2026-08-30
Расщепление пространства и движение как единый процесс
Вакуум, пространственная протяжённость и евклидова метрика
Обычно пространство считают заранее существующей протяжённой средой, внутри которой тела могут покоиться или двигаться. В этой работе рассматривается обратная возможность: пространство не предшествует движению, а возникает как метрическая структура различимых состояний, создаваемых движением. Тогда движение следует понимать не как перенос готового объекта между уже существующими точками, а как физически проявленное идемпотентное расщепление состояния.
Такой подход позволяет связать несколько ранее полученных результатов. Геометрическое расщепление координат показывает, что относительное движение разделяет описания одного события между независимыми идемпотентными компонентами. Многоуровневое расщепление создаёт бесконечную последовательность ортогональных каналов, норма естественного самоподобного состояния которых совпадает с Лоренц-фактором. Наконец, симметричная компенсация двух ветвей позволяет выделить обычную евклидову метрику как нерасщеплённую проекцию более общей \(i\)-геометрии.
Главная гипотеза работы состоит в следующем: движение и физически проявленное идемпотентное расщепление являются двумя описаниями одного геометрического процесса. Пространственная протяжённость возникает как метрическое отношение между состояниями этого расщепления.
Можно предположить, что вакуум — это не пустое и неподвижное пространство, каким он кажется на первый взгляд, а скрытое состояние непрерывного движения. Отдельные движения в нём могут быть направлены противоположно и потому не создавать заметного общего потока, однако это ещё не означает, что движение действительно отсутствует. Возможно, именно такая внутренняя динамика придаёт вакууму протяжённость и создаёт то, что мы воспринимаем как пространство. Далее мы последовательно рассмотрим, можно ли выразить эту гипотезу через идемпотентное расщепление и получить из него движение, пространственную метрику и евклидову геометрию.
В работе необходимо строго различать три уровня утверждений. Алгебраические свойства идемпотентов и нормы состояний доказываются математически. Отождествление коэффициента расщепления со скоростью вводится как физический постулат. Интерпретация вакуума и происхождения пространства является следствием этого постулата, а не одной только алгебры.
1. Идемпотентное расщепление единицы
Начнём с разложения единицы на два взаимно ортогональных идемпотента:
\[\tag{1}
\boxed{1=\ep+\em}.
\]
Они удовлетворяют условиям
\[\tag{2}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^{\,2}=\em,
\qquad
\ep\em=0.
\]
Разность идемпотентов образует гиперболическую единицу:
\[\tag{3}
\j=\ep-\em,
\qquad
\j^2=1.
\]
Обратно, идемпотенты выражаются через \(1\) и \(\j\):
\[\tag{4}
\ep=\frac{1+\j}{2},
\qquad
\em=\frac{1-\j}{2}.
\]
Любые два значения \(A_+\) и \(A_-\) можно сохранить внутри одного расщеплённого объекта:
\[\tag{5}
\mathcal A=\ep A_+ +\em A_-.
\]
Если значения совпадают, расщепление перестаёт проявляться в наблюдаемом результате:
\[\tag{6}
A_+=A_-=A
\quad\Longrightarrow\quad
\mathcal A=(\ep+\em)A=A.
\]
Формальное равенство \(1=\ep+\em\) выражает потенциальную способность состояния к расщеплению. Физически проявленным расщепление становится только тогда, когда его независимые ветви получают различные состояния или амплитуды.
2. Расщеплённая координата
Пусть одной координате соответствуют два идемпотентных значения \(dx_+^i\) и \(dx_-^i\). Введём полную расщеплённую координату
\[\tag{7}
\boxed{
d\mathcal X^i
=
\ep\,dx_+^i+\em\,dx_-^i
}.
\]
Используя формулы (4), получаем
\[\tag{8}
\boxed{
d\mathcal X^i
=
\frac{dx_+^i+dx_-^i}{2}
+
\j\frac{dx_+^i-dx_-^i}{2}
}.
\]
Обозначим среднюю и разностную части:
\[\tag{9}
d\bar x^i
=
\frac{dx_+^i+dx_-^i}{2},
\qquad
d\widetilde x^i
=
\frac{dx_+^i-dx_-^i}{2}.
\]
Тогда координата принимает компактную форму
\[\tag{10}
\boxed{
d\mathcal X^i=d\bar x^i+\j\,d\widetilde x^i
}.
\]
Величина \(d\bar x^i\) содержит общую часть двух ветвей, тогда как \(d\widetilde x^i\) измеряет их различие. Обычная координата получается при \(d\widetilde x^i=0\), но это не единственный случай, когда измеряемая метрика становится нерасщеплённой.
3. Первичная расщеплённая \(i\)-метрика
В расширенном базисе
\[\tag{11}
\left\{\ep,\,i\ep,\,\em,\,i\em\right\}
\]
каждая идемпотентная компонента образует собственную комплексную плоскость. Пусть \(dS_+^2\) и \(dS_-^2\) обозначают положительно определённые метрические формы этих двух плоскостей. Тогда полной \(i\)-метрикой назовём идемпотентно-значную величину
\[\tag{12}
\boxed{
d\mathcal S_i^2
=
\ep\,dS_+^2+\em\,dS_-^2
}.
\]
Подставляя выражения (4), находим
\[\tag{13}
\boxed{
d\mathcal S_i^2
=
\frac{dS_+^2+dS_-^2}{2}
+
\j\frac{dS_+^2-dS_-^2}{2}
}.
\]
Введём две части метрики:
\[\tag{14}
dS_{\mathrm{sym}}^2
=
\frac{dS_+^2+dS_-^2}{2},
\qquad
dS_{\mathrm{split}}^2
=
\frac{dS_+^2-dS_-^2}{2}.
\]
Тогда
\[\tag{15}
\boxed{
d\mathcal S_i^2
=
dS_{\mathrm{sym}}^2
+\j\,dS_{\mathrm{split}}^2
}.
\]
Первая часть является общей для двух ветвей, вторая сохраняет их метрическое различие. Таким образом, \(i\)-геометрия содержит обычную скалярную метрику и дополнительную гиперболическую компоненту в одном объекте.
4. Евклидова геометрия как симметричный сектор
Если квадрат длины в обеих ветвях одинаков,
\[\tag{16}
dS_+^2=dS_-^2=dS_E^2,
\]
то разностная часть обращается в нуль:
\[\tag{17}
dS_{\mathrm{split}}^2=0.
\]
Полная метрика сворачивается:
\[\tag{18}
\boxed{
d\mathcal S_i^2
=(\ep+\em)dS_E^2
=dS_E^2
}.
\]
Евклидова геометрия является симметричным скалярным сектором более общей \(i\)-геометрии, в котором коэффициент при \(\j\) в метрической форме равен нулю.
Важно, что исчезновение \(\j\)-компоненты метрики не требует исчезновения \(\j\)-компоненты координаты. Рассмотрим противоположные перемещения
\[\tag{19}
dx_-^i=-dx_+^i=-dx^i.
\]
Тогда средняя координата равна нулю, а разностная сохраняется:
\[\tag{20}
d\bar x^i=0,
\qquad
d\widetilde x^i=dx^i,
\qquad
d\mathcal X^i=\j\,dx^i.
\]
Однако квадратичная форма становится обычной:
\[\tag{21}
\begin{aligned}
d\mathcal S_i^2
&=\delta_{ij}d\mathcal X^i d\mathcal X^j
\\[1mm]
&=\j^2\delta_{ij}dx^i dx^j
\\[1mm]
&=\delta_{ij}dx^i dx^j.
\end{aligned}
\]
Следовательно, евклидова метрика не доказывает отсутствия скрытого расщепления. Она показывает равенство квадратов длин двух ветвей.
5. Общий критерий исчезновения \(\j\)-части
Используем представление (10) и вычислим квадратичную форму:
\[\tag{22}
\begin{aligned}
d\mathcal S_i^2
&=\delta_{ij}
\left(d\bar x^i+\j d\widetilde x^i\right)
\left(d\bar x^j+\j d\widetilde x^j\right)
\\[1mm]
&=\delta_{ij}
\left(
d\bar x^i d\bar x^j
+d\widetilde x^i d\widetilde x^j
\right)
\\[1mm]
&\quad
+2\j\,\delta_{ij}d\bar x^i d\widetilde x^j.
\end{aligned}
\]
Поэтому точным условием евклидова сектора является
\[\tag{23}
\boxed{
\delta_{ij}d\bar x^i d\widetilde x^j=0
}.
\]
В одном измерении это условие обычно реализуется либо совпадением ветвей, либо их противоположностью. В многомерном случае средняя и разностная части также могут быть взаимно ортогональны.
6. Многоуровневое идемпотентное расщепление
Одного бинарного расщепления недостаточно для описания самоподобной структуры движения. Введём на каждом уровне независимую гиперболическую единицу \(\j_n\):
\[\tag{24}
\j_n^2=1,
\qquad
\j_n\j_m=\j_m\j_n.
\]
Ей соответствует пара идемпотентов
\[\tag{25}
\ep_n=\frac{1+\j_n}{2},
\qquad
\em_n=\frac{1-\j_n}{2}.
\]
На каждом уровне ветвь \(\em_n\) фиксирует новое состояние, а ветвь \(\ep_n\) продолжает расщепляться. Определим
\[\tag{26}
\boxed{
E_n
=
\left(\prod_{k=1}^{n}\ep_k\right)\em_{n+1},
\qquad n=0,1,2,\ldots
}.
\]
Первые состояния имеют вид
\[\tag{27}
E_0=\em_1,
\qquad
E_1=\ep_1\em_2,
\qquad
E_2=\ep_1\ep_2\em_3,
\quad\ldots
\]
Они идемпотентны и взаимно ортогональны:
\[\tag{28}
\boxed{
E_nE_m=\delta_{nm}E_n
}.
\]
Действительно, при \(m>n\) состояние \(E_n\) содержит \(\em_{n+1}\), тогда как \(E_m\) содержит на том же уровне \(\ep_{n+1}\). Их произведение обращается в нуль.
Остаточная ветвь после \(N\) продолжений равна
\[\tag{29}
R_N=\prod_{k=1}^{N}\ep_k,
\qquad R_0=1.
\]
На каждом уровне выполняется
\[\tag{30}
R_n=E_n+R_{n+1},
\]
поэтому после конечного числа расщеплений
\[\tag{31}
\boxed{
1=\sum_{n=0}^{N}E_n+R_{N+1}
}.
\]
7. Самоподобное состояние расщепления
Чтобы не определять движение через уже существующие координаты, сначала введём чисто алгебраический коэффициент перехода
\[\tag{32}
\lambda\in(-1,1).
\]
Потребуем, чтобы отношение амплитуд соседних уровней было постоянным:
\[\tag{33}
\boxed{
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda
}.
\]
Отсюда
\[\tag{34}
a_n=a_0\lambda^n.
\]
Определим квадрат нормы состояния \(\mathcal A=\sum a_nE_n\) как сумму квадратов коэффициентов взаимно ортогональных каналов:
\[\tag{35}
\|\mathcal A\|^2
=
\sum_{n=0}^{\infty}a_n^2.
\]
Условие единичной нормы даёт
\[\tag{36}
1
=a_0^2\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{2n}
=\frac{a_0^2}{1-\lambda^2}.
\]
Следовательно, при выборе положительной начальной амплитуды
\[\tag{37}
a_0=\sqrt{1-\lambda^2}.
\]
Единственное нормированное самоподобное состояние имеет вид
\[\tag{38}
\boxed{
\mathcal\Phi_{\lambda}
=
\sqrt{1-\lambda^2}
\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nE_n
}.
\]
В полностью раскрытой идемпотентной форме
\[\tag{39}
\begin{aligned}
\mathcal\Phi_{\lambda}
=\sqrt{1-\lambda^2}\big(&
\em_1
+\lambda\ep_1\em_2
\\[1mm]
&+\lambda^2\ep_1\ep_2\em_3
\\[1mm]
&+\lambda^3\ep_1\ep_2\ep_3\em_4
+\cdots\big).
\end{aligned}
\]
Сама величина \(\mathcal\Phi_{\lambda}\) не является идемпотентом. Она представляет нормированное состояние в базисе взаимно ортогональных идемпотентных каналов \(E_n\).
8. Сохранение нормы
Благодаря ортогональности каналов квадрат состояния равен
\[\tag{40}
\mathcal\Phi_{\lambda}^{\,2}
=
(1-\lambda^2)
\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{2n}E_n.
\]
Для аккуратного перехода от идемпотентного результата к скаляру введём на абсолютно суммируемых коэффициентах функционал
\[\tag{41}
\tau\left(\sum_{n=0}^{\infty}c_nE_n\right)
=
\sum_{n=0}^{\infty}c_n.
\]
Тогда
\[\tag{42}
\|\mathcal A\|^2
\equiv
\tau\left(\mathcal A^2\right),
\]
и для состояния (38)
\[\tag{43}
\begin{aligned}
\|\mathcal\Phi_{\lambda}\|^2
&=(1-\lambda^2)
\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{2n}
\\[1mm]
&=1.
\end{aligned}
\]
Геометрическая доля нормы \(n\)-го канала равна
\[\tag{44}
\boxed{
P_n=(1-\lambda^2)\lambda^{2n}
},
\qquad
\sum_{n=0}^{\infty}P_n=1.
\]
В настоящей работе \(P_n\) называется геометрической долей нормы. Её вероятностная интерпретация не требуется и отдельно не постулируется.
9. Физическое отождествление с движением
До этого момента \(\lambda\) являлась только алгебраическим коэффициентом самоподобия. Теперь введём физический постулат:
\[\tag{45}
\boxed{
\lambda=\beta=\frac{v}{c}
}.
\]
Тогда состояние внешнего движения принимает вид
\[\tag{46}
\boxed{
\mathcal\Phi_{\beta}
=
\sqrt{1-\beta^2}
\sum_{n=0}^{\infty}\beta^nE_n
}.
\]
При \(\beta=0\) проявлен только начальный канал:
\[\tag{47}
\mathcal\Phi_0=E_0.
\]
При любом \(\beta\ne0\) ненулевые амплитуды получают все уровни:
\[\tag{48}
a_n=\sqrt{1-\beta^2}\,\beta^n\ne0.
\]
Поэтому любое ненулевое внешнее движение соответствует бесконечной последовательности проявленных ортогональных состояний, хотя при малой скорости амплитуды глубоких уровней быстро уменьшаются.
Внешнее движение не создаёт идемпотенты из ничего. Они принадлежат потенциальной структуре пространства. Движение проявляет эту структуру, распределяя единичную норму между её уровнями.
10. Обратный вывод движения из расщепления
Эквивалентность требует не только построения расщепления по известной скорости, но и восстановления скорости из самого состояния. Пусть
\[\tag{49}
\mathcal\Phi=\sum_{n=0}^{\infty}a_nE_n
\]
является нормированным самоподобным состоянием. Тогда
\[\tag{50}
\boxed{
\beta=\frac{a_{n+1}}{a_n}
}.
\]
В частности,
\[\tag{51}
\boxed{
v=c\frac{a_1}{a_0}
}.
\]
Начальная амплитуда определяет Лоренц-фактор:
\[\tag{52}
a_0=\sqrt{1-\beta^2}=\frac{1}{\gamma},
\qquad
\boxed{\gamma=\frac{1}{a_0}}.
\]
Таким образом, внутри класса нормированных самоподобных состояний отображение является взаимно однозначным:
\[\tag{53}
\boxed{
\text{относительное движение}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{самоподобное идемпотентное расщепление}
}.
\]
Это утверждение не относится к произвольному формальному разложению единицы. Необходимы ортогональность каналов, единичная норма и постоянное отношение соседних амплитуд.
11. Лоренц-фактор как норма расщеплённого состояния
Рассмотрим ненормированное состояние
\[\tag{54}
\boxed{
\mathcal\Gamma_{\beta}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\beta^nE_n
}.
\]
Его квадрат и норма равны
\[\tag{55}
\mathcal\Gamma_{\beta}^{\,2}
=
\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{2n}E_n,
\]
\[\tag{56}
\begin{aligned}
\|\mathcal\Gamma_{\beta}\|^2
&=\tau\left(\mathcal\Gamma_{\beta}^{\,2}\right)
\\[1mm]
&=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{2n}
\\[1mm]
&=\frac{1}{1-\beta^2}.
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[\tag{57}
\boxed{
\|\mathcal\Gamma_{\beta}\|
=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
=\gamma(\beta)
}.
\]
Нормированное и метрическое состояния связаны формулой
\[\tag{58}
\mathcal\Phi_{\beta}
=
\frac{\mathcal\Gamma_{\beta}}
{\|\mathcal\Gamma_{\beta}\|}
=
\sqrt{1-\beta^2}\,\mathcal\Gamma_{\beta}.
\]
Подробное построение бесконечной цепочки и два доказательства возникновения Лоренц-фактора приведены в работе «Происхождение Лоренц-фактора из бесконечного идемпотентного расщепления». Здесь этот результат включён в общую связь движения, пространства и метрики.
12. Композиция движений
В работе «Сумма и разность скоростей как композиция доплеровских проекций» релятивистский закон композиции был получен через внешний доплеровский масштаб
\[\tag{59}
D(\beta)
=
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
\]
Его логарифм образует аддитивную доплеровскую координату
\[\tag{60}
\boxed{
q=\ln D=\operatorname{artanh}\beta
},
\qquad
\beta=\tanh q.
\]
Для двух коллинеарных преобразований
\[\tag{61}
q_{12}^{(\pm)}=q_2\pm q_1,
\]
поэтому
\[\tag{62}
\boxed{
\beta_{12}^{(\pm)}
=
\frac{\beta_2\pm\beta_1}
{1\pm\beta_1\beta_2}
}.
\]
В настоящей работе этот доплеровский вывод не повторяется. Необходимо лишь потребовать совместимости композиции движений с композицией расщеплённых состояний. Так как
\[\tag{63}
\sqrt{1-\beta^2}=\operatorname{sech}q,
\]
получаем
\[\tag{64}
\boxed{
\mathcal\Phi_q
=
\operatorname{sech}q
\sum_{n=0}^{\infty}\tanh^n q\,E_n
}.
\]
Искомая операция композиции должна удовлетворять
\[\tag{65}
\boxed{
\mathcal\Phi_{q_1}\star\mathcal\Phi_{q_2}
=
\mathcal\Phi_{q_1+q_2}
}.
\]
Для относительного движения:
\[\tag{66}
\boxed{
\mathcal\Phi_{q_2}\star\mathcal\Phi_{-q_1}
=
\mathcal\Phi_{q_2-q_1}
}.
\]
Операция \(\star\) пока задаёт требуемую физическую композицию состояний. Её нельзя заменять обычным алгебраическим произведением, которое перемножило бы коэффициенты \(\beta_1\beta_2\). Самостоятельный вывод \(\star\) из операторов вложенного расщепления остаётся отдельной задачей.
13. Связь с внешним параметром \(b\)
Во внешней части оператора
\[\tag{67}
J(t)=\j^a(-\j)^b
\]
параметр \(b\) связан со скоростью формулой
\[\tag{68}
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\sin(\pi b).
\]
Следовательно, нормированное состояние внешнего расщепления можно записать как
\[\tag{69}
\boxed{
\mathcal\Phi_b
=
\cos(\pi b)
\sum_{n=0}^{\infty}
\sin^n(\pi b)\,E_n
}.
\]
Его рекурсивная структура имеет вид
\[\tag{70}
\mathcal\Phi_b
=
\cos(\pi b)E_0
+\sin(\pi b)\,\mathcal S\mathcal\Phi_b,
\]
где оператор перехода удовлетворяет
\[\tag{71}
\mathcal S E_n=E_{n+1}.
\]
Таким образом, параметр \(b\) можно интерпретировать не только как угол внешнего движения, но и как компактный параметр глубины самоподобного расщепления. При этом равенство между исходным множителем \((-\j)^b\) и полным бесконечным состоянием \(\mathcal\Phi_b\) пока не постулируется. Необходимо отдельно установить, является ли \((-\j)^b\) его первой проекцией или компактным алгебраическим представлением.
14. Вакуум как сбалансированное движение
Теперь перейдём от движения отдельного состояния к пространству в целом. Предположим, что вакуум содержит противоположные компоненты движения, которые не дают результирующего направленного потока:
\[\tag{72}
\boxed{
\left\langle\boldsymbol\beta\right\rangle_{\mathrm{vac}}=0
}.
\]
Однако компенсация первого момента не уничтожает квадратичную величину:
\[\tag{73}
\boxed{
\left\langle\beta^2\right\rangle_{\mathrm{vac}}>0
}.
\]
Для пары \(+\boldsymbol\beta\) и \(-\boldsymbol\beta\)
\[\tag{74}
\frac{\boldsymbol\beta+(-\boldsymbol\beta)}{2}=0,
\qquad
\frac{\beta^2+(-\beta)^2}{2}=\beta^2.
\]
То же видно из долей нормы расщеплённых состояний:
\[\tag{75}
P_n(+\beta)
=P_n(-\beta)
=(1-\beta^2)\beta^{2n}.
\]
Знак направления меняет нечётные амплитуды, но не уничтожает квадрат нормы. Поэтому вакуум может выглядеть неподвижным, сохраняя ненулевую внутреннюю структуру движения.
Вакуум в этой гипотезе является не отсутствием движения, а состоянием движения без результирующего перемещения: первый момент равен нулю, а второй момент остаётся ненулевым.
15. Возникновение пространственной протяжённости
Если существует только одно неразличимое состояние, то невозможно определить отношение «между» состояниями. Пространственный интервал в таком описании отсутствует. Расщепление создаёт последовательность независимых каналов
\[\tag{76}
E_0,E_1,E_2,\ldots,
\]
между которыми уже может быть введено метрическое отношение. Поэтому предлагаемая последовательность имеет вид
\[\tag{77}
\boxed{
\text{изменение состояния}
\longrightarrow
\text{расщепление}
\longrightarrow
\text{различимые состояния}
\longrightarrow
\text{метрика}
\longrightarrow
\text{протяжённость}
}.
\]
Такое определение позволяет избежать логического круга. Первичное движение здесь ещё не определяется отношением \(dx/dt\), поскольку координата \(x\) должна только возникнуть. Под движением на предгеометрическом уровне понимается переход между различимыми алгебраическими состояниями:
\[\tag{78}
\frac{d\mathcal V}{d\tau}\ne0,
\]
где \(\tau\) является первичным параметром последовательности состояний. После возникновения метрической структуры вводятся координата и обычная скорость:
\[\tag{79}
\mathcal V(\tau)
\longrightarrow
\{E_n\}
\longrightarrow
x
\longrightarrow
v=\frac{dx}{dt}.
\]
Пространство в этой интерпретации является не вместилищем движения, а метрическим проявлением движения. Его протяжённость поддерживается непрерывным расщеплением вакуумного состояния.
16. Замкнутая волна и внутренняя геометрия
Отсутствие внешнего перемещения не означает отсутствия движения вообще. Для частицы, неподвижной как целое,
\[\tag{80}
\beta=0,
\qquad
b=0,
\]
но внутренний параметр может продолжать изменяться:
\[\tag{81}
a=\varpi t,
\qquad
\dot a=\varpi\ne0.
\]
Тогда
\[\tag{82}
J(t)=\j^a.
\]
Если внутреннее состояние периодически замыкается,
\[\tag{83}
J(t+T)=J(t),
\]
оно создаёт компактную внутреннюю геометрию, не вызывая незамкнутого внешнего перемещения. Поэтому следует различать
\[\tag{84}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{замкнутое движение}
&\longrightarrow
\text{внутренняя геометрия частицы},
\\[1mm]
\text{незамкнутое движение}
&\longrightarrow
\text{внешняя пространственная протяжённость}.
\end{aligned}
}.
\]
В таком представлении частица может рассматриваться как устойчивое локально замкнутое состояние общего движения вакуума, а не как посторонний объект, помещённый в изначально пустое пространство.
17. Первый и второй моменты вакуумного движения
Пусть после возникновения направлений внешнее состояние характеризуется компонентами \(\beta_i\). Первый момент
\[\tag{85}
M_i^{(1)}=\left\langle\beta_i\right\rangle
\]
определяет наблюдаемый поток. Для покоящегося вакуума
\[\tag{86}
M_i^{(1)}=0.
\]
Метрическая структура связана со вторым моментом
\[\tag{87}
\boxed{
C_{ij}
=
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle
}.
\]
Поэтому нулевой первый момент не означает исчезновения метрики:
\[\tag{88}
\left\langle\beta_i\right\rangle=0,
\qquad
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle\ne0.
\]
Это различие является основой перехода от скрытого компенсированного движения к наблюдаемой пространственной протяжённости.
18. Изотропия и евклидова метрика
Равенства \(\langle\beta_i\rangle=0\) недостаточно для евклидовой геометрии. Компенсированное движение может оставаться анизотропным. Необходимо дополнительное условие изотропии второго момента:
\[\tag{89}
\boxed{
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle
=
\frac{\left\langle\beta^2\right\rangle}{3}
\delta_{ij}
}.
\]
Определим нормированную пространственную метрику
\[\tag{90}
\boxed{
g_{ij}
=
\frac{3}{\left\langle\beta^2\right\rangle}
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle
}.
\]
Для изотропного вакуума
\[\tag{91}
g_{ij}=\delta_{ij}.
\]
Следовательно, пространственный интервал принимает евклидов вид
\[\tag{92}
\boxed{
d\ell^2
=
\delta_{ij}dx^i dx^j
=
dx^2+dy^2+dz^2
}.
\]
Таким образом, два разных условия выполняют две разные функции:
\[\tag{93}
\boxed{
\begin{aligned}
\left\langle\beta_i\right\rangle=0
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{нет результирующего потока},
\\[1mm]
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle
\propto\delta_{ij}
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{метрика изотропна и евклидова}.
\end{aligned}
}.
\]
Евклидова геометрия возникает не из отсутствия движения, а из симметрии и изотропной компенсации движения, скрытого в расщеплённой структуре вакуума.
19. Нарушение симметрии и общая метрика
Если две идемпотентные ветви имеют разные квадраты длины,
\[\tag{94}
dS_+^2\ne dS_-^2,
\]
то \(\j\)-компонента метрики сохраняется:
\[\tag{95}
d\mathcal S_i^2
=
dS_{\mathrm{sym}}^2
+\j dS_{\mathrm{split}}^2,
\qquad
dS_{\mathrm{split}}^2\ne0.
\]
Если же второй момент движения не изотропен, то возникает общая положительно определённая пространственная метрика
\[\tag{96}
g_{ij}
\propto
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle,
\qquad
g_{ij}\ne\delta_{ij}.
\]
Это открывает возможность в дальнейшем связать анизотропию или искривление наблюдаемого пространства с нарушением симметрии вакуумного расщепления. Однако такой вывод потребует построения поля \(g_{ij}(x,t)\), определения его динамики и сопоставления с экспериментом. В настоящей работе гравитационная интерпретация не вводится.
20. Новый постулат движения и пространства
Полученные математические и физические положения позволяют сформулировать новый постулат концепции.
Движение и физически проявленное идемпотентное расщепление являются одним геометрическим процессом. Отношение амплитуд соседних уровней внешнего самоподобного расщепления равно относительной скорости \(\beta=v/c\). Пространственная протяжённость возникает как метрическое отношение между различимыми состояниями этого расщепления.
Математическая часть постулата записывается как
\[\tag{97}
\boxed{
\mathcal\Phi_{\beta}
=
\sqrt{1-\beta^2}
\sum_{n=0}^{\infty}\beta^nE_n,
\qquad
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\beta,
\qquad
\|\mathcal\Phi_{\beta}\|=1
}.
\]
Постулат вакуумного состояния имеет вид
\[\tag{98}
\boxed{
\left\langle\boldsymbol\beta\right\rangle_{\mathrm{vac}}=0,
\qquad
\left\langle\beta^2\right\rangle_{\mathrm{vac}}>0
}.
\]
Постулат евклидовой проекции:
\[\tag{99}
\boxed{
dS_+^2=dS_-^2
\quad\Longrightarrow\quad
d\mathcal S_i^2=dS_E^2
}.
\]
Для трёхмерного изотропного пространства:
\[\tag{100}
\boxed{
\left\langle\beta_i\beta_j\right\rangle
=
\frac{\left\langle\beta^2\right\rangle}{3}\delta_{ij}
\quad\Longrightarrow\quad
g_{ij}=\delta_{ij}
}.
\]
21. Область применимости и открытые вопросы
Предложенная конструкция доказывает свойства самоподобного идемпотентного состояния после того, как заданы ортогональные каналы и метрический функционал. Физическое равенство \(\lambda=\beta\), вакуумная интерпретация и происхождение протяжённости являются постулатами модели, которые должны оцениваться по их дальнейшим следствиям.
До завершения теории остаётся решить несколько задач. Необходимо вывести операцию \(\star\) непосредственно из алгебры многоуровневого расщепления; установить точное отношение между \((-\j)^b\) и состоянием \(\mathcal\Phi_b\); отдельно определить граничный случай \(|\beta|=1\); показать происхождение именно трёх наблюдаемых пространственных направлений; построить локальную метрику \(g_{ij}(x,t)\) и найти проверяемые отличия от существующих теорий.
Кроме того, скрытое вакуумное движение нельзя понимать как механическое перемещение вещества в уже готовом пространстве. Иначе возникли бы логический круг и выделенная система покоя. Первичный процесс должен быть переходом между предгеометрическими состояниями, а его наблюдаемая пространственная интерпретация должна сохранять принцип относительности.
Заключение
В работе построена последовательная связь между идемпотентным расщеплением, движением, пространственной протяжённостью и евклидовой метрикой. Исходное бинарное разложение единицы создаёт две независимые ветви. Повторное расщепление образует бесконечную систему ортогональных идемпотентов \(E_n\). Единственное нормированное самоподобное состояние этой системы определяется постоянным отношением соседних амплитуд.
После физического отождествления этого отношения со скоростью \(\beta=v/c\) движение и расщепление становятся взаимно восстанавливаемыми описаниями одного процесса. Ненормированная длина соответствующего состояния равна Лоренц-фактору, а логарифмическая доплеровская координата \(q\) обеспечивает правильную композицию коллинеарных движений.
Вакуум интерпретируется как сбалансированное движение: его первый момент равен нулю, поэтому направленный поток отсутствует, но второй момент остаётся ненулевым и поддерживает метрическую протяжённость. При равенстве метрик двух идемпотентных ветвей \(\j\)-компонента квадратичной формы исчезает. При дополнительной изотропии второго момента возникает обычная евклидова метрика.
\[\tag{101}
\boxed{
\begin{gathered}
\text{движение}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{расщепление},
\\[1mm]
\text{расщепление}
\quad\Longrightarrow\quad
\text{метрическая протяжённость},
\\[1mm]
\left\langle\boldsymbol\beta\right\rangle=0,
\quad
\left\langle\beta^2\right\rangle>0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{неподвижный, но протяжённый вакуум},
\\[1mm]
dS_+^2=dS_-^2
\quad\Longrightarrow\quad
d\mathcal S_i^2=dS_E^2.
\end{gathered}
}.
\]
Пространство в предлагаемой картине не является пустой сценой, внутри которой иногда возникает движение. Оно представляет собой геометрическое проявление непрерывного движения расщеплённого вакуумного состояния.