2026-08-14
Спин электрона как следствие двухлистного цикла замкнутой волны
Спин электрона нельзя понимать как механическое вращение заряженного шарика. В модели Волнового Электричества электрон рассматривается как устойчивый локализованный режим единой нормированной волны, а спиновая кинематика связывается с двухлистным замыканием её внутреннего контура.
В этой конструкции необходимо сразу разделить три разные структуры. Два листа — это последовательные участки одного внутреннего цикла, создающие половинную фазу и модуль спина \(1/2\). Две внутренние ориентации задаются перестановкой основных идемпотентных каналов: оператор может реализоваться как \(J(a,b)\) или как \(J(b,a)\). Наконец, электрический заряд относится к отдельному операторному уровню и не выводится ни из выбора листа, ни из перестановки каналов.
Главный геометрический результат возникает из длины полного пути. Если одна волна последовательно проходит два листа длиной приблизительно \(2\pi R\) каждый, то длина замыкания равна \(4\pi R\), а внутренняя фаза изменяется вдвое медленнее наблюдаемого угла поворота:
\[\tag{1}
\boxed{
L_J=4\pi R
\quad\Longrightarrow\quad
k_J=\frac{1}{2R}
\quad\Longrightarrow\quad
\chi=\frac{\theta}{2}.
}
\]
1. Что требуется объяснить
Для частицы со спином \(1/2\) измерение проекции на произвольно выбранную ось \(\mathbf n\) даёт два результата:
\[\tag{2}
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},
\qquad
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2}.
\]
При повороте оси анализатора на угол \(\theta\) вероятности этих результатов зависят от половинного угла, а представитель состояния меняет знак после поворота на \(2\pi\) и восстанавливается после \(4\pi\):
\[\tag{3}
P_+(\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_-(\theta)=\sin^2\frac{\theta}{2},
\]
\[\tag{4}
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),
\qquad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
\]
Задача модели состоит не в повторении этих свойств с помощью заранее заданных матриц Паули, а в последовательном решении двух разных задач. Сначала двухлистная геометрия должна создать коэффициент \(1/2\) и тем самым геометрический модуль спина. Затем перестановка основных каналов должна задать две возможные внутренние ориентации уже сформированного двухлистного цикла. Нормировка результата через \(\hbar\), вероятностное правило и динамика измерения при этом остаются отдельными физическими соответствиями.
Логическая последовательность статьи имеет вид: двухлистное замыкание \(\longrightarrow\) половинная фаза \(\longrightarrow\) спин \(1/2\) \(\longrightarrow\) две ориентации через перестановку каналов \(\longrightarrow\) наблюдаемые проекции на выбранную ось.
2. Конечный оператор состояния
На конечном операторном уровне используются два взаимно дополнительных идемпотента:
\[\tag{5}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Оператор состояния имеет вид
\[\tag{6}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Здесь параметры имеют разные физические роли:
\[\tag{7}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннее состояние локализованной волны, а \(b\) — внешнее движение её центра. При \(b=0\) рассматривается система покоя. Равенство \(J\bar J=1\) выражает операторную нормировку, но само по себе не является ни энергией, ни вероятностью.
3. Двухлистное продолжение внутреннего контура
Конечный оператор \(J(a,b)\) задаёт состояние на уровне двух основных идемпотентных каналов. Для описания двухлистного замыкания требуется более глубокое расщепление внутреннего канала. Введём дополнительную гиперболическую единицу и её идемпотенты:
\[\tag{8}
\j_{\!p}=\pmp-\pme,
\qquad
\pmp^2=\pmp,
\qquad
\pme^2=\pme,
\qquad
\pmp\pme=0,
\qquad
\pmp+\pme=1.
\]
Минимальный внутренний множитель, различающий два последовательных листа, обозначим через \(Q_\Gamma\):
\[\tag{9}
Q_\Gamma(a)=\left(\pmp-\pme\right)^{a/2}
=\pmp+\pme e^{i\pi a/2}.
\]
Индекс \(\Gamma\) подчёркивает, что этот множитель описывает топологию замыкания внутреннего контура. Он ещё не выбирает одну из двух ориентаций спина и не определяет знак электрического заряда. Тогда расширенный оператор покоя электрона для одной выбранной реализации основных каналов можно представить в форме
\[\tag{10}
\mathcal J_{\Gamma}(a)=J(a,0)Q_\Gamma(a).
\]
Сдвиг \(a\to a+2\) возвращает конечную часть \(J(a,0)\) к тому же значению, но переводит глубокую компоненту на другой представитель. Только сдвиг \(a\to a+4\) восстанавливает весь расширенный оператор:
\[\tag{11}
J(a+2,0)=J(a,0),
\qquad
\mathcal J_{\Gamma}(a+2)\ne\mathcal J_{\Gamma}(a),
\qquad
\mathcal J_{\Gamma}(a+4)=\mathcal J_{\Gamma}(a).
\]
Два листа относятся к более глубокому внутреннему продолжению одной волны. Они не являются двумя электронами, двумя одновременно существующими орбитами или состояниями «спин вверх» и «спин вниз».
4. Геометрическое отображение двух листов
В физическом отображении два глубоких канала могут быть представлены двумя близкими ветвями одного замкнутого контура:
\[\tag{12}
\pmp\longleftrightarrow C_+,
\qquad
\pme\longleftrightarrow C_-,
\qquad
R_\pm=R\pm\frac{\Delta R}{2},
\qquad
\Delta R\ll R.
\]
Ветви могут лежать в одной физической плоскости и различаться небольшим радиальным смещением. Их не требуется помещать во взаимно перпендикулярные пространственные или фазовые плоскости. Одна и та же волна проходит их последовательно:
\[\tag{13}
C_+\xrightarrow{\;2\pi\;}C_-
\xrightarrow{\;2\pi\;}C_+.
\]
В ведущем приближении длины ветвей равны
\[\tag{14}
L_+=2\pi R_+,
\qquad
L_-=2\pi R_-,
\qquad
L_++L_-=4\pi R.
\]
Радиальное расщепление влияет на малые поправки и на возможную внутреннюю динамику, но не создаёт коэффициент \(1/2\). Половинный угол появляется из последовательного прохождения двух листов и удвоенной длины замыкания.
5. Полный цикл и половинный угол
Фундаментальный режим на полном контуре должен накопить фазу \(2\pi\) на длине \(L_J=4\pi R\). Поэтому его внутреннее волновое число равно
\[\tag{15}
k_J=\frac{2\pi}{L_J}=\frac{1}{2R}.
\]
Если \(s\) — пройденная длина, а \(\theta=s/R\) — соответствующий геометрический угол, то
\[\tag{16}
\chi(s)=k_Js
=\frac{s}{2R}
=\frac{\theta}{2}.
\]
После первого оборота волна находится на втором листе и её фазовый представитель отличается знаком. После второго оборота восстанавливаются и лист, и фаза:
\[\tag{17}
\boxed{
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),
\qquad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
}
\]
Общий знак не меняет вероятность отдельного измерения, однако относительный знак наблюдаем при интерференции с опорным состоянием. Поэтому \(4\pi\)-периодичность относится к амплитуде состояния, а не к обычной пространственной траектории материальной точки.
6. Перестановка каналов и две ориентации спина
Двухлистный цикл объясняет появление половинной фазы и модуля спина \(1/2\), но сам по себе ещё не выбирает ориентацию полного внутреннего состояния. Для этого используется другая операция — перестановка двух основных идемпотентных каналов. Обозначим её через \(\mathsf S_\Pi\):
\[\tag{18}
\mathsf S_\Pi:\quad
\ep\longleftrightarrow\em,
\qquad
\mathsf S_\Pi^2=I.
\]
Тогда две возможные реализации конечного оператора имеют вид
\[\tag{19}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1(a,b)&=J(a,b)
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a},\\
J_2(a,b)&=\mathsf S_\Pi J_1(a,b)
=J(b,a)
=\ep e^{i\pi a}+\em e^{i\pi b}.
\end{aligned}
}
\]
Вторая запись означает перестановку каналов реализации, а не обмен физическими ролями параметров. В обоих состояниях \(a\) остаётся внутренним параметром, а \(b\) — параметром внешнего движения. Мы не предполагаем заранее, какая из двух реализаций осуществляется в конкретном состоянии до его приготовления или измерения.
В системе покоя \(b=0\), поэтому внутренний базис принимает вид
\[\tag{20}
J_1(a,0)=J(a,0),
\qquad
J_2(a,0)=J(0,a).
\]
Запись \(J(a,0\mid0,a)\) означает альтернативу двух реализаций, а не их арифметическую сумму и не существование двух независимых электронных волн. Каждая реализация включает весь двухлистный контур \(C_+\cup C_-\) и один и тот же множитель \(Q_\Gamma(a)\):
\[\tag{21}
\mathcal J_{e,1}(a,b)
=J_1(a,b)Q_\Gamma(a),
\qquad
\mathcal J_{e,2}(a,b)
=J_2(a,b)Q_\Gamma(a).
\]
Два листа и две ориентации выполняют разные функции. Листы создают удвоенную длину замыкания и коэффициент \(1/2\); перестановка основных каналов создаёт две ориентации полного двухлистного цикла.
Фазовые представители противоположных ориентаций можно записать как
\[\tag{22}
\Psi_1(\theta)=e^{-i\theta/2}|J_1\rangle,
\qquad
\Psi_2(\theta)=e^{+i\theta/2}|J_2\rangle.
\]
Для генератора поворота
\[\tag{23}
\widehat S_{\mathbf n}
=i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta}
\]
эти два режима имеют собственные значения
\[\tag{24}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_1
=+\frac{\hbar}{2}\Psi_1,
\qquad
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_2
=-\frac{\hbar}{2}\Psi_2.
\]
Таким образом, происхождение величины и происхождение ориентации разделены. Двухлистная геометрия даёт половинный фазовый множитель, перестановка каналов — два знака ориентации, а масштаб \(\hbar\) вводится физическим соответствием между генератором фазового поворота и измеряемым угловым моментом.
7. Спинорное представление
После получения половинного угла две альтернативные ориентации можно представить стандартным двухкомпонентным базисом:
\[\tag{25}
|+\rangle=
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},
\qquad
|-\rangle=
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.
\]
Положительная проекция относительно оси с полярным углом \(\theta\) и азимутом \(\varphi\) записывается как
\[\tag{26}
|+\mathbf n\rangle
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\[1mm]
e^{i\varphi}\sin(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
Ортогональное состояние имеет вид
\[\tag{27}
|-\mathbf n\rangle
=
\begin{pmatrix}
-e^{-i\varphi}\sin(\theta/2)\\[1mm]
\cos(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
Оператор поворота и оператор проекции спина тогда принимают привычную форму:
\[\tag{28}
U_{\mathbf n}(\theta)
=\exp\left(-\frac{i\theta}{2}
\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf n\right),
\qquad
\widehat S_{\mathbf n}
=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf n.
\]
Таким образом, спинор не подменяет геометрическое объяснение, а компактно представляет уже полученное двулистное покрытие углового цикла:
\[\tag{29}
U_{\mathbf n}(2\pi)=-I,
\qquad
U_{\mathbf n}(4\pi)=I.
\]
8. Изменение оси измерения
Пусть состояние подготовлено с положительной проекцией относительно исходной оси, а ось нового анализатора образует с ней угол \(\theta\). Амплитуды двух результатов равны \(\cos(\theta/2)\) и \(\sin(\theta/2)\). При принятом квадратичном правиле получаем
\[\tag{30}
\boxed{
P_{+\to+}(\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_{+\to-}(\theta)=\sin^2\frac{\theta}{2}.
}
\]
Сумма вероятностей равна единице, а средняя проекция на новую ось составляет
\[\tag{31}
P_{+\to+}+P_{+\to-}=1,
\qquad
\langle S_{\mathbf n}\rangle
=\frac{\hbar}{2}\cos\theta.
\]
Половинный угол в амплитудах наследуется от длины внутреннего цикла. Переход от амплитуд к частотам регистрации по правилу модуля в квадрате является дополнительным вероятностным постулатом.
9. Внешнее движение не меняет смысл параметров
Для движущегося электрона параметр \(b\) сохраняет смысл внешнего движения в обеих ориентациях. Используя определения раздела 6, запишем это требование в компактной форме:
\[\tag{32}
J_1(a,b)=J(a,b),
\qquad
J_2(a,b)=J(b,a).
\]
Во второй записи меняется расположение параметров по идемпотентным каналам, но их физические метки не переставляются: \(a\) остаётся внутренним параметром, а \(b\) — внешним. Проектор внешнего движения должен извлекать одну и ту же скорость из обоих состояний:
\[\tag{33}
\mathcal P_{\mathrm{ext}}[J_1]
=\mathcal P_{\mathrm{ext}}[J_2]
=\sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\mathbf v=c\beta\,\widehat{\boldsymbol\tau}.
\]
Ось спина и касательная \(\widehat{\boldsymbol\tau}\) к движению центра — независимые геометрические направления. Их совпадение возможно только как частный режим и не должно встраиваться в определение спина.
10. Что измеряет опыт Штерна—Герлаха
Неоднородное магнитное поле задаёт физическую ось анализа и связывает две собственные проекции магнитного момента с двумя пространственными каналами. Потенциальная энергия и сила вдоль оси \(z\) имеют вид
\[\tag{34}
U=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf B,
\qquad
F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}
\simeq\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}.
\]
Для электрона связь магнитного момента со спином записывается как
\[\tag{35}
\boldsymbol{\mu}_e
=-g\frac{e}{2m_e}\mathbf S.
\]
Если перед анализатором состояние содержит две амплитуды, взаимодействие с полем коррелирует их с двумя расходящимися волновыми пакетами:
\[\tag{36}
\left(A_+|+\mathbf n\rangle+A_-|-\mathbf n\rangle\right)\Phi_0
\longrightarrow
A_+|+\mathbf n\rangle\Phi_+
+A_-|-\mathbf n\rangle\Phi_-.
\]
При многократном повторении отношение интенсивностей каналов определяется квадратами модулей амплитуд:
\[\tag{37}
I_+:I_-=|A_+|^2:|A_-|^2.
\]
Два пятна не являются изображением двух внутренних листов. Поле отображает две альтернативные проекции полного состояния на два пространственно разнесённых канала. Микроскопическая динамика регистрации одного результата и точное происхождение \(g\)-фактора требуют отдельной модели взаимодействия.
11. Спин и заряд относятся к разным уровням
Направление прохождения двухлистного контура нельзя одновременно использовать как определение знака спина и знака электрического заряда. В рассматриваемой конструкции отдельный мультипликативный оператор \(J_s\) не требуется: две ориентации уже содержатся в выборе \(J_1(a,b)\) или \(J_2(a,b)\), а модуль спина создаётся общим двухлистным множителем \(Q_\Gamma(a)\). Заряд электрона и позитрона должен задаваться отдельным операторным сектором \(J_{q,\eta}\):
\[\tag{38}
\boxed{
\mathcal J_{\mathrm{particle}}^{(\sigma,\eta)}
=J_\sigma(a,b)Q_\Gamma(a)J_{q,\eta}\cdots,
\qquad
\sigma=1,2,
\qquad
\eta=\pm.
}
\]
Индекс \(\sigma\) выбирает расположение внутреннего состояния по основным каналам, а \(\eta\) — зарядовый сектор. Поэтому перестановка \(J_1\leftrightarrow J_2\) не превращает электрон в позитрон, а зарядовое сопряжение \(J_{q,-}\leftrightarrow J_{q,+}\) не обязано менять ориентацию спина или двухлистный цикл.
12. Связь со спин-поляризационным переходом
При аннигиляции электрон-позитронной пары совместная спиновая информация локализованных состояний может отображаться в совместное поляризационное состояние двух распространяющихся фотонов:
\[\tag{39}
|S=0\rangle_{e^-e^+}
\longrightarrow
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\]
При этом один внутренний лист не превращается в один фотон, а второй лист — в другой. Преобразованию подлежит полное совместное состояние пары. Этот вопрос отдельно рассматривается в статье «Переход спина электрона и позитрона в поляризацию фотонов».
13. Граница результата
Непосредственно из принятой двухлистной геометрии следуют: последовательное прохождение одной волной двух листов; полная длина замыкания \(L_J=4\pi R\); волновое число \(k_J=1/(2R)\); половинная фаза \(\chi=\theta/2\); смена знака представителя состояния после поворота на \(2\pi\) и его полное восстановление после \(4\pi\). После введения физического соответствия между генератором фазового поворота и угловым моментом с масштабом \(\hbar\) эта геометрия приводит к модулю спина \(|\mathbf S|=\hbar/2\).
В совокупности с магнитным отображением двухлистного зарядового контура эта же конструкция даёт основной магнитный момент \(\mu_e^{(0)}=\mu_B\) и гиромагнитный множитель \(g_0=2\), как показано в статье «Внутреннее движение электрона и происхождение его магнитного момента». При учёте конечного расстояния \(\Delta r\) между ветвями появляются два дополнительных перехода суммарной длиной \(2\Delta r\). Если \(\Delta r=r_e\), то относительная добавка к длине основного пути равна \(\alpha_{\mathrm{fs}}/(2\pi)\), что приводит к первому члену аномалии \(a_e^{(1)}=\alpha_{\mathrm{fs}}/(2\pi)\) и приближению \(g^{(1)}=2[1+\alpha_{\mathrm{fs}}/(2\pi)]\). Подробно этот результат рассмотрен в статье «Аномальный магнитный момент электрона».
Отдельными физическими соответствиями модели остаются: отображение глубоких алгебраических каналов на две близкие пространственные ветви; связь перестановки основных каналов \(J(a,b)\leftrightarrow J(b,a)\) с двумя ориентациями полного спина; отображение внутреннего состояния на произвольную ось трёхмерного пространства; квадратичное правило вероятностей; динамика единичной регистрации; общий механизм проекции внутренних частот в наблюдаемые магнитные частоты и происхождение высших членов аномального магнитного момента.
Таким образом, двухлистная модель даёт не только характерную \(4\pi\)-периодичность, но и геометрическое основание спина \(1/2\), основного множителя \(g_0=2\) и первого аномального уточнения \(\alpha_{\mathrm{fs}}/(2\pi)\). Незавершёнными остаются не эти геометрические результаты, а их полный динамический вывод из глобального оператора, механизм взаимодействия с измерительным полем и продолжение аномальной поправки до высших порядков.
Независимый пример близкого направления представлен в работе C. A. M. dos Santos и M. J. J. Fleury
«An electromagnetic model of the electron» [1]. Авторы рассматривают электрон как вращающуюся
электромагнитную волну, локализованную в тороидальной геометрии, и получают для её полного углового
момента значение \(\hbar/2\). Эта модель не использует предложенное здесь двухлистное замыкание и не
выводит \(4\pi\)-периодичность, однако показывает, что представление электрона как замкнутого
электромагнитного волнового режима независимо развивается и в других подходах.
Заключение
В обновлённой модели геометрическим основанием спина служат не две взаимно перпендикулярные орбиты, а два последовательных листа одного внутреннего контура. В физическом отображении они могут соответствовать близким радиальным ветвям \(R_+\) и \(R_-\) в одной плоскости. Одна волна проходит обе ветви, поэтому полный путь равен \(4\pi R\).
\[\tag{40}
\boxed{
C_+\to C_-\to C_+
\quad\Longrightarrow\quad
L_J=4\pi R
\quad\Longrightarrow\quad
\chi=\frac{\theta}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
}
\]
Два направления спина являются альтернативными ориентациями полного двухлистного цикла, а не названиями его отдельных листов. После введения физического масштаба \(\hbar\) им соответствуют проекции \(\pm\hbar/2\). Стандартный спинор, угловые вероятности и двухканальное расщепление в магнитном поле становятся последовательными отображениями этой структуры, тогда как внешнее движение и электрический заряд сохраняют собственные независимые операторные роли.
Используемые материалы
- C. A. M. dos Santos, M. J. J. Fleury, An electromagnetic model of the electron, arXiv:2510.22384, 2025.