2026-10-18
Почему повторное измерение меняет результат?
Опыт Штерна — Герлаха и расщепления
Пучок атомов проходит через прибор, который разделяет его на два потока. Один поток перекрывают, а оставшийся направляют в такой же прибор. При одинаковой настройке второй прибор уже не разделяет пучок: все атомы выходят через один выход. Но если между приборами поставить третий, повёрнутый относительно остальных, и пропустить только один из его потоков, последний прибор снова разделит атомы на две равные части. Почему промежуточная проверка меняет результат следующей? Разберём этот опыт шаг за шагом, а затем покажем, как описать его через расщепления состояния частицы.
1. Что показывает анализатор Штерна — Герлаха
В неоднородном магнитном поле пучок частиц может разделяться в зависимости от проекции магнитного момента на выбранное направление. Для идеализированной системы со спином 1/2 анализатор имеет два выхода. Обозначим их «+» и «−». В этой статье слова «вверх» и «вниз» означают знаки проекции спина на ось анализатора, а не вращение маленького шарика вокруг своей оси.
Исторический опыт Штерна — Герлаха проводили с атомами серебра. Ниже рассматривается учебная схема последовательных идеальных спиновых анализаторов, подобная показанной в ролике. Математическая схема относится к двухуровневому спиновому состоянию. При её реализации со свободными электронами необходимо дополнительно учитывать силу Лоренца и устройство установки.
Ось z задаёт первое направление измерения. Ось x перпендикулярна ей. Поэтому анализаторы z и x задают разные вопросы к одному состоянию: какова проекция спина на z и какова проекция на x?
Для спина 1/2 возможные результаты проекции равны \(+\hbar/2\) и \(-\hbar/2\). Далее предполагаются идеальные анализаторы: между ними нет дополнительного вращения спина, а прохождение выбранного выхода само по себе не меняет его состояние. Геометрическое положение ветви на рисунке условно: знаки выходов обозначают проекцию спина, а отклонение в конкретном приборе определяется магнитным моментом и градиентом поля.
2. Три последовательных проверки
Сначала пропускаем частицы через анализатор z и перекрываем выход −z. За первым фильтром остаётся поток +z. Именно его интенсивность дальше примем за 100%. Если сразу поставить ещё один анализатор z, весь этот поток выйдет через +z. При идеальных условиях выход −z останется пустым.
Теперь между двумя проверками по z поставим анализатор x. Он разделит подготовленный поток +z на две равные части: +x и −x. Перекроем −x и оставим +x. До последнего анализатора дойдёт половина подготовленного потока. И этот последний анализатор z снова разделит её поровну: на +z и −z. Каждый конечный выход составит 25% от потока после первого фильтра, или 50% от потока, дошедшего до последней проверки.
Рис. 1 Промежуточный отбор по оси x меняет результат следующего измерения по z. SG — анализатор Штерна — Герлаха. Крестики обозначают перекрытые выходы.
На первый взгляд кажется, что второй прибор стёр прежнее свойство частицы. Точнее сказать так: после отбора +x мы подготовили другое спиновое состояние. Запись первого результата +z никуда не исчезла. Но она больше не гарантирует результат последующей проверки по z.
3. Одно состояние и два канала
В языке расщеплений одному состоянию соответствуют две составляющие относительно выбранного измерения [1]. Для оси z введём нормированные ортогональные состояния каналов:
\[\tag{1} \langle+z|+z\rangle=\langle-z|-z\rangle=1,\qquad\langle+z|-z\rangle=0. \]
Обозначение \(|+z\rangle\) означает состояние с положительной проекцией спина на z; \(|-z\rangle\) — с отрицательной. Выражение \(\langle+z|-z\rangle=0\) показывает, что эти два состояния ортогональны. Чистое состояние — это состояние, которое можно описать одним вектором \(\Psi\), в отличие от статистической смеси нескольких подготовленных состояний. В выбранном базисе его общий вид:
\[\tag{2} \Psi=c_+|+z\rangle+c_-|-z\rangle,\qquad |c_+|^2+|c_-|^2=1. \]
Числа c₊ и c₋ — амплитуды. По принятому правилу Борна вероятности выходов равны квадратам их модулей. Эти амплитуды описывают возможные результаты измерения одного состояния. Из такой записи не следует существование двух отдельных частиц.
Введём идемпотенты, которые выделяют соответствующие составляющие:
\[\tag{3} \ep_z=|+z\rangle\langle+z|,\qquad\em_z=|-z\rangle\langle-z|. \]
\[\tag{4} \ep_z^2=\ep_z,\qquad\em_z^2=\em_z,\qquad\ep_z\em_z=0,\qquad\ep_z+\em_z=I. \]
Здесь и далее идемпотенты представлены операторами на пространстве состояний. I обозначает тождественный оператор. Выделить уже выделенную ветвь ещё раз — значит оставить её без изменения. Выделить противоположную ветвь из этого же состояния — значит получить ноль. Поэтому повторное измерение вдоль одной оси сохраняет выбранный результат.
4. Что добавляет оператор J
Как и в исходной гипотезе, фазовую динамику двух фиксированных каналов можно записать через оператор:
\[\tag{5} J(a,b)=\j^a(-\j)^b=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}. \]
Параметр a сохраняет смысл внутреннего состояния, а b — внешнего движения. В представлении, где эти идемпотенты выделяют два ортогональных канала, J умножает их амплитуды на фазовые множители. В этом фиксированном базисе квадраты модулей амплитуд при этом сохраняются. Вероятности при измерении в другом базисе могут зависеть от относительной фазы.
Поэтому один диагональный J не объясняет появление новых весов в прежних выходах. Для опыта нужно дополнительно описать связь между направлениями измерения. Спиновые проекторы с индексами z и x обозначают именно такие направленные разложения. Их физическое соответствие внутренним каналам модели задаётся отдельным спиновым отображением; индексы нельзя приписывать внутренним каналам без этого шага.
5. Углубление расщепления и изменение его направления
Вложенное расщепление раскрывает дочерние возможности внутри уже выбранной ветви. Их вероятностные веса в сумме дают вес родительской ветви. Это полезно для описания последовательности событий, но само по себе не задаёт поворот спинового анализатора.
Поворот анализатора означает другой способ разложить то же пространство состояний. Ветвь, целиком принадлежащая одному выходу z, относительно выходов x может иметь две ненулевые составляющие. Для описания этого нужна связь между базисами, а не только добавление уровней к фиксированному дереву каналов.
При этом простая смена математической записи ничего физически не меняет. Можно выразить прежнее состояние через новый базис и затем вернуться обратно. Изменение подготовленного состояния возникает при физическом взаимодействии и отборе определённого результата.
6. Почему в формулах появляется половинный угол
В статье о спине электрона рассматривается волна, которая возвращается в исходное состояние после последовательного прохождения двух листов внутреннего контура. Полный путь соответствует углу обхода \(4\pi\), а фаза фундаментальной моды за этот путь изменяется на \(2\pi\). Поэтому при отсчёте от общего начала фаза волны \(\chi\) равна половине внутреннего угла обхода \(\theta_{\mathrm{int}}\):
\[\tag{6} \chi=\frac{\theta_{\mathrm{int}}}{2}. \]
Это соотношение получено в приближении, где длиной переходов между листами пренебрегают. Оно относится к внутреннему обходу волны. Для описания поворота анализатора в указанной статье отдельно принимается спиновое представление физических вращений, в котором также появляется половинный угол. Далее воспользуемся этим представлением, различая внутренний угол обхода и угол между осями приборов.
Для поворота оси в плоскости xz на угол θ новые состояния можно выбрать следующим образом:
\[\tag{7} \begin{aligned}|+\theta\rangle&=\cos\frac\theta2\,|+z\rangle+\sin\frac\theta2\,|-z\rangle,\\|-\theta\rangle&=-\sin\frac\theta2\,|+z\rangle+\cos\frac\theta2\,|-z\rangle.\end{aligned} \]
В двумерном пространстве состояний эти формулы задаются матрицей поворота. В ней столбцы содержат компоненты новых базисных состояний относительно старых:
\[\tag{8} U(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\theta/2)&-\sin(\theta/2)\\\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{pmatrix},\qquad U^\dagger U=I. \]
Знак \(\dagger\) обозначает эрмитово сопряжение: транспонирование с комплексным сопряжением. Здесь матрица вещественная, поэтому достаточно транспонирования. Действие \(U\) на состояние описывает активное спиновое вращение. Когда мы лишь выражаем прежнее состояние в новом базисе, его коэффициенты преобразуются обратной матрицей \(U^\dagger\), а само состояние не меняется.
Это два ортогональных направления в пространстве спиновых состояний. Половинный угол относится к их амплитудам. После применения правила Борна для подготовленного состояния +z получаем:
\[\tag{9} \boxed{P(+\theta\mid+z)=\cos^2\frac\theta2,\qquad P(-\theta\mid+z)=\sin^2\frac\theta2.} \]
При совпадении осей первый результат имеет вероятность 1. При перпендикулярных осях обе вероятности равны 1/2. При противоположном направлении оси тот же спин получает противоположную метку выхода.
7. Расщепление, разделение пучка и отбор
Для каждой ориентации анализатора определим свою пару проекторов:
\[\tag{10} \ep_\theta=|+\theta\rangle\langle+\theta|,\qquad\em_\theta=|-\theta\rangle\langle-\theta|. \]
Их связь с первым направлением расщепления теперь имеет явный вид:
\[\tag{11} \ep_\theta=U(\theta)\ep_zU^\dagger(\theta),\qquad\em_\theta=U(\theta)\em_zU^\dagger(\theta). \]
Таким образом, новая пара идемпотентов получается поворотом прежнего разложения. Ортогональность каналов и сумма проекторов, равная I, сохраняются. Это действие на пространстве состояний, которое дополняет внутреннюю коммутативную алгебру модели.
Сам идеальный разделитель связывает две спиновые составляющие с разными пространственными путями. Обозначим амплитуды в базисе данного анализатора через \(d_+=\langle+\theta|\Psi\rangle\) и \(d_-=\langle-\theta|\Psi\rangle\). Они в общем случае отличаются от коэффициентов \(c_+,c_-\) в базисе z. Если \(\Phi_0\) — входной пространственный волновой пакет, а \(\Phi_+,\Phi_-\) — выходные, то схематически:
\[\tag{12} (d_+|+\theta\rangle+d_-|-\theta\rangle)\Phi_0\longrightarrow d_+|+\theta\rangle\Phi_++d_-|-\theta\rangle\Phi_-. \]
После разделения ещё можно обсуждать обе ветви совместно. Когда один выход перекрыт, рассматриваем только частицы, прошедшие другой выход. Для такого отбора действует условное обновление состояния:
\[\tag{13} P(+\theta)=\|\ep_\theta\Psi\|^2,\qquad\Psi_{+\theta}=\frac{\ep_\theta\Psi}{\sqrt{P(+\theta)}},\qquad P(+\theta)>0. \]
Знаменатель возвращает нормировку к единице среди прошедших частиц. Он не восстанавливает потерянную интенсивность: часть исходного потока по-прежнему исключена. Формула задаёт условное состояние после успешного отбора и не является объяснением механизма единичной регистрации.
8. Возвращаемся к трём анализаторам
После первого фильтра состояние равно |+z⟩. Для перпендикулярного анализатора θ = π/2. Поэтому:
\[\tag{14} |+x\rangle=\frac{|+z\rangle+|-z\rangle}{\sqrt2},\qquad|-x\rangle=\frac{-|+z\rangle+|-z\rangle}{\sqrt2}. \]
Исходное состояние содержит две равные по модулю амплитуды в новом разложении:
\[\tag{15} |+z\rangle=\frac{|+x\rangle-|-x\rangle}{\sqrt2}. \]
Фильтр +x пропускает половину потока и подготавливает состояние |+x⟩. Для третьего анализатора это состояние содержит обе z-компоненты:
\[\tag{16} \ep_z|+x\rangle=\frac{|+z\rangle}{\sqrt2},\qquad\em_z|+x\rangle=\frac{|-z\rangle}{\sqrt2}. \]
Следовательно, среди дошедших до третьего анализатора частиц оба результата равновероятны. Если N частиц прошли первый отбор +z, то в среднем N/2 пройдут фильтр +x, а каждый конечный выход получит N/4 частиц. Так расщепления дают числа, показанные на рисунке.
На операторном языке появление ранее исключённого выхода выражается неравенством:
\[\tag{17} \em_z\ep_x\ep_z=\frac12|-z\rangle\langle+z|\ne0. \]
Для полностью коммутирующих проекторов это произведение было бы нулём: можно было бы переставить множители и получить произведение противоположных z-проекторов. Поэтому направленные спиновые расщепления требуют операторов, которые в общем случае не коммутируют. Они действуют на пространстве состояний; эта структура дополняет коммутативную алгебру внутренних фазовых каналов.
Если средний анализатор повернуть на произвольный угол θ и по-прежнему пропускать только его положительную ветвь, можно предсказать долю конечного выхода −z относительно потока после первого фильтра:
\[\tag{18} \frac{I_{-z}^{\mathrm{final}}}{I_{+z}^{\mathrm{prepared}}}=\cos^2\frac\theta2\,\sin^2\frac\theta2=\frac14\sin^2\theta. \]
Первый множитель задаёт долю частиц, прошедших промежуточный фильтр, второй — долю результата −z среди прошедших. Для перпендикулярных осей получается 1/4. При совпадающих осях отрицательный выход отсутствует. Это позволяет проверять объяснение по всей угловой зависимости, а не только по одному значению 50%.
9. А если второй результат не отбирать?
Рассмотрим другой вариант: ни одну x-ветвь не исключают, но информацию о выходе сохраняют в приборе или в другом носителе, а затем не используют при подсчёте результатов. Для следующей проверки частицы должны оставаться доступными: например, регистрация промежуточного результата должна быть неразрушающей. Эквивалентную статистику можно получить, отдельно проверяя обе пространственные ветви по z и складывая результаты. В идеальном случае спиновая часть состояния описывается смесью:
\[\tag{19} \rho=\frac12|+x\rangle\langle+x|+\frac12|-x\rangle\langle-x|=\frac I2. \]
Матрица ρ описывает статистику спиновых измерений, когда мы не различаем промежуточные результаты. Два слагаемых учитывают равные веса состояний +x и −x. Для любого следующего спинового анализатора такая смесь даёт вероятности 1/2 и 1/2. Если потери отсутствуют и учитываются обе ветви, каждый конечный z-результат составляет 50% от подготовленного потока +z. Это отличается от схемы на рисунке, где половина потока исключена фильтром.
Такая же матрица описывает только спиновую часть состояния, если два ортогональных пространственных пути остаются разделёнными и мы их не учитываем. При этом полное состояние спина и путей ещё может сохранять когерентность. Если разделение точно обратить, восстановив пространственные пакеты и относительные фазы и устранив все различающие пути метки, исходное состояние +z может быть восстановлено. Если же запись о пути сохраняется в приборе или окружении, одного соединения пучков недостаточно.
Таким образом, нужно знать, что именно сделано с ветвями: одна отобрана, результаты обеих зарегистрированы и проигнорированы или разделение когерентно обращено. Выражение «поставили второй анализатор» без этих уточнений не определяет весь опыт.
10. Что опыт говорит о расщеплениях
Первый отбор подготавливает состояние с определённой проекцией по z. Промежуточный отбор по x подготавливает другое состояние. Оно снова имеет две составляющие по z. Поэтому в последнем приборе появляется выход, который отсутствовал при непосредственном повторении первого измерения. Ранее записанный результат остаётся верным для прежнего этапа опыта.
Состояние, целиком принадлежащее одной ветви выбранного расщепления, может иметь две ненулевые составляющие относительно другого направления. Последовательный отбор ветвей меняет подготовленное состояние и тем самым вероятности следующих результатов.
В этой конструкции идемпотенты задают выделение каналов, спиновое представление связывает направления анализаторов, а правило Борна переводит амплитуды в вероятности. Получено согласованное описание опыта на языке расщеплений. Самостоятельный геометрический вывод должен дополнительно обосновать отображение внутренней двухлистной структуры на физические спиновые вращения, взаимодействие с прибором и правило регистрации. Внутренние листы при этом не отождествляются с двумя пространственными выходами анализатора.
Идея более общего состояния, каналом которого могла бы быть наблюдаемая реальность, относится к отдельному продолжению исходной гипотезы. Для расчёта рассмотренного опыта она не требуется.
Используемые материалы
- Волновая функция как представление расщеплённого события — исходная версия гипотезы.
- Спин электрона как следствие двухлистного цикла замкнутой волны.
- The Feynman Lectures on Physics. Vol. III, Chapter 6: Spin One-Half.
- How Quantum Measurement Erases the Past — иллюстрация последовательных спиновых измерений. [Ютуб]