2026-08-10
Постоянная тонкой структуры как основание логарифмической шкалы физических величин
Может ли постоянная тонкой структуры задавать не только силу электромагнитного взаимодействия, но и естественный масштаб переходов между физическими величинами? Если представить радиусы, частоты, энергии и импульсы на логарифмической шкале с основанием, равным обратной постоянной тонкой структуры, громоздкие численные соотношения неожиданно превращаются в простые целочисленные шаги. Классический радиус электрона, приведённая комптоновская длина и боровский радиус выстраиваются в единую последовательность, а произведения и отношения физических величин переходят в линейные суммы и разности. Это позволяет взглянуть на известные формулы как на проявления общей геометрии масштабов.
Логарифмическая шкала физических величин с основанием \(\alpha_{fs}^{-1}\)
В физике одновременно используются величины, отличающиеся на десятки порядков.
В обычной записи их связи скрыты за произведениями, отношениями и степенями.
Если перейти к логарифмическим координатам, произведение превращается в сумму, отношение — в разность, степень — в умножение на показатель.
Обратные величины будут отличаться только знаком.
При специальном выборе основания некоторые важные отношения дополнительно становятся целыми числами.
Для системы масштабов электрона естественным рабочим основанием является величина, обратная низкоэнергетической постоянной тонкой структуры:
\[\tag{1}
\iota =\frac{1}{\alpha_{fs}(0)}\approx137{,}0359991776.
\]
Это основание связывает классический радиус электрона \(r_e\), приведённую комптоновскую длину \(\bar\lambda_C\) и боровский радиус \(a_0\):
\[\tag{2}
r_e=\alpha_{fs}\bar\lambda_C,
\qquad
\bar\lambda_C=\alpha_{fs}a_0,
\]
\[\tag{3}
\frac{\bar\lambda_C}{r_e}
=\frac{a_0}{\bar\lambda_C}
=\iota .
\]
Поэтому основание \(\iota \) здесь не является произвольным способом записи. Оно выбирается так, чтобы два последовательных перехода между известными масштабами электрона соответствовали одному и тому же единичному шагу.
1. Два вида логарифмических координат
Необходимо различать абсолютную табличную координату и нормированную координату уровня. Абсолютная координата численного значения величины \(X\), выраженной в заранее выбранной единице \(X_{\rm u}\), определяется как
\[\tag{4}
L_X=\log_{\iota }\!\left(\frac{X}{X_{\rm u}}\right).
\]
Например, для радиуса единицей служит \(1\,{\rm m}\), для частоты — \(1\,{\rm s}^{-1}\), для энергии — \(1\,{\rm J}\).
Нормированная координата сравнивает величину с опорным значением той же размерности. Для радиуса:
\[\tag{5}
N_r=\log_{\iota }\!\left(\frac{r}{r_e}\right).
\]
Она безразмерна, не зависит от единицы длины и непосредственно нумерует геометрические состояния:
\[\tag{6}
N_r(r_e)=0,
\qquad
N_r(\bar\lambda_C)=1,
\qquad
N_r(a_0)=2.
\]
2. Расширенная таблица физических значений \(M_1\)
Положим для каждого уровня
\[\tag{7}
r_N=r_e\iota ^N,
\qquad
\omega_N=\frac{c}{r_N},
\qquad
f_N=\frac{\omega_N}{2\pi}.
\]
Добавим период, характерную энергию и импульс:
\[\tag{8}
T_N=\frac{1}{f_N},
\qquad
E_N=\hbar\omega_N=\frac{\hbar c}{r_N},
\qquad
p_N=\frac{E_N}{c}=\frac{\hbar}{r_N}.
\]
| Величина | Уровень \(N=0\), \(r_e\) | Уровень \(N=1\), \(\bar\lambda_C\) | Уровень \(N=2\), \(a_0\) |
|---|---|---|---|
| Радиус \(r\), м | \(2{,}81794032\cdot10^{-15}\) | \(3{,}86159267\cdot10^{-13}\) | \(5{,}29177210\cdot10^{-11}\) |
| Угловая частота \(\omega\), с\(^{-1}\) | \(1{,}06387086\cdot10^{23}\) | \(7{,}76344072\cdot10^{20}\) | \(5{,}66525641\cdot10^{18}\) |
| Частота \(f\), Гц | \(1{,}69320306\cdot10^{22}\) | \(1{,}23558997\cdot10^{20}\) | \(9{,}01653561\cdot10^{17}\) |
| Период \(T\), с | \(5{,}90596619\cdot10^{-23}\) | \(8{,}09329978\cdot10^{-21}\) | \(1{,}10907342\cdot10^{-18}\) |
| Энергия \(E=\hbar\omega\), Дж | \(1{,}12192822\cdot10^{-11}\) | \(8{,}18710579\cdot10^{-14}\) | \(5{,}97441974\cdot10^{-16}\) |
| Геометрическая энергия \(E_g\), эВ | \(7{,}00253\cdot10^7\) | \(5{,}10999\cdot10^5\) | \(3{,}72894\cdot10^3\) |
| Проекция \(E_{\alpha}=\alpha_{fs}E_g\), эВ | \(5{,}10999\cdot10^5\) | \(3{,}72894\cdot10^3\) | \(27{,}2114\) |
| Импульс \(p=\hbar/r\), кг·м/с | \(3{,}74234972\cdot10^{-20}\) | \(2{,}73092453\cdot10^{-22}\) | \(1{,}99285192\cdot10^{-24}\) |
Энергетические значения имеют прозрачный смысл:
\[\tag{9}
E_{g,0}=\frac{m_ec^2}{\alpha_{fs}},
\qquad
E_{g,1}=m_ec^2,
\qquad
E_{g,2}=\alpha_{fs}m_ec^2.
\]
Здесь \(E_g=\hbar c/r\) относится к исходной геометрической частоте \(\omega_g=c/r\). На боровском радиусе она даёт \(E_{g,2}\approx3{,}72894\,\text{кэВ}\). Динамика электрона в атоме водорода содержит дополнительный множитель \(\beta=\alpha_{fs}\), поскольку \(v_B=\alpha_{fs}c\). Поэтому
\[\tag{9a}
\omega_B=\alpha_{fs}\omega_g(a_0)
=\frac{\alpha_{fs}c}{a_0},
\qquad
E_H=\hbar\omega_B
=\alpha_{fs}E_{g,2}
=\alpha_{fs}^2m_ec^2.
\]
После этой проекции получается \(E_H\approx27{,}2114\,\text{эВ}\) — энергия Хартри. Энергия связи основного состояния водорода равна \(E_H/2\approx13{,}6057\,\text{эВ}\). Таким образом, таблица должна явно различать исходную геометрическую частоту \(c/r\) и физически наблюдаемую динамическую частоту, содержащую проекционный множитель.
3. Расширенная логарифмическая таблица \(M_2\)
Применим к каждой строке \(M_1\) оператор \(L_X=\log_{\iota }(X/X_{\rm u})\). Тогда большие и малые физические значения превращаются в обычные десятичные координаты:
| Логарифмическая координата | \(N=0\) | \(N=1\) | \(N=2\) | Шаг \(\Delta L\) |
|---|---|---|---|---|
| \(L_r\) | \(-6{,}809169\) | \(-5{,}809169\) | \(-4{,}809169\) | \(+1\) |
| \(L_\omega\) | \(10{,}776168\) | \(9{,}776168\) | \(8{,}776168\) | \(-1\) |
| \(L_f\) | \(10{,}402634\) | \(9{,}402634\) | \(8{,}402634\) | \(-1\) |
| \(L_T\) | \(-10{,}402634\) | \(-9{,}402634\) | \(-8{,}402634\) | \(+1\) |
| \(L_E\) | \(-5{,}124418\) | \(-6{,}124418\) | \(-7{,}124418\) | \(-1\) |
| \(L_{E_\alpha}=L_E-1\) | \(-6{,}124418\) | \(-7{,}124418\) | \(-8{,}124418\) | \(-1\) |
| \(L_p\) | \(-9{,}091417\) | \(-10{,}091417\) | \(-11{,}091417\) | \(-1\) |
Обратите внимание на ряды \(L_f\) и \(L_T\). Обратные величины отличаются только знаком.
Вся таблица задаётся одним номером уровня:
\[\tag{10}
\begin{aligned}
L_r(N)&=L_r(0)+N,\\
L_T(N)&=L_T(0)+N,\\
L_\omega(N)&=L_\omega(0)-N,\\
L_f(N)&=L_f(0)-N,\\
L_E(N)&=L_E(0)-N,\\
L_{E_\alpha}(N)&=L_E(0)-N-1,\\
L_p(N)&=L_p(0)-N.
\end{aligned}
\]
Следовательно, переход к следующему масштабу является линейным переносом в шестимерном логарифмическом пространстве:
\[
\tag{11}
\mathbf{L}_N
=
\mathbf{L}_0
+
N
\begin{pmatrix}
+1\\
-1\\
-1\\
+1\\
-1\\
-1\\
-1
\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf{L}_N
=
\begin{pmatrix}
L_r\\
L_\omega\\
L_f\\
L_T\\
L_E\\
L_{E_\alpha}\\
L_p
\end{pmatrix}.
\]
Именно это является главным результатом таблицы \(M_2\): множество связанных физических величин меняется не независимо. Один единичный шаг \(N\) одновременно увеличивает координаты радиуса и периода на единицу и уменьшает координаты частоты, энергии и импульса на единицу.
4. Постоянные разности и инварианты \(M_2\)
Соотношение \(\omega r=c\) в логарифмической форме становится суммой двух координат:
\[\tag{12}
L_\omega+L_r=L_c=3{,}966999.
\]
Для каждого из трёх столбцов:
\[\tag{13}
10{,}776168-6{,}809169
=9{,}776168-5{,}809169
=8{,}776168-4{,}809169
=3{,}966999.
\]
Аналогично из \(fr=c/(2\pi)\), \(Tf=1\), \(E=pc\) и \(E=\hbar\omega\) следуют:
\[\tag{14}
L_f+L_r=L_c-L_{2\pi}=3{,}593465,
\]
\[\tag{15}
L_T+L_f=0,
\]
\[\tag{16}
L_E-L_p=L_c=3{,}966999,
\]
\[\tag{17}
L_E-L_\omega=L_\hbar=-15{,}900586.
\]
Разность между угловой и циклической частотами также постоянна:
\[\tag{18}
L_\omega-L_f=L_{2\pi}=0{,}373534.
\]
Таким образом, привычные физические законы проявляются в \(M_2\) как постоянные суммы или расстояния между строками. Таблица не только уменьшает диапазон чисел, но и делает видимой линейную структуру связей.
5. Нормированная таблица уровней
Абсолютные координаты полезны для численных вычислений, но геометрическая структура наиболее ясно видна после нормировки на уровень \(N=0\):
\[\tag{19}
\Delta L_X(N)=\log_{\iota }\!\left(\frac{X_N}{X_0}\right).
\]
| Величина | \(N=0\) | \(N=1\) | \(N=2\) |
|---|---|---|---|
| \(r/r_e\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^1\) | \(\iota ^2\) |
| \(\omega/\omega_0\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^{-1}\) | \(\iota ^{-2}\) |
| \(f/f_0\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^{-1}\) | \(\iota ^{-2}\) |
| \(T/T_0\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^1\) | \(\iota ^2\) |
| \(E/E_0\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^{-1}\) | \(\iota ^{-2}\) |
| \(E_\alpha/E_0\) | \(\iota ^{-1}\) | \(\iota ^{-2}\) | \(\iota ^{-3}\) |
| \(p/p_0\) | \(\iota ^0\) | \(\iota ^{-1}\) | \(\iota ^{-2}\) |
После логарифмирования эта таблица состоит только из чисел \(0\), \(+1\), \(+2\), \(-1\) и \(-2\). При этом физическая информация не исчезает: она переносится в выбор опорных величин и в знаки направлений.
6. Как преобразуются операции
Для согласованных безразмерных численных отношений выполняются правила:
\[\tag{20}
L(XY)=L(X)+L(Y),
\]
\[\tag{21}
L\!\left(\frac{X}{Y}\right)=L(X)-L(Y),
\]
\[\tag{22}
L(X^q)=qL(X).
\]
Поэтому любая мономиальная формула
\[\tag{23}
Y=C\prod_{k=1}^{n}X_k^{q_k}
\]
переходит в линейную комбинацию:
\[\tag{24}
L_Y=L_C+\sum_{k=1}^{n}q_kL_{X_k}.
\]
Логарифм упрощает умножение, деление и степени, но не обычное сложение величин: \(L(X+Y)\neq L(X)+L(Y)\). Поэтому метод непосредственно линеаризует степенные и мультипликативные законы, но не произвольные физические формулы.
7. Пример 1: получение боровского радиуса
Боровский радиус связан с классическим радиусом электрона двумя шагами:
\[\tag{25}
a_0=\frac{r_e}{\alpha_{fs}^2}=r_e\iota ^2.
\]
В логарифмической форме:
\[\tag{26}
L_{a_0}=L_{r_e}+2L_{\iota }=-6{,}809169+2=-4{,}809169.
\]
Обратное преобразование возвращает
\[\tag{27}
a_0=(1\,{\rm m})\,\iota ^{-4{,}809169}
\approx5{,}29177210\cdot10^{-11}\,{\rm m}.
\]
8. Пример 2: энергия на комптоновском и боровском уровнях
Из \(E=\hbar\omega\) следует:
\[\tag{28}
L_E=L_\hbar+L_\omega.
\]
Для комптоновского уровня:
\[\tag{29}
L_{E_1}=-15{,}900586+9{,}776168=-6{,}124418,
\]
\[\tag{30}
E_1\approx8{,}18710579\cdot10^{-14}\,{\rm J}=m_ec^2.
\]
Переход к боровскому уровню уменьшает координату геометрической энергии ровно на единицу:
\[\tag{31}
L_{E_2}=L_{E_1}-1=-7{,}124418,
\]
\[\tag{32}
E_{g,2}=\alpha_{fs}m_ec^2\approx3{,}72894\,{\rm keV}.
\]
Дополнительная атомная проекция на множитель \(\alpha_{fs}\) означает ещё один отрицательный шаг:
\[\tag{32a}
L_{E_H}=L_{E_{g,2}}+L_{\alpha_{fs}}
=-7{,}124418-1=-8{,}124418,
\]
\[\tag{32b}
E_H=\alpha_{fs}E_{g,2}
=\alpha_{fs}^2m_ec^2
\approx27{,}2114\,{\rm eV}.
\]
9. Пример 3: вычисление магнетона Бора
Магнетон Бора определяется как
\[\tag{33}
\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}.
\]
Через приведённую комптоновскую длину \(\bar\lambda_C=\hbar/(m_ec)\) формула принимает геометрическую форму:
\[\tag{34}
\mu_B=\frac{ec\bar\lambda_C}{2}.
\]
Её логарифмическая координата в согласованных единицах СИ равна
\[\tag{35}
L_{\mu_B}=L_e+L_c+L_{\bar\lambda_C}-L_2.
\]
| Величина | Значение в СИ | Координата \(L\) |
|---|---|---|
| Заряд \(e\) | \(1{,}602176634\cdot10^{-19}\,{\rm C}\) | \(-8{,}795856\) |
| Скорость \(c\) | \(2{,}99792458\cdot10^8\,{\rm m/s}\) | \(+3{,}966999\) |
| \(\bar\lambda_C\) | \(3{,}86159267\cdot10^{-13}\,{\rm m}\) | \(-5{,}809169\) |
| Число \(2\) | \(2\) | \(+0{,}140877\) |
Все умножения и деление заменяются одной суммой:
\[\tag{36}
\begin{aligned}
L_{\mu_B}
&=-8{,}795856+3{,}966999-5{,}809169-0{,}140877\\
&=-10{,}778902.
\end{aligned}
\]
Возвращаясь к обычной шкале:
\[\tag{37}
\mu_B=(1\,{\rm J/T})\,\iota ^{-10{,}778902}
\approx9{,}27401006\cdot10^{-24}\,{\rm J/T}.
\]
Здесь важен не только более компактный расчёт. Комптоновский уровень с координатой \(-5{,}809169\), уже присутствующий в \(M_2\), непосредственно входит в координату магнитного момента электрона.
10. Что даёт логарифмическое представление
Полученная система позволяет разделить физическую величину на две части: её размерностный эталон и числовую координату на шкале \(\iota \). В результате:
1. Огромный диапазон значений заменяется компактным диапазоном десятичных чисел.
2. Мультипликативные физические законы становятся линейными соотношениями.
3. Отношения, равные степеням \(\alpha_{fs}\), превращаются в целочисленные расстояния.
4. Инварианты проявляются как постоянные суммы или разности строк таблицы.
5. Несколько физических величин могут описываться одной координатой состояния \(N\).
При этом сама логарифмическая запись ещё не является новым физическим законом. Она становится элементом модели только тогда, когда из геометрических постулатов удаётся вывести выбор основания, направление шагов и наблюдаемые связи между уровнями.
11. Постоянное основание как первое приближение
На первом этапе удобно считать основание постоянным:
\[\tag{38}
g_0=\iota =\frac{1}{\alpha_{fs}(0)}.
\]
Тогда шкала является равномерной:
\[\tag{39}
r_N=r_0g_0^N,
\qquad
\omega_N=\omega_0g_0^{-N},
\qquad
E_N=E_0g_0^{-N}.
\]
В этой форме таблицы \(M_1\) и \(M_2\) полностью определяются начальным состоянием и целым или непрерывным параметром \(N\).
12. Переход к эффективному \(\alpha_{fs}(Q)\)
В более общем случае эффективная электромагнитная связь зависит от характерного энергетического масштаба или переданного импульса \(Q\). Поэтому постоянное основание может быть расширено до
\[\tag{40}
g(Q)=\frac{1}{\alpha_{fs}(Q)}.
\]
Если изменение \(g(Q)\) мало на рассматриваемом участке, можно использовать локальный шаг:
\[\tag{41}
\Delta N\approx
\frac{\Delta\ln r}{\ln g(Q)}
=-\frac{\Delta\ln\omega}{\ln g(Q)}.
\]
При заметном изменении основания простой логарифм с одним основанием заменяется интегральной координатой:
\[\tag{42}
dN=\frac{d\ln r}{\ln g[Q(r)]}
=-\frac{d\ln\omega}{\ln g[Q(\omega)]},
\]
\[\tag{43}
N(r)=\int_{r_0}^{r}
\frac{d\ln\rho}{\ln g[Q(\rho)]}.
\]
При \(g(Q)=g_0={\rm const}\) общая формула автоматически возвращает исходную шкалу:
\[\tag{44}
N(r)=\frac{\ln(r/r_0)}{\ln g_0}
=\log_{g_0}\!\left(\frac{r}{r_0}\right).
\]
Формула \(g(Q)=1/\alpha_{fs}(Q)\) пока является предусмотренным обобщением, а не доказанным следствием геометрической модели. Для доказательства необходимо независимо вывести закон изменения \(\alpha_{fs}(Q)\) из постулатов модели. Подстановка известного бега \(\alpha_{fs}\) из квантовой электродинамики дала бы интерпретацию, но не самостоятельный вывод.
Заключение
Расширенная таблица показывает, что последовательность \(r_e\rightarrow\bar\lambda_C\rightarrow a_0\) порождает не только три радиуса. Вместе с радиусом согласованно изменяются угловая частота, циклическая частота, период, энергия и импульс. В обычных единицах эти величины выглядят разнородными, но в координатах с основанием \(\iota =\alpha_{fs}^{-1}(0)\) их переходы сводятся к шагам \(+1\) и \(-1\).
Таблица \(M_2\) тем самым представляет систему физических соотношений как линейную геометрию:
законы \(\omega r=c\), \(E=\hbar\omega\), \(E=pc\), \(Tf=1\) выражаются постоянными суммами и разностями координат, а вычисление составных величин, таких как магнетон Бора,
сводится к сложению нескольких чисел.
Постоянное основание даёт рабочую первую модель; переход к \(\alpha_{fs}(Q)\) оставляет возможность в будущем описать неравномерную, энергетически зависимую шкалу.
Дополнение
Из необычных соотношений такого логарифма можно представить следующее:
\[ 2\log_{\iota}(2) \approx 3 - e \]
где \(e\) — число Эйлера.
Расхождение такого равенства составляет 0.013%.
Ещё одно приблизительное равенство:
\[ {1 \over [e \log_{\iota}(\pi)]^2} \approx {5 \over 2} \]
Расхождение такого равенства составляет 0.009%.
Ещё одно:
\[ \log_{\iota}(1836.152673)^8/\pi^2 \approx 3 \]
где \(1836.152673\) — отношение массы протона к массе электрона.
Расхождение такого равенства составляет 0.072%.