Ранее мы рассмотрели получение некоторых параметров электрона для нашей математической модели. В третьей части этой работы нам необходимо получить общие представления о резонансе и порождённой им энергиии, и снова получить заряд из меняющегося во времени конвекционного тока электрона, чем мы замкнём нашу задачу.

Давайте проверим модель идеального колебательного контура, который представляет из себя электрон. Этот подход предлагается в этой заметке и пока не дал сбоев. Найдём волновое сопротивление электрона [1]: \[ Z_e = \sqrt{L_e \over C_e} \tag{3.1}\] Оно оказывается равным \(30\) Ом. Но оно же равно реактивному сопротивлению ёмкости и индуктивности [2]: \[ Z_{C} = {1 \over \omega C_e}, \quad Z_{L} = \omega L_e, \quad Z_e = Z_{C} = Z_{L} \tag{3.2}\] Кроме того, мы знаем, что ток отстаёт от напряжения на \(\pi/2\) из формул (2.4, 2.8). Всё вместе это означает, что в электроне присутствует резонанс, подобный такому, какой возникает в колебательном контуре. А поскольку у нас контур идеальный, то потерь в нём нет, а это значит, что энергия в таком контуре может колебаться практически вечно. Но главное, что электрон в этом случае ничего наружу не излучает, что и требовалось доказать.

Давайте проверим, как запасается энергия в таком идеальном колебательном контуре. Мы должны получить две энергии: от потенциала в ёмкости и от тока в индуктивности, сумма которых должна, в теории, равняться эйнштейновской массе-энергии электрона: \[ W_e = m_e c^2 \tag{3.3}\] Можно взять данные из ранее выведенных формул и проверить, что сумма энергий в ёмкости и индуктивности электрона равна этой энергии: \[ {C_e \varphi_0^2 \over 2} + {L_e I_0^2 \over 2} = m_e c^2 \tag{3.4}\] Если взять по модулю действительные значения тока и напряжения, то результат будет тот же. Такую энергию ещё можно назвать полной энергией в колебательном контуре. Таким образом, масса электрона может быть представлена в виде его ёмкости и индуктивности, а также потенциала и тока, находящегося в нём! Из этих же предположений, к слову, следуют безкоэффициентные законы Кулона и Ампера.

Также, исходя из такого подхода можно сделать предположение, что с помощью параметров ёмкости, индуктивности, потенциала и тока, можно описать любые элементарные частицы. Для каждой частицы значения этих параметров, разумеется, будут своими.

В этом подразделе мы хотим замкнуть поднятую в этом разделе проблему, и снова, после двух дифференцирований, пролучить заряд. Схематически это отражено на следующем рисунке, а как это выглядит строго с точки зрения математики, мы посмотрим дальше.

И действительно, после первой производной заряда по времени, мы получаем ток (2.4) и соответствующее ему магнитное поле. После второй производной — возникает второе магнитное поле, которое снова таки генерирует для нас заряд (рис.2). Для математического описания такого круговорота заряда и его производных, мы разработали следующую формулу: \[ q_e = - {\mu\mu_0 \varepsilon\varepsilon_0 \over 4\pi} \iint \limits_S {\partial^2 q_e \over \partial t^2} d S \tag{3.5}\] или она же, но в другой форме: \[ q_e = - {\mu \varepsilon \over 4\pi c^2} \iint \limits_S {\partial I_e \over \partial t} d S \tag{3.6}\] где \(S\) — площадь охватываемой поверхности, \(\mu, \mu_0\) — относительная и абсолютная магнитная проницаемость, а \(\varepsilon, \varepsilon_0\) — относительная и абсолютная диэлектрическая проницаемость. Если учесть, что электростатическое поле имеет свойство индуцировать электрические заряды на окружающих предметах, то такая формула может объяснить их появление, если рядом с ними протекают переменные или быстроменяющиеся токи. И чем быстрее изменяется ток во времени, тем больший заряд он индуцирует на окружающих предметах. Причём автор не делает упор только на зарядах с отрицательным знаком :)

Давайте проверим формулу (3.6). Из выражений для тока (2.4-2.6) следует: \[ {\partial I_e \over \partial t} = - \omega^2 q_0 \exp(i \omega t) = - {c^2 \over r_e^2} q_0 \exp(i \omega t) \tag{3.7}\] Площадь же охватываемой поверхности для сферы находится классическим способом: \[ S = 4\pi r_e^2 \tag{3.8}\] Поскольку в данном случае внутренних зависимостей в подынтегральных функциях нет, а относительные проницаемости равны единице: \(\mu = \varepsilon = 1\), то мы можем подставить полученные ранее выражения в правую часть формулы (3.6): \[ \left( -{1 \over 4\pi c^2} \right) \left( -{c^2 \over r_e^2} q_0 \exp(i \omega t) \right) 4\pi r_e^2 = q_e \tag{3.9}\] То есть, мы снова получили заряд в его первоначальном определении (2.3).

Формулы (3.5-3.6) поясняют ещё один принципиальный момент, — почему перед выражением в законе Фарадея [3] стоит знак минус. Ни в одном учебнике вы не найдёте математическое обоснование для знака минуса в этом законе. В нашей работе он получается автоматически, за счёт двойного дифференцирования \(\exp(i \omega t)\) по времени, что показано например в (2.12). По этой же причине минус стоит и в формулах (3.5-3.6), который там нужен для соблюдения полярности получаемого заряда.