4}.
\]
После добавления двух независимых ориентаций спина одна 2s-орбиталь даёт два состояния, а три 2p-орбитали — шесть:
\[\tag{41}
2+6=8=2n^2
\qquad(n=2).
\]
9. Третий и последующие уровни
При n=3 каждое направление строится из двух бинарных операторов. После симметризации в нём остаются три состояния:
\[\tag{42}
(++),\qquad
\frac{(+-)+(-+)}{\sqrt2},
\qquad
(--).
\]
Здесь знаки обозначают выбор ветвей двух независимых генераторов, а среднее выражение является их симметричной суммой. Совмещение двух трёхмерных направлений даёт девять компонент, которые распадаются на три подуровня:
\[\tag{43}
\boxed{3*3=1_s+3_p+5_d=9}.
\]
При n=4 каждое направление строится из трёх бинарных операторов. Симметричные составы
\[\tag{44}
(+++),\qquad
\operatorname{Sym}(++-),
\qquad
\operatorname{Sym}(+--),
\qquad
(---)
\]
образуют четыре состояния одного направления. Два направления дают
\[\tag{45}
\boxed{4*4=1_s+3_p+5_d+7_f=16}.
\]
| n | Бинарных операторов в одном направлении | Совместных компонент | Орбитальные подуровни |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1s |
| 2 | 1 | 4 | 2s + 2p |
| 3 | 2 | 9 | 3s + 3p + 3d |
| 4 | 3 | 16 | 4s + 4p + 4d + 4f |
| 5 | 4 | 25 | 5s + 5p + 5d + 5f + 5g |
10. Двухкомпонентное фазовое пространство
Подсчёт состояний ещё не определяет наблюдаемую форму орбитали. Для перехода к ней представим нормированное внутреннее угловое состояние в идемпотентном базисе:
\[\tag{46}
\Xi=u\ep+v\em,
\]
где
\[\tag{47}
u=\rho_+e^{i\phi_+},
\qquad
v=\rho_-e^{i\phi_-},
\qquad
|u|^2+|v|^2=1.
\]
Общая фаза обеих компонент не изменяет наблюдаемую ориентацию:
\[\tag{48}
(u,v)\sim
\left(e^{i\chi}u,e^{i\chi}v\right).
\]
Поэтому геометрически значимыми остаются распределение амплитуды между двумя плоскостями и относительная фаза
\[\tag{49}
\Delta\phi=\phi_--\phi_+.
\]
Нормированная пара комплексных амплитуд принадлежит трёхмерной сфере \(S^3\). Удаление общей ненаблюдаемой фазы оставляет двумерную сферу направлений \(S^2\). Это позволяет определить явное отображение внутреннего фазового состояния в трёхмерное пространство.
11. Проекция фазового состояния в 3D
Определим три вещественные величины:
\[\tag{50}
X=u^*v+v^*u,
\]
\[\tag{51}
Y=-i\left(u^*v-v^*u\right),
\]
\[\tag{52}
Z=|u|^2-|v|^2.
\]
Из нормировки (47) непосредственно следует
\[\tag{53}
X^2+Y^2+Z^2=1.
\]
Следовательно, вектор
\[\tag{54}
\mathbf n=(X,Y,Z)
\]
является единичным вектором обычного трёхмерного пространства. Параметризуем внутренние амплитуды как
\[\tag{55}
u=\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\varphi/2},
\qquad
v=\sin\frac{\theta}{2}e^{i\varphi/2}.
\]
Тогда формулы (50)–(52) переходят в
\[\tag{56}
X=\sin\theta\cos\varphi,
\qquad
Y=\sin\theta\sin\varphi,
\qquad
Z=\cos\theta.
\]
Таким образом, две внутренние комплексные компоненты задают направление в 3D:
\[\tag{57}
\boxed{
(u,v)\overset{\mathcal P}{\longrightarrow}(X,Y,Z)
}.
\]
Общая фаза теряется при проекции, относительная фаза определяет азимутальное направление, а разность квадратов амплитуд — положение относительно оси Z. Первичные каналы \(Q_{rs}^{(n)}\) задают внутреннюю структуру, их согласованные комбинации образуют фазовые функции \(\Phi_{lm}^{(n)}(u,v)\), а проекция переводит эти функции в сферические гармоники:
\[\tag{58}
\boxed{
Q_{rs}^{(n)}
\longrightarrow
\Phi_{lm}^{(n)}(u,v)
\overset{\mathcal P}{\longrightarrow}
Y_l^m(\theta,\varphi)
}.
\]
12. Пространственные формы s-, p- и d-орбиталей
12.1. Сферическая s-форма
Скалярному сектору l=0 соответствует постоянная угловая функция:
\[\tag{59}
\Phi_s(u,v)=1.
\]
После проекции она не зависит от углов:
\[\tag{60}
\mathcal P[\Phi_s]
\propto
Y_0^0(\theta,\varphi)
=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}.
\]
Поэтому все s-орбитали имеют сферическую угловую симметрию. Различие между 1s, 2s, 3s и последующими состояниями содержится в радиальной части.
12.2. Три p-формы
Трёхкомпонентному сектору l=1 соответствуют три координаты единичного вектора:
\[\tag{61}
\Phi_{p_x}=X,
\qquad
\Phi_{p_y}=Y,
\qquad
\Phi_{p_z}=Z.
\]
| Орбиталь | Внутренняя фазовая функция | 3D-проекция |
|---|---|---|
| px | u* v + v* u | sin θ cos φ |
| py | −i(u* v − v* u) | sin θ sin φ |
| pz | |u|² − |v|² | cos θ |
Например, для \(p_z\) узловая плоскость возникает при равенстве амплитуд двух внутренних компонент:
\[\tag{62}
|u|^2=|v|^2
\quad\Longrightarrow\quad
Z=0.
\]
Две области с \(Z>0\) и \(Z<0\) имеют противоположные фазы и после проекции образуют две лопасти орбитали. Таким образом, двухлепестковая форма возникает как проекция знакопеременной разности интенсивностей внутренних компонент.
12.3. Пять d-форм
Для l=2 угловые функции являются гармоническими квадратичными комбинациями X, Y и Z. Из шести симметричных квадратичных комбинаций исключается сферический след \(X^2+Y^2+Z^2=1\), поэтому остаются пять независимых форм:
\[\tag{63}
XY,
\qquad
XZ,
\qquad
YZ,
\qquad
X^2-Y^2,
\qquad
3Z^2-1.
\]
| Орбиталь | Функция после проекции |
|---|---|
| dxy | XY |
| dxz | XZ |
| dyz | YZ |
| dx²−y² | X²−Y² |
| dz² | 3Z²−1 |
Например,
\[\tag{64}
\Phi_{d_{z^2}}(u,v)
=3\left(|u|^2-|v|^2\right)^2-1
\overset{\mathcal P}{\longrightarrow}
3\cos^2\theta-1.
\]
Для \(d_{xy}\) узловые условия \(X=0\) и \(Y=0\) задают две взаимно перпендикулярные плоскости, разделяющие четыре лопасти.
12.4. Произвольные l и m
Для общего l фазовые формы представляются гармоническими полиномами степени l от \(X(u,v)\), \(Y(u,v)\), \(Z(u,v)\). Пространство таких функций имеет размерность
\[\tag{65}
\dim\mathcal H_l=2l+1.
\]
Единое правило проекции имеет вид
\[\tag{66}
\boxed{
\mathcal P[\Phi_{lm}(u,v)]
=Y_l^m(\theta,\varphi)
}.
\]
13. Радиальная часть и полная орбиталь
Построенная проекция определяет угловую геометрию. Полная пространственная функция требует независимой радиальной моды:
\[\tag{67}
\psi_{nlm}(r,\theta,\varphi)
=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi).
\]
Ориентация спина уже содержится в выборе полного фазового оператора \(J(x_n,0)\) или \(J(0,x_n)\). Поэтому внутренние состояния двух ориентаций записываются без дополнительного спинового множителя:
\[\tag{68}
\boxed{
\begin{aligned}
\Psi_{nlm}^{(+)}
&=R_{nl}(r)\,\Phi_{lm}(u,v)\,J(x_n,0)
=R_{nl}(r)\,\Phi_{lm}(u,v)\,\j^{x_n},\\
\Psi_{nlm}^{(-)}
&=R_{nl}(r)\,\Phi_{lm}(u,v)\,J(0,x_n)
=R_{nl}(r)\,\Phi_{lm}(u,v)\,(-\j)^{x_n}.
\end{aligned}
}
\]
После проекции:
\[\tag{69}
\boxed{
\begin{aligned}
\mathcal P[\Psi_{nlm}^{(+)}]
&=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi)J(x_n,0),\\
\mathcal P[\Psi_{nlm}^{(-)}]
&=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\varphi)J(0,x_n).
\end{aligned}
}
\]
Таким образом, n задаёт энергетический уровень и радиальную моду, l и m — угловую форму, а σ — ориентацию спина. Число радиальных узлов в стандартной задаче равно n−l−1, но геометрическое происхождение этого правила из бинарного расщепления здесь ещё не выводится.
Наблюдаемая поверхность орбитали является не траекторией электрона, а поверхностью постоянной плотности
\[\tag{70}
\rho_{nlm}(r,\theta,\varphi)
=|R_{nl}(r)|^2|Y_l^m(\theta,\varphi)|^2.
\]
14. Спин и число электронных состояний
Орбитальные генераторы \(\j_A,\j_B,\ldots\) описывают глубокое расщепление, из которого формируются функции \(\Phi_{lm}\). Ориентация спина не требует ещё одного генератора: она задаётся размещением внутренней фазы \(x_n\) в одной из двух основных идемпотентных компонент того же полного оператора \(J\):
\[\tag{71}
\boxed{
J_+(x_n)=J(x_n,0)=\j^{x_n},
\qquad
J_-(x_n)=J(0,x_n)=(-\j)^{x_n}
}.
\]
В записи \(J(0,x_n)\) величина \(x_n\) остаётся внутренним параметром. Перестановка аргументов означает смену ориентации спина, а не превращение внутренней фазы в параметр внешнего движения. Поэтому каждой пространственной функции \(\Phi_{lm}\) соответствуют два состояния: \(\Phi_{lm}J(x_n,0)\) и \(\Phi_{lm}J(0,x_n)\). Число одноэлектронных состояний уровня равно
\[\tag{72}
\boxed{N_n^{\mathrm{electron}}=2n^2}.
\]
| Подуровень | Пространственных орбиталей | Состояний со спином |
|---|---|---|
| s | 1 | 2 |
| p | 3 | 6 |
| d | 5 | 10 |
| f | 7 | 14 |
15. Предпосылка геометрической исключительности
Условие элементарности \(\alpha\beta=0\) означает, что один орбитальный генератор выбирает только одну из двух альтернативных ветвей. В этом смысле конструкция содержит локальную исключительность внутреннего фазового состояния. Вместе с двумя различными спиновыми ориентациями она создаёт геометрическую предпосылку для того, что одна пространственная орбиталь имеет два различных полных состояния.
Однако это ещё не является выводом принципа Паули. Принцип исключения относится к двум одинаковым электронам и требует антисимметрии их полного совместного состояния. Математической целью будущего вывода было бы равенство
\[\tag{73}
\Psi_q\wedge\Psi_q=0,
\qquad
q=(n,l,m,\sigma).
\]
Получение такой антисимметрии из двухлистной 4π-периодической геометрии электрона остаётся отдельной задачей. Поэтому в настоящей конструкции условие \(\alpha\beta=0\) рассматривается только как предпосылка исключительности, но не как доказательство запрета Паули.
16. Что получено и что предполагается
| Элемент построения | Статус |
|---|---|
| Независимые коммутирующие единицы \(\j_r^2=1\) | алгебраическая конструкция |
| Четыре совместные плоскости двух бинарных генераторов | алгебраическое следствие идемпотентного разложения |
| Запрет смешанных ветвей одного \(J_r^{\mathrm{orb}}\) | физическое правило модели |
| Отбор перестановочно-симметричных комбинаций | геометрический постулат эквивалентности |
| Размерность одного направления, равная n | следствие симметризации n−1 бинарных состояний |
| Два направления дают n2 компонент | математическое следствие независимого умножения |
| Разложение на 1, 3, 5, ..., 2n−1 | следствие принятого закона преобразования двухкомпонентных состояний |
| Проекция \((u,v)\to(X,Y,Z)\) | явное математическое отображение |
| Сопоставление с \(Y_l^m\) | геометрическая интерпретация орбитальных форм |
| Связь числа компонент n2 с энергией 1/n2 | центральная физическая гипотеза |
| Радиальные узлы | в настоящей конструкции не выведены |
| Предпосылка запрета Паули | рабочая гипотеза, не полный вывод |
17. Вывод
Предложенная конструкция начинает построение атомных орбиталей с единственного бинарного правила: элементарный орбитальный оператор находится в состоянии \(\j_r^\alpha\) или \((-\j_r)^\alpha\), сохраняя только одну активную ветвь. Независимые генераторы образуют различные совместные идемпотентные плоскости, а симметризация устраняет различие между перестановками равноправных факторов.
Из n−1 бинарных операторов получается n-мерное симметричное направление. Независимое умножение двух таких направлений создаёт n2 первичных фазовых компонент. Их согласованные линейные комбинации образуют подпространства размерностей 1, 3, 5, 7 и далее, соответствующие s-, p-, d- и f-подуровням.
\[\tag{74}
\boxed{
\begin{aligned}
J_r^{\mathrm{orb}}(\alpha,0)
\mid J_r^{\mathrm{orb}}(0,\alpha)
&\longrightarrow
\mathcal A_n*\mathcal B_n
\\
&\longrightarrow
n^2=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)
\\
&\longrightarrow
\Phi_{lm}(u,v)
\overset{\mathcal P}{\longrightarrow}
Y_l^m(\theta,\varphi).
\end{aligned}
}
\]
Единая проекция \((u,v)\to(X,Y,Z)\) переводит внутренние фазовые функции в сферические гармоники и тем самым связывает абстрактное расщепление с наблюдаемыми трёхмерными формами орбиталей. Уменьшение фазовой скорости как 1/n2 получает предполагаемое геометрическое содержание: ему соответствует увеличение числа допустимых пространственных проекций до n2.
Главным результатом является единая последовательность: независимые бинарные состояния создают симметричные n-мерные направления; два направления образуют n2 фазовых компонент; компоненты группируются в слои 1, 3, 5, 7; а их проекция воспроизводит угловую геометрию атомных орбиталей. Радиальные узлы, точное энергетическое снятие вырождения и полный вывод принципа Паули остаются задачами дальнейшего развития модели.