В базовой работе был предложен новый декартов базис на основе двух идемпотент, в котором движение материальной точки описывается единым комплексным вектором с внутренней и внешней составляющими. Такой подход позволяет естественным образом связать скорость частицы с геометрическим углом нового базиса и получить лоренц-фактор без использования традиционных преобразований Лоренца.

В настоящей работе показано, что тот же угол полностью определяет не только скорость, но и импульс, энергию покоя и полную энергию частицы. В результате энергия и импульс приобретают простую геометрическую интерпретацию как проекции единого энергетического вектора, а фундаментальное релятивистское соотношение между ними оказывается прямым следствием обычной евклидовой тригонометрии. Такой подход объединяет скорость, импульс и энергию в рамках единой геометрической конструкции, построенной на новом декартовом базисе.

Ранее был введён новый декартов базис \[ \tag{1} \left\{ \ep,\, i\ep,\, \em,\, i\em \right\}, \] построенный на основе двух взаимно аннулирующихся идемпотент \[ \tag{2} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=1. \] В таком базисе движение материальной точки можно представить как сочетание внешней и внутренней комплексных составляющих.

В настоящей работе показано, что угол \(\alpha\), определяющий внешнюю фазовую модуляцию вектора движения, одновременно задаёт скорость, импульс и полную энергию частицы. При этом релятивистское соотношение между энергией и импульсом оказывается непосредственным следствием обычного тригонометрического тождества.

Рассмотрим вектор \[ \tag{3} V(t)= c\,e^{i\alpha} \left( \ep+ \em e^{i\omega t} \right), \] где \(c\) — скорость света, \(\omega\) — частота внутреннего циклического движения, а \(\alpha\) — угол внешней фазовой модуляции.

После раскрытия скобок получаем \[ \tag{4} V(t)= \ep c\,e^{i\alpha} + \em c\,e^{i(\omega t+\alpha)}. \] Первая составляющая относится к внешнему движению, тогда как вторая описывает внутренний циклический процесс в плоскости \[ \tag{5} \left\{ \em,\, i\em \right\}. \]

Будем считать, что наблюдаемая скорость определяется мнимой проекцией внешней комплексной составляющей: \[ \tag{6} v=c\sin\alpha. \] Следовательно, \[ \tag{7} \beta= \frac{v}{c} = \sin\alpha. \]

Из определения лоренц-фактора \[ \tag{8} \gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \] и соотношения \(\beta=\sin\alpha\) получаем \[ \tag{9} \gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\cos\alpha}. \] Здесь рассматривается диапазон \[ \tag{10} 0\leqslant\alpha<\frac{\pi}{2}, \] поэтому \(\cos\alpha\) остаётся положительным.

Таким образом, обратный лоренц-фактор является действительной проекцией единичной комплексной экспоненты: \[ \tag{11} \frac{1}{\gamma}=\cos\alpha. \] При этом сама внешняя составляющая вектора может быть представлена в форме \[ \tag{12} c\,e^{i\alpha} = c\cos\alpha + i c\sin\alpha = \frac{c}{\gamma} + iv. \]

Пусть \(m_0\) обозначает инвариантную массу частицы. Полная релятивистская энергия определяется выражением \[ \tag{13} E=\gamma m_0c^2. \] С учётом формулы (9) получаем \[ \tag{14} E= \frac{m_0c^2}{\cos\alpha}. \] Следовательно, \[ \tag{15} \cos\alpha= \frac{m_0c^2}{E}. \]

Формула (15) показывает, что энергия покоя \(m_0c^2\) может рассматриваться как проекция полной энергии \(E\) на направление, соответствующее действительной составляющей комплексной экспоненты.

Релятивистский импульс частицы равен \[ \tag{16} p=\gamma m_0v. \] Подставляя \[ \tag{17} v=c\sin\alpha \] и \[ \tag{18} \gamma= \frac{1}{\cos\alpha}, \] получаем \[ \tag{19} p= m_0c \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = m_0c\tan\alpha. \]

После умножения на \(c\) \[ \tag{20} pc= m_0c^2\tan\alpha. \] Используя выражение \[ \tag{21} E= \frac{m_0c^2}{\cos\alpha}, \] можно переписать формулу (20) в виде \[ \tag{22} pc= E\sin\alpha. \]

Таким образом, один и тот же угол \(\alpha\) определяет две безразмерные энергетические проекции: \[ \tag{24} \cos\alpha= \frac{m_0c^2}{E}, \qquad \sin\alpha= \frac{pc}{E}. \]

Эти соотношения допускают простую геометрическую интерпретацию. Полная энергия \(E\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, энергия покоя \(m_0c^2\) — прилежащим катетом, а величина \(pc\) — противолежащим катетом.

Рис. 1. Полная энергия \(E\), энергия покоя \(m_0c^2\) и импульсная составляющая \(pc\).

Для изображённого треугольника выполняются соотношения \[ \tag{25} \frac{pc}{E}=\sin\alpha, \qquad \frac{m_0c^2}{E}=\cos\alpha, \qquad \frac{pc}{m_0c^2}=\tan\alpha. \] Последнее выражение даёт непосредственную связь угла с импульсом: \[ \tag{26} \tan\alpha= \frac{p}{m_0c}. \] Следовательно, \[ \tag{27} \alpha= \arctan \left( \frac{p}{m_0c} \right). \]

Таким образом, угол \(\alpha\) можно определять не только через скорость, но и непосредственно через импульс частицы.

Используем основное тригонометрическое тождество \[ \tag{28} \sin^2\alpha+ \cos^2\alpha = 1. \] Подставляя выражения (24), получаем \[ \tag{29} \left( \frac{pc}{E} \right)^2 + \left( \frac{m_0c^2}{E} \right)^2 = 1. \] После умножения на \(E^2\) \[ \tag{30} p^2c^2+ m_0^2c^4 = E^2. \] Таким образом, \[ \tag{31} E^2= p^2c^2+ m_0^2c^4. \]

Релятивистское соотношение между энергией, импульсом и массой покоя возникает здесь как непосредственное следствие евклидова тригонометрического тождества. В рамках данной конструкции для его получения не требуется отдельно вводить гиперболическую геометрию пространства-времени: необходимые гиперболические зависимости уже содержатся в связи \[ \tag{32} \gamma= \frac{1}{\cos\alpha}. \]

Если ввести эффективную релятивистскую массу \[ \tag{33} m=\gamma m_0, \] то полная энергия принимает привычную форму \[ \tag{34} E=mc^2. \] При этом импульс можно записать как \[ \tag{35} p=mv. \]

Поскольку \[ \tag{36} v=c\sin\alpha, \] получаем \[ \tag{37} pc= mc^2\sin\alpha. \] Так как \[ \tag{38} mc^2=E, \] то \[ \tag{39} pc= E\sin\alpha. \]

Одновременно энергия покоя выражается через полную энергию: \[ \tag{40} m_0c^2= E\cos\alpha. \] Следовательно, величина \(mc^2\) является полным энергетическим модулем, а \(pc\) и \(m_0c^2\) — его взаимно перпендикулярными проекциями: \[ \tag{41} mc^2=E, \qquad pc=E\sin\alpha, \qquad m_0c^2=E\cos\alpha. \]

Это позволяет представить единый энергетический комплексный вектор: \[ \tag{42} \mathcal{E}(\alpha) = m_0c^2+ i pc. \] С учётом формул (41) \[ \tag{43} \mathcal{E}(\alpha) = E\cos\alpha+ iE\sin\alpha = E e^{i\alpha}. \] Следовательно, \[ \tag{44} \left| \mathcal{E}(\alpha) \right| = E = mc^2. \]

Таким образом, комплексная экспонента \(e^{i\alpha}\) может использоваться не только для представления вектора скорости, но и для объединения энергии покоя и импульса в единую энергетическую величину: \[ \tag{45} E e^{i\alpha} = m_0c^2+ ipc. \]

Полная энергия состоит из энергии покоя и релятивистской кинетической энергии: \[ \tag{46} E= m_0c^2+ E_k. \] Следовательно, \[ \tag{47} E_k= E-m_0c^2. \] Используя выражение (14), получаем \[ \tag{48} E_k= m_0c^2 \left( \frac{1}{\cos\alpha}-1 \right). \]

При малых скоростях \[ \tag{49} \gamma \approx 1+ \frac{\beta^2}{2}. \] Поэтому \[ \tag{50} E_k = m_0c^2(\gamma-1) \approx \frac{m_0c^2\beta^2}{2}. \] Так как \(\beta=v/c\), получаем классическое выражение \[ \tag{51} E_k \approx \frac{m_0v^2}{2}. \]

Через угол \(\alpha\) эта формула записывается как \[ \tag{52} E_k \approx \frac{m_0c^2}{2} \sin^2\alpha. \] Таким образом, классическая кинетическая энергия определяется квадратом пространственной проекции внешней комплексной составляющей вектора движения.

Полученные выражения можно объединить в систему \[ \tag{53} \begin{aligned} v(\alpha) &= c\sin\alpha, \\[4pt] \gamma(\alpha) &= \frac{1}{\cos\alpha}, \\[4pt] p(\alpha) &= m_0c\tan\alpha, \\[4pt] E(\alpha) &= \frac{m_0c^2}{\cos\alpha}. \end{aligned} \]

Следовательно, единственный угол \(\alpha\) одновременно определяет скорость, лоренц-фактор, импульс и полную энергию материальной точки.

При \(\alpha=0\) \[ \tag{54} v=0, \qquad p=0, \qquad \gamma=1, \qquad E=m_0c^2. \] При приближении \(\alpha\) к \(\pi/2\) \[ \tag{55} v\to c, \qquad \gamma\to\infty, \qquad p\to\infty, \qquad E\to\infty. \] Тем самым предельность скорости света возникает непосредственно из геометрического ограничения угла.

В работе показано, что вектор движения, построенный на основе нового декартова базиса, естественным образом вводит единый геометрический параметр — угол \(\alpha\). Через него непосредственно выражаются скорость, лоренц-фактор, импульс, энергия покоя и полная энергия материальной точки. При этом энергия покоя и величина \(pc\) приобретают наглядную интерпретацию как две взаимно перпендикулярные проекции полной энергии, а комплексная форма энергетического вектора объединяет их в единую алгебраическую конструкцию.

Полученное представление позволяет вывести фундаментальное релятивистское соотношение между энергией, импульсом и массой покоя непосредственно из тригонометрических свойств угла \(\alpha\), без обращения к преобразованиям Лоренца или четырёхмерной геометрии пространства-времени. Тем самым новый базис не только даёт компактную запись основных соотношений специальной теории относительности, но и предлагает их единую геометрическую интерпретацию, в которой скорость, импульс и энергия являются различными проявлениями одного и того же углового параметра.

Вектор \[ \tag{56} V(t)= c\,e^{i\alpha} \left( \ep+ \em e^{i\omega t} \right) \] содержит внешний фазовый параметр \(\alpha\), который можно рассматривать как единый геометрический параметр движения.

Из связи \[ \tag{57} \sin\alpha= \frac{v}{c} \] следуют выражения для лоренц-фактора, импульса и полной энергии: \[ \tag{58} \gamma= \frac{1}{\cos\alpha}, \qquad p= m_0c\tan\alpha, \qquad E= \frac{m_0c^2}{\cos\alpha}. \]

При этом энергия покоя и импульсная составляющая представляют собой две взаимно перпендикулярные проекции полной энергии: \[ \tag{59} m_0c^2= E\cos\alpha, \qquad pc= E\sin\alpha. \] Их объединение приводит к комплексной энергетической форме \[ \tag{60} E e^{i\alpha} = m_0c^2+ ipc, \] модуль которой равен \[ \tag{61} E=mc^2. \]

Основное релятивистское соотношение \[ \tag{62} E^2= p^2c^2+ m_0^2c^4 \] оказывается следствием обычного тождества \[ \tag{63} \sin^2\alpha+ \cos^2\alpha = 1. \] Тем самым скорость, импульс, энергия покоя и полная энергия связываются в единую геометрическую конструкцию, определяемую углом \(\alpha\).