2026-07-04
Происхождение лоренц-фактора и энергетического инварианта из гиперболической единицы
В более ранней работе была получена формула дробной степени гиперболической единицы,
устанавливающая однозначную связь между комплексной единичной окружностью и гиперболической алгеброй.
В настоящей статье показано, что эта конструкция обладает значительно более глубокой структурой.
Используя идемпотентное представление, удаётся разделить состояние на две взаимно обратные компоненты, произведение которых остаётся неизменным,
что позволяет ввести внутренний инвариант рассматриваемой системы.
На основе этого инварианта естественным образом выводятся параметры \(\beta\) и \(\gamma\),
причём лоренц-фактор [1] возникает не как исходное предположение специальной теории относительности, а как коэффициент нормировки идемпотентного состояния.
В результате получены компактные представления дробной степени гиперболической единицы через параметры \(\beta\) и \(\gamma\),
а также её симметричная форма через идемпотенты, устанавливающая прямую связь между комплексной и гиперболической алгебрами и релятивистской кинематикой.
Нами было показано, что комплексная единичная окружность может быть однозначно отображена в алгебру
гиперболической единицы \(\j\), для которой \(\j^2=+1\).
На этой основе была получена формула дробной степени гиперболической единицы, а также выражение для её логарифма:
\[
\tag{1}
\ln\j=i\pi(2k+1),\qquad k\in\mathbb Z.
\]
В настоящей работе мы покажем, что эта же конструкция естественным образом приводит к лоренц-фактору.
При этом лоренц-фактор возникает не как внешнее предположение, а как коэффициент нормировки идемпотентного состояния, сохраняющего внутренний инвариант:
\[
\large{\j^\alpha=\gamma(1+\j\beta)}.
\]
Исходная формула дробной степени
Согласно результату предыдущей статьи, дробная степень гиперболической единицы имеет вид:
\[
\tag{2}
\j^\alpha=
\frac12
\left[
\left(1+e^{i\pi\alpha}\right)
+
\j\left(1-e^{i\pi\alpha}\right)
\right].
\]
Более общая форма с учётом ветвей логарифма записывается так:
\[
\tag{3}
\j^\alpha=
\frac12
\left[
\left(1+e^{i\theta}\right)
+
\j\left(1-e^{i\theta}\right)
\right],
\]
где
\[
\tag{4}
\theta=\pi\alpha(2k+1).
\]
Формула (3) содержит одновременно комплексную фазу \(e^{i\theta}\) и гиперболическую единицу \(\j\). Поэтому она естественно выводит нас за пределы обычного базиса \(\{1,\j\}\) и требует рассмотрения расширенной структуры, включающей также \(i\j\).
Идемпотентный базис
Этот базис был получен в этой работе.
Он получается из двух идемпотент:
\[
\tag{5}
\e=\frac{1+\j}{2},
\qquad
\eb=\frac{1-\j}{2}.
\]
Они обладают свойствами:
\[
\tag{6}
\e^2=\e,
\qquad
\eb^2=\eb,
\qquad
\e\eb=0.
\]
Кроме того,
\[
\tag{7}
1=\e+\eb,
\qquad
\j=\e-\eb.
\]
Подставим (7) в формулу (3):
\[
\tag{8}
\j^\alpha=
\frac12
\left[
\left(1+e^{i\theta}\right)(\e+\eb)
+
\left(1-e^{i\theta}\right)(\e-\eb)
\right].
\]
Соберём коэффициенты при \(\e\) и \(\eb\). Для \(\e\) получаем:
\[
\tag{9}
\frac12
\left[
(1+e^{i\theta})+(1-e^{i\theta})
\right]
=1.
\]
Для \(\eb\):
\[
\tag{10}
\frac12
\left[
(1+e^{i\theta})-(1-e^{i\theta})
\right]
=e^{i\theta}.
\]
Следовательно, дробная степень гиперболической единицы принимает простую идемпотентную форму:
\[
\tag{11}
\boxed{
\j^\alpha=\e+\eb e^{i\theta}.
}
\]
Эта запись показывает, что дробная степень \(\j^\alpha\) изменяет только одну из двух идемпотентных компонент. Однако ту же формулу можно переписать в более симметричном виде, выделив общий фазовый множитель:
\[
\tag{12}
\j^\alpha=
e^{i\theta/2}
\left(
\e e^{-i\theta/2}
+
\eb e^{i\theta/2}
\right).
\]
Здесь общий множитель \(e^{i\theta/2}\) отвечает за общую комплексную фазу, а выражение в скобках описывает внутренний дисбаланс двух идемпотентных компонент.
От фазового дисбаланса к действительному параметру
Для дальнейшего вывода лоренц-фактора нам важно не само круговое вращение, а отношение двух внутренних компонент. Поэтому введём действительный параметр \(Q\), описывающий перераспределение между идемпотентами:
\[
\tag{13}
\j^\alpha=\e Q+\eb Q^{-1}.
\]
Такая запись сохраняет главный структурный признак идемпотентного состояния: компоненты являются взаимно обратными. Поэтому их произведение равно единице:
\[
\tag{14}
Q\cdot Q^{-1}=1.
\]
Именно это соотношение можно рассматривать как внутренний инвариант состояния. При изменении \(Q\) одна компонента возрастает, другая уменьшается, но их произведение остаётся неизменным.
Сумма и разность компонент
Теперь рассмотрим симметричную и антисимметричную части состояния. Определим:
\[
\tag{15}
S=\frac{Q+Q^{-1}}{2},
\qquad
D=\frac{Q-Q^{-1}}{2}.
\]
Эти величины автоматически удовлетворяют гиперболическому тождеству:
\[
\tag{16}
S^2-D^2=1.
\]
Действительно:
\[
\tag{17}
\left(
\frac{Q+Q^{-1}}{2}
\right)^2
-
\left(
\frac{Q-Q^{-1}}{2}
\right)^2
=
QQ^{-1}=1.
\]
Таким образом, из одного только условия сохранения внутреннего инварианта \(QQ^{-1}=1\) возникает гиперболическая структура.
Появление параметра β
Теперь введём безразмерную величину, характеризующую относительный дисбаланс двух компонент. Естественно определить её как отношение антисимметричной части к симметричной:
\[
\tag{18}
\beta=\frac{D}{S}.
\]
То есть
\[
\tag{19}
\beta=
\frac{Q-Q^{-1}}{Q+Q^{-1}}.
\]
На этом этапе \(\beta\) ещё не является скоростью. Это просто мера внутренней асимметрии идемпотентного состояния. Если \(Q=1\), то компоненты равны, \(D=0\), и поэтому
\[
\tag{20}
\beta=0.
\]
Если же \(Q\neq1\), возникает ненулевой дисбаланс:
\[
\tag{21}
\beta\neq0.
\]
Поскольку \(D=\beta S\), тождество (16) можно переписать так:
\[
\tag{22}
S^2-\beta^2 S^2=1.
\]
Отсюда
\[
\tag{23}
S^2(1-\beta^2)=1.
\]
Следовательно,
\[
\tag{24}
S=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
Теперь обозначим симметричную нормировочную часть через \(\gamma\):
\[
\tag{25}
\gamma=S.
\]
Тогда из (24) немедленно получаем:
\[
\tag{26}
\gamma=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
Это и есть лоренц-фактор. В данной конструкции он возникает как коэффициент нормировки идемпотентного состояния при сохранении внутреннего инварианта \(QQ^{-1}=1\).
Физическая интерпретация параметра β
Полученная величина \(\beta\) изначально была введена как отношение разности компонент к их сумме. Однако её форма полностью совпадает с безразмерной скоростью в специальной теории относительности. Поэтому далее можно выполнить физическую идентификацию:
\[
\tag{27}
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Тогда формула (26) принимает стандартный релятивистский вид:
\[
\tag{28}
\gamma=
\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
\]
Важно подчеркнуть, что в данной логике \(\beta\) не вводится заранее как скорость. Сначала она появляется как внутренняя мера дисбаланса идемпотентных компонент, и только затем получает физическую интерпретацию как отношение скорости движения к скорости света.
Выражение Q через β
Из определения (19):
\[
\tag{29}
\beta=
\frac{Q-Q^{-1}}{Q+Q^{-1}}.
\]
Умножим числитель и знаменатель на \(Q\):
\[
\tag{30}
\beta=
\frac{Q^2-1}{Q^2+1}.
\]
Отсюда:
\[
\tag{31}
\beta(Q^2+1)=Q^2-1.
\]
Раскрывая скобки, получаем:
\[
\tag{32}
\beta Q^2+\beta=Q^2-1.
\]
Перенесём члены с \(Q^2\) в одну сторону:
\[
\tag{33}
Q^2(1-\beta)=1+\beta.
\]
Следовательно,
\[
\tag{34}
Q^2=\frac{1+\beta}{1-\beta}.
\]
И окончательно:
\[
\tag{35}
\boxed{
Q=
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
}
\]
Эту же величину можно записать через гиперболический параметр:
\[
\tag{36}
Q=e^\eta,
\qquad
\eta=\operatorname{artanh}\beta.
\]
Однако в данном выводе параметр \(\eta\) не является исходным. Он появляется лишь как удобная форма записи уже найденного отношения \(Q\).
Компактная форма дробной степени
Вернёмся к идемпотентному представлению:
\[
\tag{37}
\j^\alpha=\e Q+\eb Q^{-1}.
\]
Используя определения (15), перепишем его через сумму и разность:
\[
\tag{38}
\j^\alpha=
\frac{Q+Q^{-1}}{2}
+
\j
\frac{Q-Q^{-1}}{2}.
\]
Но по определениям:
\[
\tag{39}
\frac{Q+Q^{-1}}{2}=\gamma,
\qquad
\frac{Q-Q^{-1}}{2}=\gamma\beta.
\]
Следовательно:
\[
\tag{40}
\j^\alpha=\gamma+\j\gamma\beta.
\]
Или в ещё более компактной форме:
\[
\tag{41}
\large{\j^\alpha=\gamma(1+\j\beta)}.
\]
Это одна из центральных формул данной работы. Она показывает, что дробная степень гиперболической единицы может быть записана непосредственно через параметры \(\beta\) и \(\gamma\).
Форма через идемпотенты
Используя выражение (35), получаем окончательную идемпотентную форму:
\[
\tag{42}
\j^\alpha
=
\e
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
+
\eb
\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
\]
Или, через \(Q\):
\[
\tag{43}
\j^\alpha=\e Q+\eb Q^{-1},
\qquad
Q=
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.
\]
Формулы (41) и (43) являются двумя эквивалентными представлениями одного и того же состояния. Первая показывает связь с лоренц-фактором, вторая — внутреннюю идемпотентную структуру.
Связь с сохранением внутреннего инварианта
Рассмотрим произведение двух идемпотентных коэффициентов:
\[
\tag{44}
Q\cdot Q^{-1}=1.
\]
Это означает, что при изменении состояния сохраняется внутренняя нормировка. Если одна компонента возрастает в \(Q\) раз, другая уменьшается в \(Q\) раз. Поэтому изменение состояния не является произвольным: оно происходит при сохранении инварианта.
При этом наблюдаемая симметричная часть состояния равна:
\[
\tag{45}
\gamma=
\frac{Q+Q^{-1}}{2}.
\]
А антисимметричная часть равна:
\[
\tag{46}
\gamma\beta=
\frac{Q-Q^{-1}}{2}.
\]
Отсюда следует:
\[
\tag{47}
\gamma^2-(\gamma\beta)^2=1.
\]
Или:
\[
\tag{48}
\gamma^2(1-\beta^2)=1.
\]
Таким образом, лоренц-фактор возникает как коэффициент, необходимый для сохранения внутреннего инварианта при наличии дисбаланса между идемпотентными компонентами.
Сохранение нормы энергетического состояния
Полученная компактная форма дробной степени гиперболической единицы позволяет перейти от безразмерного состояния к энергетическому состоянию материальной точки. Для этого умножим \(\j^\alpha\) на энергию покоя \(mc^2\):
\[
\tag{49}
\mathcal E
=
mc^2\j^\alpha.
\]
Используя найденную ранее компактную форму
\[
\tag{50}
\j^\alpha=\gamma(1+\j\beta),
\]
получаем:
\[
\tag{51}
\mathcal E
=
mc^2\gamma(1+\j\beta).
\]
Так как \(\beta=v/c\), второе слагаемое можно переписать через скорость \(v\):
\[
\tag{52}
\mathcal E
=
\gamma mc^2
+
\j\gamma mvc.
\]
Введём стандартные релятивистские обозначения для энергии и импульса:
\[
\tag{53}
E=\gamma mc^2,
\qquad
p=\gamma mv.
\]
Тогда энергетическое состояние принимает особенно простую форму:
\[
\tag{54}
\boxed{
\mathcal E
=
E+\j pc.
}
\]
В этой записи энергия \(E\) и величина \(pc\) имеют одинаковую размерность, поэтому они выступают как две компоненты одного гиперболического объекта. Вещественная часть соответствует энергетической составляющей, а гиперболическая часть — импульсной составляющей, умноженной на скорость света.
Теперь рассмотрим сопряжённое энергетическое состояние:
\[
\tag{55}
\overline{\mathcal E}
=
mc^2\j^{-\alpha}.
\]
Поскольку сопряжение меняет знак гиперболической части, имеем:
\[
\tag{56}
\j^{-\alpha}=\gamma(1-\j\beta),
\]
а значит
\[
\tag{57}
\overline{\mathcal E}
=
E-\j pc.
\]
Произведение состояния на сопряжённое даёт квадрат его нормы:
\[
\tag{58}
\mathcal E\overline{\mathcal E}
=
(E+\j pc)(E-\j pc).
\]
Так как \(\j^2=1\), получаем:
\[
\tag{59}
(E+\j pc)(E-\j pc)
=
E^2-p^2c^2.
\]
С другой стороны, из определения энергетического состояния следует:
\[
\tag{60}
\mathcal E\overline{\mathcal E}
=
m^2c^4\j^\alpha\j^{-\alpha}.
\]
Но дробные степени \(\j^\alpha\) и \(\j^{-\alpha}\) являются взаимно обратными:
\[
\tag{61}
\j^\alpha\j^{-\alpha}=1.
\]
Следовательно, норма энергетического состояния сохраняется:
\[
\tag{62}
\mathcal E\overline{\mathcal E}
=
m^2c^4.
\]
Сравнивая два выражения для одной и той же нормы, получаем релятивистский энергетический инвариант:
\[
\tag{63}
E^2-p^2c^2=m^2c^4.
\]
Таким образом, в данной модели закон сохранения энергии-импульса выражается как сохранение нормы энергетического состояния \(mc^2\j^\alpha\). При изменении параметра \(\alpha\) энергия \(E\) и импульс \(p\) перераспределяются между компонентами единого гиперболического объекта, но его норма остаётся неизменной.
Именно поэтому лоренц-фактор можно интерпретировать как коэффициент, обеспечивающий сохранение энергетического инварианта при наличии ненулевого дисбаланса \(\beta\). В этой формулировке \(\gamma\) возникает не только из нормировки идемпотентного состояния, но и из требования сохранения нормы соответствующего энергетического состояния.
Интерпретация результата
Полученный вывод показывает, что дробная степень гиперболической единицы связывает три уровня описания: внутреннее идемпотентное состояние, лоренцеву нормировку и энергетический инвариант. Сначала из взаимно обратных компонент \(Q\) и \(Q^{-1}\) возникает коэффициент \(\gamma\), затем после умножения на \(mc^2\) тот же коэффициент становится нормировкой энергии.
В обычной записи специальной теории относительности величина \(\gamma\) возникает из требования инвариантности пространственно-временного интервала. В рассматриваемой конструкции она возникает из сохранения внутреннего идемпотентного инварианта
\[
\tag{64}
QQ^{-1}=1,
\]
а затем приводит к сохранению энергетической нормы
\[
\tag{65}
\mathcal E\overline{\mathcal E}=m^2c^4.
\]
После физической идентификации \(\beta=v/c\) параметр дисбаланса становится относительной скоростью, а нормировочный множитель \(\gamma\) совпадает с лоренц-фактором. Поэтому в рамках данной модели лоренц-фактор можно рассматривать как следствие сохранения нормы энергетического состояния.
Итоговая цепочка вывода
Полученный результат можно представить в виде последовательной цепочки преобразований. Каждый следующий шаг непосредственно вытекает из предыдущего и показывает, каким образом из дробной степени гиперболической единицы возникают лоренц-фактор, идемпотентная нормировка и энергетический инвариант.
\[
\tag{66}
\ln\j=i\pi(2k+1)
\]
Отправной точкой служит логарифм гиперболической единицы. Он задаёт дробную степень \(\j^\alpha\) и связывает комплексную фазу с гиперболической алгеброй.
\[
\tag{67}
\j^\alpha=
\frac12
\left[
(1+e^{i\theta})
+
\j(1-e^{i\theta})
\right]
\]
Переход к идемпотентному базису позволяет представить состояние через две взаимно обратные компоненты:
\[
\tag{68}
\j^\alpha=\e Q+\eb Q^{-1}
\]
Их произведение остаётся неизменным, что задаёт внутренний инвариант состояния:
\[
\tag{69}
QQ^{-1}=1
\]
Отношение антисимметричной части к симметричной определяет безразмерный параметр дисбаланса:
\[
\tag{70}
\beta=
\frac{Q-Q^{-1}}{Q+Q^{-1}}
\]
Полусумма взаимно обратных компонент задаёт коэффициент нормировки:
\[
\tag{71}
\gamma=
\frac{Q+Q^{-1}}{2}
\]
Из этих двух определений непосредственно следует лоренц-фактор:
\[
\tag{72}
\gamma=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
Поэтому дробная степень гиперболической единицы принимает компактный вид:
\[
\tag{73}
\j^\alpha=\gamma(1+\j\beta)
\]
Эквивалентная идемпотентная форма показывает, как тот же результат выражается через параметр дисбаланса:
\[
\tag{74}
\j^\alpha
=
\e
\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
+
\eb
\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}
\]
После умножения на энергию покоя \(mc^2\) это же состояние приобретает энергетическую интерпретацию:
\[
\tag{75}
mc^2\j^\alpha=E+\j pc
\]
Сохранение нормы этого гиперболического объекта даёт релятивистский энергетический инвариант:
\[
\tag{76}
E^2-p^2c^2=m^2c^4.
\]
Таким образом, вся последовательность вывода начинается с логарифма гиперболической единицы, проходит через идемпотентное разложение и заканчивается сохранением нормы энергетического состояния. Лоренц-фактор появляется как необходимый коэффициент нормировки, обеспечивающий сохранение этого инварианта.
Выводы
Дробная степень гиперболической единицы, полученная из отображения комплексной единичной окружности, обладает естественным идемпотентным представлением. Это представление разделяет состояние на две взаимно обратные компоненты \(\e Q\) и \(\eb Q^{-1}\), произведение коэффициентов которых сохраняется.
Из сохранения внутреннего инварианта \(QQ^{-1}=1\) возникает гиперболическое тождество. Относительный дисбаланс компонент задаёт параметр \(\beta\), а нормировка симметричной части приводит к коэффициенту
\[
\tag{77}
\gamma=
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
\]
После отождествления \(\beta=v/c\) этот коэффициент совпадает с лоренц-фактором специальной теории относительности. При этом \(\gamma\) появляется не как внешний постулат, а как следствие нормировки идемпотентного состояния.
Дополнительное умножение на энергию покоя \(mc^2\) переводит это состояние в энергетическую форму
\[
\tag{78}
mc^2\j^\alpha=E+\j pc.
\]
Поскольку \(\j^\alpha\j^{-\alpha}=1\), норма энергетического состояния сохраняется:
\[
\tag{79}
(E+\j pc)(E-\j pc)=m^2c^4.
\]
Отсюда непосредственно следует релятивистский энергетический инвариант
\[
\tag{80}
E^2-p^2c^2=m^2c^4.
\]
Следовательно, в рамках предложенной модели лоренц-фактор может быть интерпретирован как коэффициент, обеспечивающий сохранение нормы энергетического состояния. Иными словами, закон сохранения энергии-импульса проявляется здесь как сохранение модуля гиперболического объекта \(mc^2\j^\alpha\), тогда как энергия и импульс являются его двумя взаимосвязанными проекциями.
Используемые материалы
- Википедия. Лоренц-фактор.