Ранее был предложен новый идемпотентный базис, позволяющий разделить поступательное и внутреннее движения материальной точки. На его основе построен вектор движения, описывающий одновременно перенос частицы в пространстве и внутреннее периодическое вращение. Такой подход позволяет рассматривать внутреннюю структуру электрона как естественное следствие геометрии нового базиса, не вводя дополнительных пространственных измерений или специальных преобразований.

В настоящей работе эта модель получает дальнейшее развитие. Рассматривается гипотеза о связи собственной частоты внутреннего движения с энергией покоя электрона, постоянной тонкой структуры, классическим радиусом и магнитным моментом, которые ранее были рассмотрены в этой работе. Также обсуждается возможная связь предложенной модели с эффектом zitterbewegung Дирака и показывается, что внутреннее движение заряда может служить единым геометрическим механизмом, объединяющим ряд фундаментальных характеристик электрона.

Геометрическое развитие модели основано на новом идемпотентном базисе \[ \tag{1} \left\{ \ep,\;i\ep,\;\em,\;i\em \right\}, \] где \[ \ep^2=\ep,\qquad \em^2=\em,\qquad \ep\em=0. \]

Вектор движения записывается как сумма поступательной и вращательной составляющих. Такая запись позволяет отделить движение центра частицы от внутреннего периодического движения, а затем связать внутреннюю частоту с энергией покоя, постоянной тонкой структуры и гипотетическим лоренц-фактором внутренней динамики.

Рассмотрим безразмерный вектор \[ \tag{2} J(t)=\ep+\em e^{-i\omega t}. \] Первая компонента направлена вдоль неподвижного идемпотентного направления \(\ep\), тогда как вторая вращается в комплексной плоскости \[ \left\{\em,\;i\em\right\}. \]

Разложение комплексной экспоненты даёт \[ \tag{3} J(t) = \ep + \em\cos\omega t - i\em\sin\omega t. \] Следовательно, конец второй компоненты движется по единичной окружности в плоскости \((\em,i\em)\), а первая компонента остаётся постоянной.

Если умножить вектор на скорость света, получим вектор скорости \[ \tag{4} V(t) = cJ(t) = c\ep + c\em e^{-i\omega t}. \] В этой записи компонента \(c\ep\) описывает поступательное направление, а компонента \[ c\em e^{-i\omega t} \] — внутреннее круговое движение в геометрии нового базиса.

Интегрируя выражение (4) по времени, получаем вектор положения \[ \tag{5} R(t) = ct\ep + \frac{ic}{\omega}\em e^{-i\omega t} + R_0. \] Знак и начальная фаза вращательной составляющей могут быть изменены выбором начального момента времени. Радиус геометрической окружности равен \[ \tag{6} r^{(J)} = \frac{c}{\omega}. \]

Поскольку \[ \tag{7} \omega=2\pi\nu, \] радиус можно представить в виде \[ \tag{8} r^{(J)} = \frac{c}{2\pi\nu}. \] Таким образом, внутренняя частота непосредственно определяет пространственный масштаб периодического движения вектора \(J(t)\).

Предположим, что электрон может быть представлен как электромагнитная колебательная система с эффективными параметрами \(L_e\) и \(C_e\). Тогда её собственная частота равна \[ \tag{9} \nu_e = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_eC_e}}. \] В рассматриваемой модели принимается значение \[ \tag{10} \nu_e \approx 1.69\cdot10^{22}\;\text{Гц}. \]

Этой частоте соответствует угловая частота \[ \tag{11} \omega_e = 2\pi\nu_e \approx 1.06\cdot10^{23}\;\text{с}^{-1}. \] Геометрический радиус вращательной компоненты равен \[ \tag{12} r_e^{(J)} = \frac{c}{2\pi\nu_e} \approx 2.82\cdot10^{-15}\;\text{м}. \]

Полученная величина близка к классическому радиусу электрона \[ \tag{13} r_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{m_ec^2} \approx 2.818\cdot10^{-15}\;\text{м}, \] где \(e=|q_e|\) — модуль электрического заряда электрона.

Далее будем исходить из гипотезы, что геометрический радиус \[ r_e^{(J)} = \frac{c}{2\pi\nu_e} \] соответствует характерному электромагнитному масштабу внутреннего движения заряда и может быть отождествлён с классическим радиусом электрона: \[ \tag{14} r_e^{(J)} \approx r_e. \] Тогда собственная частота \[ \nu_e = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_eC_e}} \] приобретает непосредственный геометрический смысл.

Введём гипотетическую связь между энергией покоя электрона и его внутренней частотой: \[ \tag{15} m_ec^2 = h\nu_e\alpha_{\mathrm{fs}}, \] где \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) — постоянная тонкой структуры: \[ \tag{16} \alpha_{\mathrm{fs}} \approx \frac{1}{137.036}. \]

Из выражения (15) следует \[ \tag{17} \nu_e = \frac{m_ec^2} {h\alpha_{\mathrm{fs}}}. \] Численно это даёт \[ \tag{18} \nu_e \approx 1.695\cdot10^{22}\;\text{Гц}, \] что соответствует принятому значению собственной частоты.

Для сравнения, комптоновская частота электрона равна \[ \tag{19} \nu_C = \frac{m_ec^2}{h} \approx 1.236\cdot10^{20}\;\text{Гц}. \] Следовательно, \[ \tag{20} \nu_e = \frac{\nu_C} {\alpha_{\mathrm{fs}}}. \] То есть предлагаемая внутренняя частота примерно в \(137\) раз превышает комптоновскую частоту.

Сделаем дополнительное предположение: \[ \tag{21} \alpha_{\mathrm{fs}} = \frac{1}{\gamma_{\mathrm{int}}}, \] где \(\gamma_{\mathrm{int}}\) — гипотетический лоренц-фактор внутреннего движения электрона.

Тогда \[ \tag{22} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}} \approx 137.036. \] Согласно обычному определению лоренц-фактора, \[ \tag{23} \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1} {\sqrt{1-\beta_{\mathrm{int}}^2}}, \qquad \beta_{\mathrm{int}} = \frac{v_{\mathrm{int}}}{c}. \]

Подставляя выражение (21), получаем \[ \tag{24} \alpha_{\mathrm{fs}} = \sqrt{1-\beta_{\mathrm{int}}^2}. \] Отсюда \[ \tag{25} \beta_{\mathrm{int}} = \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Численно \[ \tag{26} \beta_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337, \] поэтому \[ \tag{27} v_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337c. \]

Таким образом, в рамках данной гипотезы постоянная тонкой структуры характеризует малое отличие скорости внутреннего движения от скорости света. При этом величина \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) получает геометрическую интерпретацию как обратный внутренний лоренц-фактор.

Геометрический радиус \(r_e^{(J)}\) определяется скоростью \(c\), заложенной в векторе \(V(t)=cJ(t)\). Однако физический радиус предполагаемого движения заряда необходимо связать с найденной скоростью \(v_{\mathrm{int}}\): \[ \tag{28} r_{\mathrm{int}} = \frac{v_{\mathrm{int}}}{\omega_e} = \frac{v_{\mathrm{int}}} {2\pi\nu_e}. \]

Используя выражения \[ \nu_e = \frac{m_ec^2} {h\alpha_{\mathrm{fs}}} \] и \[ v_{\mathrm{int}} = c\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}, \] получаем \[ \tag{29} r_{\mathrm{int}} = \alpha_{\mathrm{fs}} \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \frac{\hbar}{m_ec}. \]

Классический радиус электрона можно представить как \[ \tag{30} r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec}. \] Поэтому \[ \tag{31} r_{\mathrm{int}} = r_e \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}. \]

Поскольку \[ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2} \approx 0.99997337, \] получаем \[ \tag{32} r_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337r_e. \]

Таким образом, следует различать геометрический радиус вращательной компоненты \[ r_e^{(J)} = \frac{c}{\omega_e} \] и физический радиус предполагаемого движения заряда \[ r_{\mathrm{int}} = \frac{v_{\mathrm{int}}}{\omega_e}. \] Они отличаются только множителем \[ \sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}, \] который чрезвычайно близок к единице.

Подстановка выражения (21) в формулу (15) даёт \[ \tag{33} m_ec^2 = \frac{h\nu_e} {\gamma_{\mathrm{int}}}. \] Отсюда \[ \tag{34} h\nu_e = \gamma_{\mathrm{int}}m_ec^2. \]

Правая часть формулы (34) имеет форму полной релятивистской энергии. Поэтому величину \[ h\nu_e \] можно интерпретировать как полную энергию внутреннего периодического процесса, а энергию покоя \[ m_ec^2 \] — как её часть, определяемую множителем \[ \frac{1}{\gamma_{\mathrm{int}}} = \alpha_{\mathrm{fs}}. \]

Получаем систему соотношений \[ \tag{35} h\nu_e = \gamma_{\mathrm{int}}m_ec^2, \qquad m_ec^2 = \alpha_{\mathrm{fs}}h\nu_e, \qquad \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}. \]

Эти равенства допускают геометрическое толкование. Если ввести угол \(\vartheta\), для которого \[ \tag{36} \sin\vartheta = \beta_{\mathrm{int}}, \] то \[ \tag{37} \cos\vartheta = \sqrt{1-\beta_{\mathrm{int}}^2} = \frac{1}{\gamma_{\mathrm{int}}} = \alpha_{\mathrm{fs}}. \]

Пусть \[ \tag{38} W_e = \gamma_{\mathrm{int}}m_ec^2 = h\nu_e \] обозначает полную энергию внутреннего периодического движения. Тогда энергия покоя электрона определяется проекцией этой энергии: \[ \tag{39} m_ec^2 = \frac{W_e} {\gamma_{\mathrm{int}}} = W_e\cos\vartheta = \alpha_{\mathrm{fs}}W_e. \] Таким образом, постоянная тонкой структуры получает геометрическую интерпретацию как коэффициент проекции полной внутренней энергии на направление, соответствующее энергии покоя.

В релятивистской квантовой механике известен эффект zitterbewegung («дрожательное движение»), возникающий при анализе уравнения Дирака. Несмотря на различие математического аппарата, предлагаемая модель обнаруживает с ним несколько принципиальных совпадений.

Во-первых, в обоих случаях рассматривается быстрое внутреннее периодическое движение, сопровождающее электрон и не связанное непосредственно с его поступательным перемещением в пространстве.

Во-вторых, характерная скорость этого внутреннего движения оказывается чрезвычайно близкой к скорости света. В предлагаемой модели она определяется внутренним лоренц-фактором и составляет \[ v_{\mathrm{int}} \approx 0.99997337c. \] Тем самым внутреннее движение естественным образом приобретает релятивистский характер.

В-третьих, обе модели допускают разделение внешнего движения электрона и внутренней динамики, которая может быть связана с происхождением собственного магнитного момента и других внутренних свойств частицы.

Основное отличие заключается в происхождении этого движения. В теории Дирака оно возникает как следствие структуры релятивистского волнового уравнения, тогда как в настоящей работе внутреннее вращение непосредственно следует из геометрии вектора \[ J(t) = \ep+\em e^{-i\omega t}, \] построенного в идемпотентном базисе.

Можно предположить, что вращательная компонента \[ \em e^{-i\omega t} \] описывает движение центра заряда, тогда как поступательная компонента \(\ep\) связана с движением центра энергии или инерции. Подобное разделение центра заряда и центра массы рассматривается и в некоторых интерпретациях моделей zitterbewegung, однако в настоящей работе оно вводится как самостоятельная гипотеза.

Таким образом, предлагаемая модель не противопоставляется теории Дирака, а представляет собой попытку дать геометрическую интерпретацию внутреннего движения электрона на основе нового базиса.

Если вращательная компонента вектора \[ J(t) = \ep+\em e^{-i\omega_e t} \] описывает периодическое движение электрического заряда, то такое движение эквивалентно замкнутому электрическому току и должно создавать собственное магнитное поле электрона. Поэтому второе поле, рассмотренное в предыдущей работе, можно непосредственно связать с магнитным моментом частицы.

Для заряда \(e\), совершающего круговое движение с угловой частотой \(\omega_e\) по траектории радиуса \(r\), классическое выражение для магнитного момента имеет вид \[ \tag{40} \mu_{\mathrm{circ}} = \frac{e\omega_e r^2}{2}. \]

В рамках настоящей модели дополнительно предполагается, что наблюдаемый основной магнитный момент электрона [2] связан с магнитным моментом внутреннего кругового тока посредством внутреннего лоренц-фактора: \[ \tag{41} \mu_e^{(0)} = \gamma_{\mathrm{int}} \mu_{\mathrm{circ}}. \] Поскольку \[ \gamma_{\mathrm{int}} = \frac{1}{\alpha_{\mathrm{fs}}}, \] получаем \[ \tag{42} \mu_e^{(0)} = \frac{e\omega_e r^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}}. \]

Выражение (42) является отдельным постулатом предлагаемой модели. Оно не следует только из классической формулы кругового тока и требует дальнейшего физического обоснования.

Для получения основного масштаба магнитного момента используем геометрический радиус вращательной компоненты \[ r=r_e^{(J)}, \] для которого согласно выражению (6) \[ \tag{43} \omega_e r_e^{(J)} = c. \] Тогда \[ \tag{44} \mu_e^{(0)} = \frac{ec r_e^{(J)}} {2\alpha_{\mathrm{fs}}}. \]

В рамках принятой гипотезы \[ r_e^{(J)} \approx r_e, \] а классический радиус электрона связан с приведённой комптоновской длиной выражением \[ \tag{45} r_e = \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec}. \] Подставляя его в выражение (44), получаем \[ \tag{46} \mu_e^{(0)} = \frac{ec} {2\alpha_{\mathrm{fs}}} \left( \alpha_{\mathrm{fs}} \frac{\hbar}{m_ec} \right) = \frac{e\hbar}{2m_e}. \]

Правая часть выражения (46) совпадает с магнетоном Бора: \[ \tag{47} \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}. \] Следовательно, в рамках предлагаемой модели внутреннее круговое движение заряда воспроизводит основной, дираковский масштаб магнитного момента электрона: \[ \tag{48} \mu_e^{(0)} = \frac{e\omega_e\left(r_e^{(J)}\right)^2} {2\alpha_{\mathrm{fs}}} = \frac{ec r_e^{(J)}} {2\alpha_{\mathrm{fs}}} \approx \mu_B. \]

Экспериментальный магнитный момент электрона содержит небольшую аномальную поправку, которая в настоящей модели не рассматривается. Поэтому выражение (48) следует понимать как получение основного магнитного масштаба, соответствующего магнетону Бора.

Постоянная тонкой структуры выполняет в модели двойную функцию. С одной стороны, она определяет отношение энергии покоя к полной энергии внутреннего движения, а с другой — связывает геометрический радиус электрона с основным масштабом его магнитного момента. При этом множитель \(\alpha_{\mathrm{fs}}\), содержащийся в радиусе \(r_e\), сокращается с множителем \(1/\alpha_{\mathrm{fs}}\), возникающим из внутреннего лоренц-фактора.

В этой интерпретации второе поле электрона является магнитным полем, создаваемым движением заряда в плоскости \[ \left( \em,i\em \right). \] Компонента \(\ep\) описывает поступательное движение центра электрона, тогда как вращательная компонента \(\em e^{-i\omega_e t}\) определяет его внутреннюю электромагнитную динамику и основной магнитный момент.

Предложенная модель показывает, что вектор \[ J(t) = \ep+\em e^{-i\omega t} \] естественным образом разделяет движение электрона на две составляющие. Компонента \(\ep\) описывает поступательное движение центра частицы, тогда как вращательная компонента в плоскости \((\em,i\em)\) задаёт внутреннее периодическое движение, характеризуемое собственной частотой, геометрическим радиусом и скоростью, близкой к скорости света.

В рамках предложенной гипотезы полная энергия внутреннего движения определяется выражением \[ W_e = h\nu_e = \gamma_{\mathrm{int}}m_ec^2, \] а энергия покоя электрона представляет собой её геометрическую проекцию: \[ m_ec^2 = \frac{W_e} {\gamma_{\mathrm{int}}} = \alpha_{\mathrm{fs}}W_e. \] Постоянная тонкой структуры при этом интерпретируется как величина, обратная внутреннему лоренц-фактору.

В статье различаются геометрический радиус вращательной компоненты \(r_e^{(J)}=c/\omega_e\) и физический радиус предполагаемого движения заряда \(r_{\mathrm{int}}=v_{\mathrm{int}}/\omega_e\). Их отношение определяется множителем \(\sqrt{1-\alpha_{\mathrm{fs}}^2}\), который чрезвычайно близок к единице. Поэтому оба масштаба практически совпадают с классическим радиусом электрона, но имеют различный смысл внутри модели.

Если вращательная составляющая соответствует внутреннему движению электрического заряда, то возникающий круговой ток создаёт собственное магнитное поле. При дополнительном предположении о релятивистском усилении магнитного момента внутренним лоренц-фактором модель воспроизводит основной масштаб магнитного момента электрона, равный магнетону Бора.

Таким образом, новый идемпотентный базис позволяет в рамках единой геометрической схемы связать внутреннее движение электрона, его собственную частоту, полную внутреннюю энергию, энергию покоя, постоянную тонкой структуры, классический радиус и магнитный момент. Предложенные соотношения имеют гипотетический характер, однако образуют взаимосогласованную систему, которая может служить основой для дальнейшего развития геометрической модели внутренней структуры электрона.