2026-07-06
Новый декартов базис двух независимых комплексных плоскостей
Комплексные числа традиционно рассматриваются как элементы двумерного пространства с декартовым базисом \(\{1,i\}\), где \(i^2=-1\).
Такое представление является естественным для большинства задач анализа и геометрии, однако не является единственно возможным.
В настоящей работе предлагается альтернативный подход, основанный на представлении пространства как прямой суммы двух независимых комплексных плоскостей.
Каждая из них обладает собственной действительной и мнимой осями, при этом обе используют общую мнимую единицу \(i\).
Для описания этих плоскостей вводятся два взаимно ортогональных базисных элемента \(\ep\) и \(\em\), разделяющие пространство на две независимые комплексные компоненты.
В результате возникает естественный декартов базис
\[
\tag{1}
\{\ep,i\ep,\em,i\em\}.
\]
Любой элемент нового пространства представляется в виде суммы двух независимых комплексных чисел
\[
Z=(a+ib)\ep+(c+id)\em,
\]
где: \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
При таком построении гиперболическая единица
\[
\tag{2}
\j = \ep - \em
\]
оказывается не исходным объектом, а производным элементом, естественно возникающим как разность двух базисных элементов.
Предлагаемый базис представляет интерес не только как самостоятельная алгебраическая конструкция,
но и как средство описания более общей модели Единичного пространства.
В рамках этой модели постулируется, что движение любой материальной точки всегда является одномерным и описывается только двумя координатами: координатой времени и координатой пространства.
Следовательно, наблюдаемая многомерность мира должна возникать не за счёт увеличения числа независимых направлений движения,
а посредством объединения нескольких одномерных пространств в единую алгебраическую структуру.
В настоящей работе показано, что такую структуру естественным образом образуют две независимые комплексные плоскости, каждая из которых соответствует собственному одномерному пространству.
Их объединение приводит к появлению четырёхмерного декартова базиса (1), который далее рассматривается как математическая основа построения единого четырёхмерного пространства.
Кроме того, предлагаемый декартов базис непосредственно связан с результатами, полученными в данной статье,
где было показано, что комплексная и гиперболическая алгебры могут рассматриваться в рамках единой математической конструкции.
Свойства нового базиса
Поскольку элементы \(\ep\) и \(\em\) описывают две независимые комплексные плоскости, они должны удовлетворять следующим естественным условиям.
\[
\ep^2=\ep,
\]
\[
\em^2=\em,
\]
\[
\ep\em=0,
\]
\[
\ep+\em=1.
\]
Первые два равенства означают, что повторное проектирование на одну и ту же комплексную плоскость не изменяет результат.
Третье выражает независимость обеих плоскостей, а последнее показывает, что их сумма образует единичный элемент пространства.
Следовательно, любой элемент нового пространства единственным образом раскладывается по базису (1).
Следует отметить, что элементы \(\ep\) и \(\em\) не являются новыми математическими объектами.
Они представляют собой хорошо известные идемпотенты [1-2], широко применяемые в различных разделах алгебры для разложения пространства на независимые компоненты.
В литературе они обычно обозначаются символами \(e_+\) и \(e_-\) и определяются как
\[
\ep\equiv e_+=\frac{1+\j}{2},
\qquad
\em\equiv e_-=\frac{1-\j}{2}.
\]
В настоящей работе, сохраняя их математический смысл без изменений, используются эквивалентные обозначения \(\ep\) и \(\em\), которые делают математические выражения более компактными и наглядными.
Новизна предлагаемого подхода заключается не во введении новых алгебраических элементов, а в их интерпретации как декартова базиса двух независимых комплексных плоскостей,
что позволяет построить единую четырёхмерную систему координат.
Используемые материалы
- Википедия. идемпотенты.
- Википедия. Idempotent (ring theory).