2026-07-29
Сумма и разность скоростей как композиция доплеровских проекций
Часть 1. Одинаковое внутреннее состояние
Что именно складывается, когда складываются скорости? В классической механике ответ кажется очевидным: достаточно сложить или вычесть два числа. Но уже при больших скоростях это правило перестаёт работать. Две скорости, каждая из которых меньше скорости света, при обычном сложении могут дать значение больше \(c\). Природа такого результата не допускает, а в релятивистской формуле неожиданно появляется дополнительный знаменатель.
Можно принять этот знаменатель как готовое правило. Но можно поставить более глубокий вопрос: существует ли такая переменная движения, которая действительно складывается линейно, а привычная скорость получается из неё только после обратного преобразования?
В настоящей работе такой переменной становится логарифм доплеровской проекции внутренней частоты частицы. Основная идея статьи состоит в следующем: скорости не складываются непосредственно. Каждое внешнее движение сначала преобразуется в доплеровский масштаб, масштабы перемножаются или делятся, а затем результат снова переводится в скорость.
\[
\tag{1}
\boxed{
\text{скорость}
\;\longrightarrow\;
\text{доплеровский масштаб}
\;\longrightarrow\;
\text{композиция}
\;\longrightarrow\;
\text{скорость}
}
\]
В концепции волнового электричества применение эффекта Доплера не является формальным приёмом. Оператор частицы содержит внутреннее вращение и, следовательно, собственную внутреннюю частоту. Именно эта физически определённая периодичность подвергается доплеровской проекции при внешнем движении.
В первой части рассматривается наиболее ясный случай: две частицы или два сравниваемых состояния обладают совершенно одинаковым внутренним состоянием, то есть \(a_1(t)=a_2(t)\). Благодаря этому внутренняя составляющая является общей и при сравнении сокращается. Во второй части это ограничение будет снято.
1. Оператор полного состояния
Математической основой модели служит оператор сплит-геометрии
\[
\tag{2}
\boxed{
J(a,b)
=
\j^{a}(-\j)^{b}
=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}
}.
\]
Идемпотенты \(\ep\) и \(\em\) задают две независимые комплексные плоскости:
\[
\tag{3}
\ep^{2}=\ep,
\qquad
\em^{2}=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b\) — её внешнее движение. Поэтому один оператор объединяет два независимых фазовых процесса, не смешивая их друг с другом.
Для двух рассматриваемых состояний запишем
\[
\tag{4}
J_1
=
\j^{a}(-\j)^{b_1},
\qquad
J_2
=
\j^{a}(-\j)^{b_2}.
\]
Общий показатель \(a\) в формуле (4) означает более сильное условие, чем простое равенство внутренних частот:
\[
\tag{5}
a_1(t)=a_2(t)=a(t),
\qquad
\dot a_1(t)=\dot a_2(t)=\dot a(t).
\]
Следовательно, совпадают и положение во внутреннем цикле, и скорость внутреннего вращения. Различие между состояниями содержится только во внешних показателях \(b_1\) и \(b_2\).
Связь внешнего показателя со скоростью задаётся принятой в модели параметризацией
\[
\tag{6}
b_k
=
\frac{1}{\pi}\arcsin\beta_k,
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c},
\qquad
\beta_k
=
\sin(\pi b_k),
\quad k=1,2.
\]
При \(|\beta_k| < 1\) показатель \(b_k\) остаётся конечным, а скорость каждого исходного состояния меньше \(c\). Задача статьи — получить из \(b_1\) и \(b_2\) составной внешний показатель, не нарушая этого ограничения.
2. Почему к оператору можно применять эффект Доплера
Эффект Доплера имеет смысл только тогда, когда существует периодический процесс, частоту которого может измерить наблюдатель. Если бы оператор \(J\) описывал лишь положение без внутренней периодичности, использование доплеровского коэффициента было бы искусственным.
В рассматриваемой модели периодический процесс присутствует изначально. Положим
\[
\tag{7}
a(t)=\varpi t,
\qquad
\omega_0=\pi\varpi=\pi\dot a.
\]
Тогда внутренняя компонента оператора имеет вид
\[
\tag{8}
\em e^{i\pi a(t)}
=
\em e^{i\omega_0 t}.
\]
Таким образом, \(\omega_0\) является угловой частотой реального внутреннего вращения в плоскости \(\{\em,i\em\}\). Внешнее движение не создаёт эту частоту, а изменяет её наблюдаемую проекцию.
\[
\tag{9}
\boxed{
\omega_{\mathrm{obs}}
=
\mathcal D\,\omega_0
}.
\]
Именно наличие \(\omega_0\) даёт физическое основание применять эффект Доплера. Мы преобразуем не абстрактное число \(v\), а частоту уже существующего внутреннего процесса. Скорость затем восстанавливается по величине частотного сдвига.
Для состояний (4) исходная частота одинакова:
\[
\tag{10}
\omega_{0,1}
=
\omega_{0,2}
=
\omega_0.
\]
Это равенство станет ключевым: отношение наблюдаемых частот будет зависеть только от различия внешних движений.
3. Внутреннее и внешнее движения
Компоненты оператора принадлежат двум взаимно ортогональным идемпотентным плоскостям. В физической интерпретации модели это означает, что внутреннее вращение и внешнее движение рассматриваются как два последовательных ортогональных процесса:
\[
\tag{11}
\mathbf v_{\mathrm{int}}
\perp
\mathbf v_{\mathrm{ext}}.
\]
Это не обычные декартовы компоненты одного вектора скорости, измеренные в одной и той же плоскости. Речь идёт о двух уровнях движения полного состояния: внутреннем вращении, связанном с показателем \(a\), и внешнем перемещении, связанном с показателем \(b\).
Поэтому полная проекция наблюдаемой частоты записывается как последовательное произведение внутренней поперечной и внешней направленной проекций. Обозначим нормированную скорость внутреннего движения через
\[
\tag{12}
\eta
=
\frac{v_{\mathrm{int}}}{c},
\qquad
\gamma_a
=
\frac{1}{\sqrt{1-\eta^2}}.
\]
Для внешнего движения каждого состояния имеем
\[
\tag{13}
\gamma_k
=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta_k^2}}.
\]
При выбранном направлении наблюдения комбинированный доплеровский коэффициент запишем в форме
\[
\tag{14}
\mathcal D_k
=
\underbrace{\frac{1}{\gamma_a}}_{
\substack{
\text{внутренняя}\\
\text{поперечная проекция}
}}
\underbrace{\frac{1}{\gamma_k(1-\beta_k)}}_{
\substack{
\text{внешняя}\\
\text{направленная проекция}
}}.
\]
Знак \(\beta_k\) содержит направление движения. При принятой записи положительное \(\beta_k\) соответствует направлению, при котором наблюдаемая частота возрастает. При изменении направления \(\beta_k\to-\beta_k\), и коэффициент автоматически обращается: \(D(-\beta_k)=1/D(\beta_k)\).
Наблюдаемая внутренняя частота каждого состояния равна
\[
\tag{15}
\omega_k
=
\mathcal D_k\omega_0.
\]
Перпендикулярность внутреннего и внешнего движений учитывается в абсолютной проекции каждого состояния через последовательное произведение множителей. Но поскольку внутреннее состояние у \(J_1\) и \(J_2\) одинаково, общий множитель \(1/\gamma_a\) позднее сократится.
4. Внешний доплеровский масштаб
Преобразуем внешнюю часть формулы (14). Используя определение \(\gamma_k\), получаем
\[
\tag{16}
\begin{aligned}
\frac{1}{\gamma_k(1-\beta_k)}
&=
\frac{\sqrt{1-\beta_k^2}}{1-\beta_k}
\\[1mm]
&=
\frac{
\sqrt{(1-\beta_k)(1+\beta_k)}
}{
1-\beta_k
}
\\[1mm]
&=
\sqrt{
\frac{1+\beta_k}{1-\beta_k}
}.
\end{aligned}
\]
Введём два отдельных обозначения:
\[
\tag{17}
\mathcal D_a
=
\frac{1}{\gamma_a},
\qquad
D_k
=
\sqrt{
\frac{1+\beta_k}{1-\beta_k}
}.
\]
Тогда полный коэффициент и наблюдаемая частота принимают прозрачный вид:
\[
\tag{18}
\boxed{
\mathcal D_k
=
\mathcal D_aD_k
},
\qquad
\boxed{
\omega_k
=
\omega_0\mathcal D_aD_k
}.
\]
Величина \(\mathcal D_a\) характеризует общее внутреннее состояние, а \(D_k\) — только внешнее направленное движение. Поэтому для операций над внешними скоростями необходимо использовать именно нормированный внешний масштаб \(D_k\), а не полный коэффициент \(\mathcal D_k\).
Это различие особенно важно при сложении. Если перемножить полные коэффициенты, внутренний множитель ошибочно появится дважды:
\[
\tag{19}
\mathcal D_1\mathcal D_2
=
\mathcal D_a^2D_1D_2.
\]
Но внутреннее состояние не складывается само с собой: оно является общим фоном обоих внешних движений. Поэтому сначала выполняется нормировка
\[
\tag{20}
\boxed{
D_k
=
\frac{\mathcal D_k}{\mathcal D_a}
=
\frac{\omega_k}{\omega_0\mathcal D_a}
}.
\]
5. Разность скоростей из отношения доплеровских масштабов
Прежде чем вводить логарифм и быстроту, получим относительную скорость непосредственно из доплеровских масштабов. Такой порядок вывода важен: сначала мы увидим, откуда появляется релятивистский знаменатель, и только затем введём координату, в которой найденное преобразование записывается линейно.
Пусть требуется определить внешнюю скорость второго состояния относительно первого. Переход от состояния 1 к состоянию 2 состоит из двух операций. Сначала обратный множитель \(D_1^{-1}\) устраняет доплеровскую проекцию первого движения, затем множитель \(D_2\) вводит проекцию второго движения. Поэтому относительный масштаб равен
\[
\tag{21}
\boxed{
D_{2/1}
=
\frac{D_2}{D_1}
},
\qquad
\boxed{
D_{2/1}^{2}
=
\frac{
(1+\beta_2)(1-\beta_1)
}{
(1-\beta_2)(1+\beta_1)
}
}.
\]
Покажем теперь, как по доплеровскому масштабу однозначно восстанавливается скорость. Для произвольного движения определение \(D^2=(1+\beta)/(1-\beta)\) можно решить относительно \(\beta\). Умножая обе части на \(1-\beta\) и собирая слагаемые с \(\beta\), получаем
\[
\tag{22}
\begin{aligned}
D^2
&=
\frac{1+\beta}{1-\beta},
\\[1mm]
D^2(1-\beta)
&=
1+\beta,
\\[1mm]
D^2-1
&=
\beta(D^2+1),
\\[1mm]
\boxed{
\beta
=
\frac{D^2-1}{D^2+1}
}.
\end{aligned}
\]
Эта формула позволяет перейти от отношения частотных масштабов непосредственно к относительной скорости.
Подставим в неё выражение (21). Чтобы не потерять знаки, обозначим числитель дроби для \(D_{2/1}^{2}\) через \(A\), а знаменатель — через \(B\).
Тогда \((A/B-1)/(A/B+1)=(A-B)/(A+B)\), и потому
\[
\tag{23}
\begin{aligned}
\beta_{2/1}
&=
\frac{
D_{2/1}^{2}-1
}{
D_{2/1}^{2}+1
}
\\[1mm]
&=
\frac{
(1+\beta_2)(1-\beta_1)
-
(1-\beta_2)(1+\beta_1)
}{
(1+\beta_2)(1-\beta_1)
+
(1-\beta_2)(1+\beta_1)
}.
\end{aligned}
\]
Раскроем обе пары скобок. В числителе постоянные слагаемые и произведения \(\beta_1\beta_2\) сокращаются, а в знаменателе сокращаются линейные слагаемые. Остаётся
\[
\tag{24}
\begin{aligned}
\beta_{2/1}
&=
\frac{
2\beta_2-2\beta_1
}{
2-2\beta_1\beta_2
}
\\[1mm]
&=
\boxed{
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\end{aligned}
\]
Таким образом, дополнительный знаменатель возникает уже при обратном переходе от отношения доплеровских масштабов к скорости. Для его получения не потребовалось заранее вводить ни логарифм, ни гиперболические функции.
6. Логарифмическая доплеровская координата
Теперь, когда формула разности скоростей получена непосредственно, можно выяснить, какая координата делает эту композицию линейной. Доплеровские масштабы при последовательных переходах перемножаются, а при относительном сравнении делятся. Логарифм превращает эти операции соответственно в сложение и вычитание. Поэтому введём
\[
\tag{25}
\boxed{
q_k
=
\ln D_k
}.
\]
Подставляя определение внешнего доплеровского масштаба, находим
\[
\tag{26}
\begin{aligned}
q_k
&=
\ln
\sqrt{
\frac{1+\beta_k}{1-\beta_k}
}
\\[1mm]
&=
\frac{1}{2}
\ln
\frac{1+\beta_k}{1-\beta_k}
\\[1mm]
&=
\operatorname{artanh}\beta_k.
\end{aligned}
\]
Координата \(q\) известна в релятивистской кинематике как быстрота. Здесь она не вводится как заранее известная замена переменной, а возникает из доплеровского масштаба движения. Обратное преобразование имеет вид \(\beta_k=\tanh q_k\).
Для относительного движения деление масштабов становится вычитанием их логарифмов:
\[
\tag{27}
\begin{aligned}
q_{2/1}
&=
\ln D_{2/1}
\\
&=
\ln D_2-\ln D_1
\\
&=
q_2-q_1.
\end{aligned}
\]
Следовательно, относительная скорость может быть записана как
\[
\tag{28}
\begin{aligned}
\beta_{2/1}
&=
\tanh q_{2/1}
\\
&=
\tanh(q_2-q_1)
\\
&=
\frac{
\tanh q_2-\tanh q_1
}{
1-\tanh q_1\tanh q_2
}.
\end{aligned}
\]
Поскольку \(\tanh q_k=\beta_k\), мы снова приходим к уже независимо полученному результату
\[
\tag{29}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\beta_2-\beta_1
}{
1-\beta_1\beta_2
}
}.
\]
В размерной форме формула принимает привычный вид
\[
\tag{30}
\boxed{
v_{2/1}
=
\frac{
v_2-v_1
}{
1-\dfrac{v_1v_2}{c^2}
}
}.
\]
Через исходные показатели сплит-операторов результат записывается непосредственно как
\[
\tag{31}
\boxed{
\beta_{2/1}
=
\frac{
\sin(\pi b_2)-\sin(\pi b_1)
}{
1-
\sin(\pi b_1)
\sin(\pi b_2)
}
}.
\]
Знаменатель в формулах (29)–(31) не вводился отдельно как поправка к классической разности. Он появился при обратном отображении разности доплеровских координат в обычную скорость.
7. Сумма скоростей
Теперь рассмотрим два последовательных внешних движения в одном направлении. Их доплеровские масштабы перемножаются:
\[
\tag{32}
\boxed{
D_{1\oplus2}
=
D_1D_2
}.
\]
После логарифмирования произведение становится суммой:
\[
\tag{33}
\begin{aligned}
q_{1\oplus2}
&=
\ln(D_1D_2)
\\
&=
\ln D_1+\ln D_2
\\
&=
q_1+q_2.
\end{aligned}
\]
Обратный переход к скорости даёт
\[
\tag{34}
\beta_{1\oplus2}
=
\tanh(q_1+q_2).
\]
Используя формулу суммы гиперболических тангенсов, получаем
\[
\tag{35}
\boxed{
\beta_{1\oplus2}
=
\frac{
\beta_1+\beta_2
}{
1+\beta_1\beta_2
}
}.
\]
В размерной форме:
\[
\tag{36}
\boxed{
v_{1\oplus2}
=
\frac{
v_1+v_2
}{
1+\dfrac{v_1v_2}{c^2}
}
}.
\]
Через параметры \(b_1\) и \(b_2\):
\[
\tag{37}
\boxed{
\beta_{1\oplus2}
=
\frac{
\sin(\pi b_1)+\sin(\pi b_2)
}{
1+
\sin(\pi b_1)
\sin(\pi b_2)
}
}.
\]
И здесь дополнительный знаменатель является следствием обратного перехода от линейной координаты \(q_1+q_2\) к ограниченной скорости \(\tanh(q_1+q_2)\).
8. Единое правило композиции
Сумму и разность можно объединить в одной последовательности преобразований. Для верхнего знака выполняется сложение, для нижнего — вычитание:
\[
\tag{38}
\boxed{
D_{12}^{(\pm)}
=
D_2D_1^{\,\pm1}
}.
\]
Логарифмическая координата делает эту операцию линейной:
\[
\tag{39}
\boxed{
q_{12}^{(\pm)}
=
q_2\pm q_1
}.
\]
После обратного преобразования получаем единый закон
\[
\tag{40}
\boxed{
\beta_{12}^{(\pm)}
=
\tanh(q_2\pm q_1)
=
\frac{
\beta_2\pm\beta_1
}{
1\pm\beta_1\beta_2
}
}.
\]
Таким образом, сложение и вычитание скоростей являются двумя вариантами одной операции над доплеровскими масштабами: произведением и отношением. В координате \(q\) они превращаются в обычные сумму и разность.
9. Возвращение к внешнему показателю \(b\)
Полученная скорость должна быть возвращена в геометрию исходного оператора. По определению (6) составной внешний показатель равен
\[
\tag{41}
\boxed{
b_{12}^{(\pm)}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin
\left(
\beta_{12}^{(\pm)}
\right)
}.
\]
Подставляя формулу (40), находим
\[
\tag{42}
\boxed{
b_{12}^{(\pm)}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin
\left[
\frac{
\sin(\pi b_2)
\pm
\sin(\pi b_1)
}{
1
\pm
\sin(\pi b_1)
\sin(\pi b_2)
}
\right]
}.
\]
При сравнении двух состояний общий внутренний множитель \(\j^a\) не участвует в вычислении относительной внешней скорости. Нормированный внешний относительный оператор имеет вид
\[
\tag{43}
J_{\mathrm{ext},12}^{(\pm)}
=
(-\j)^{b_{12}^{(\pm)}}.
\]
Однако полное результирующее состояние частицы должно по-прежнему содержать её общее внутреннее вращение. Поэтому после вычисления внешней композиции множитель \(\j^a\) присоединяется обратно:
\[
\tag{44}
\boxed{
J_{12}^{(\pm)}
=
\j^a
(-\j)^{b_{12}^{(\pm)}}
}.
\]
Такое различение устраняет возможное недоразумение. При вычислении внешней скорости внутренняя часть сокращается, но сама частица не лишается внутреннего состояния. Формула (43) описывает только внешнее преобразование, а формула (44) — восстановленное полное состояние.
В идемпотентном базисе результат снова имеет исходную структуру:
\[
\tag{45}
J_{12}^{(\pm)}
=
\ep
e^{i\pi b_{12}^{(\pm)}}
+
\em e^{i\pi a}.
\]
Обе компоненты остаются единичными фазовыми множителями в своих плоскостях. Поэтому композиция скоростей не выводит состояние за пределы нормированной геометрии оператора.
10. Почему скорость света не превышается
Ограничение скорости становится особенно наглядным в доплеровской координате. Любому конечному \(q\) соответствует
\[
\tag{46}
-1
<
\tanh q
<
1.
\]
Поскольку сумма или разность двух конечных координат также конечна, имеем
\[
\tag{47}
|q_1|<\infty,
\quad
|q_2|<\infty
\quad\Longrightarrow\quad
\left|
\beta_{12}^{(\pm)}
\right|
<1.
\]
Следовательно,
\[
\tag{48}
\boxed{
|v_1| < c,
\quad
|v_2| < c
\quad\Longrightarrow\quad
\left|
v_{12}^{(\pm)}
\right| < c
}.
\]
Чтобы получить \(|\beta|=1\), потребовалось бы \(|q|\to\infty\), то есть бесконечный доплеровский масштаб:
\[
\tag{49}
\beta\to1
\quad\Longleftrightarrow\quad
D(\beta)\to\infty
\quad\Longleftrightarrow\quad
q\to\infty.
\]
Поэтому скорость света выступает не как искусственно установленный предел сложения, а как граница обратного отображения \(\beta=\tanh q\).
11. Проверки полученного закона
Малые скорости. Если \(|\beta_1|\ll1\) и \(|\beta_2|\ll1\), то произведением \(\beta_1\beta_2\) можно пренебречь:
\[
\tag{50}
\beta_{12}^{(\pm)}
\approx
\beta_2\pm\beta_1.
\]
Таким образом, классическое сложение является приближением релятивистской композиции при малых скоростях.
Одинаковые скорости. Если оба состояния движутся одинаково, их относительная скорость равна нулю:
\[
\tag{51}
\beta_2=\beta_1
\quad\Longrightarrow\quad
\beta_{2/1}=0.
\]
Одно неподвижное состояние. При \(\beta_1=0\) внешний масштаб первого состояния равен единице:
\[
\tag{52}
D_1=1,
\qquad
q_1=0,
\qquad
\beta_{2/1}=\beta_2.
\]
Противоположные движения. Из определения доплеровского масштаба следует
\[
\tag{53}
D(-\beta)
=
\frac{1}{D(\beta)},
\qquad
q(-\beta)=-q(\beta).
\]
Поэтому изменение направления движения автоматически заменяет сложение вычитанием и наоборот.
Ассоциативность последовательной композиции. Для трёх движений
\[
\tag{54}
q_{1\oplus2\oplus3}
=
q_1+q_2+q_3.
\]
Обычная ассоциативность сложения координат \(q\) означает ассоциативность одномерной релятивистской композиции скоростей.
12. Числовой пример
Пусть два последовательных движения имеют одинаковые скорости
\[
\tag{55}
\beta_1=\beta_2=0.6.
\]
Классическое сложение дало бы \(1.2c\), что превышает скорость света. Доплеровская композиция даёт
\[
\tag{56}
\begin{aligned}
\beta_{1\oplus2}
&=
\frac{0.6+0.6}{1+0.6\cdot0.6}
\\[1mm]
&=
\frac{1.2}{1.36}
\\[1mm]
&\approx
0.88235.
\end{aligned}
\]
Следовательно, результирующая скорость равна приблизительно \(0.882c\), а не \(1.2c\). При этом доплеровские координаты действительно сложились линейно:
\[
\tag{57}
q_1=q_2
=
\operatorname{artanh}(0.6)
\approx
0.69315,
\qquad
q_{1\oplus2}
\approx
1.38629.
\]
Обратное преобразование возвращает тот же результат:
\[
\tag{58}
\tanh(1.38629)
\approx
0.88235.
\]
Этот пример показывает источник нелинейности: складываются значения \(q\), тогда как скорость является ограниченной гиперболическим тангенсом проекцией полученной суммы.
13. Что именно получено в этой статье
В работе использована известная релятивистская формула направленного эффекта Доплера
\[
\tag{59}
D(\beta)
=
\sqrt{
\frac{1+\beta}{1-\beta}
}.
\]
Поэтому полученный результат следует точно называть доплеровским выводом закона сложения скоростей. Он показывает внутреннюю математическую структуру закона и связывает её с частотой оператора \(J\), но не является независимым выводом всей специальной теории относительности.
Самостоятельность предлагаемой интерпретации состоит в другом. Эффект Доплера здесь применяется к внутреннему вращению частицы, которое уже содержится в показателе \(a\). Одинаковая внутренняя частота двух состояний служит общим эталоном, относительно которого выделяются внешние доплеровские масштабы.
Полная последовательность имеет вид
\[
\tag{60}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1,J_2
&\longrightarrow
\omega_1,\omega_2
\\
&\longrightarrow
D_1,D_2
\\
&\longrightarrow
q_1=\ln D_1,
\quad
q_2=\ln D_2
\\
&\longrightarrow
q_{12}^{(\pm)}
=
q_2\pm q_1
\\
&\longrightarrow
\beta_{12}^{(\pm)}
=
\tanh q_{12}^{(\pm)}
\\
&\longrightarrow
b_{12}^{(\pm)}
=
\frac{1}{\pi}
\arcsin\beta_{12}^{(\pm)}
\\
&\longrightarrow
J_{12}^{(\pm)}
=
\j^a(-\j)^{b_{12}^{(\pm)}}.
\end{aligned}
}
\]
Заключение
В обычной координате скорости релятивистская композиция выглядит нелинейной. В доплеровской координате её устройство становится простым: последовательные частотные масштабы перемножаются, их логарифмы складываются, а разность движений получается делением масштабов и вычитанием логарифмов.
\[
\tag{61}
\boxed{
q_{12}^{(\pm)}
=
q_2\pm q_1
}.
\]
Дополнительный знаменатель закона сложения скоростей возникает не как внешняя поправка, а при возвращении из линейной доплеровской координаты к ограниченной переменной \(\beta\):
\[
\tag{62}
\boxed{
\beta_{12}^{(\pm)}
=
\frac{
\beta_2\pm\beta_1
}{
1\pm\beta_1\beta_2
}
}.
\]
В геометрии оператора \(J=\j^a(-\j)^b\) этот вывод получает физическую опору: доплеровскому преобразованию подвергается частота внутреннего вращения \(\omega_0=\pi\dot a\), а внешнее движение кодируется показателем \(b\). При условии \(a_1=a_2\) внутренняя часть служит общим эталоном и сокращается, поэтому относительная внешняя скорость определяется только параметрами \(b_1\) и \(b_2\).
Подробнее математическое происхождение оператора рассмотрено в статье «От формулы Эйлера к сплит-геометрии».
Разделение внутреннего и внешнего движений также используется в работах «Масса частицы как геометрическая проекция»
и «Геометрическое происхождение квадрата постоянной тонкой структуры и параметров атома Бора».
Во второй части будет рассмотрен общий случай \(a_1(t)\ne a_2(t)\). Тогда наблюдаемый частотный сдвиг содержит не только внешнее относительное движение, но и различие внутренних фаз, внутренних частот и их поперечных проекций. В результате возникает полный относительный оператор, описывающий одновременно внешнюю скорость и биение внутренних вращений.
Используемые материалы
- Википедия. Velocity-addition formula.