2026-08-14
Спин электрона как следствие двухлистного цикла замкнутой волны
Спин электрона не является механическим вращением заряженного шарика. В модели Волнового Электричества электрон рассматривается как локализованный режим волны с внутренним двухлистным продолжением. Эта геометрия мотивирует половинную внутреннюю фазу, но переход к физическим спиновым вращениям требует отдельно определённого отображения.
Необходимо разделять внутренние листы, реализации динамических каналов и спиновое пространство. Два листа относятся к одному внутреннему циклу и задаются \(Q_\Gamma\). Операторы \(J_1(a,b)=J(a,b)\) и \(J_2(a,b)=J(b,a)\) обозначают две реализации основных каналов. Их связь с ортогональными спиновыми состояниями является физической гипотезой отображения. Электрический заряд задаётся отдельным сектором \(J_{q,\eta}\) и не выводится ни из выбора листа, ни из перестановки каналов.
При последовательном прохождении двух круговых ветвей и пренебрежении длиной соединяющих переходов полный путь равен \(L_J=4\pi R\). Для фундаментальной моды, накапливающей фазу \(2\pi\) на этом пути, возникает половинная фаза относительно внутреннего геометрического угла \(\theta_{\mathrm{int}}=s/R\):
\[\tag{1}
\boxed{L_J\simeq4\pi R\quad\Longrightarrow\quad k_J\simeq\frac1{2R}\quad\Longrightarrow\quad\chi\simeq\frac{\theta_{\mathrm{int}}}{2}.}
\]
1. Что требуется объяснить
Для частицы со спином \(1/2\) измерение проекции на произвольно выбранную ось \(\mathbf n\) даёт два результата:
\[\tag{2}
S_{\mathbf n}=+\frac{\hbar}{2},
\qquad
S_{\mathbf n}=-\frac{\hbar}{2}.
\]
Если состояние подготовлено с положительной проекцией на исходную ось, то вероятности результатов на оси анализатора под углом \(\theta\) имеют половинно-угловую зависимость. Это угол между физическими осями, а не угол внутреннего обхода. Отдельно спинорный представитель при физическом повороте на \(2\pi\) меняет общий знак и восстанавливается после \(4\pi\):
\[\tag{3}
P_+(\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_-(\theta)=\sin^2\frac{\theta}{2},
\]
\[\tag{4}
\Psi(2\pi)=-\Psi(0),
\qquad
\Psi(4\pi)=\Psi(0).
\]
Задача модели состоит в установлении связи между внутренней геометрией и этими наблюдаемыми свойствами. Двухлистный путь позволяет получить внутренний фазовый коэффициент \(1/2\). Но из него ещё не следуют трёхмерная группа спиновых вращений, ортогональность двух спиновых состояний, масштаб \(\hbar\) или правило вероятностей. Ниже стандартное спинорное представление вводится явно, а его соответствие внутренним каналам отмечается как отдельная гипотеза.
Логическая последовательность разделяет два построения: двухлистная геометрия \(\longrightarrow\) половинная внутренняя фаза; спиновое отображение \(\longrightarrow\) представление вращений \(SU(2)\) \(\longrightarrow\) измеряемые проекции и, после принятия правила Борна, вероятности.
2. Конечный оператор состояния
На конечном операторном уровне используются два взаимно дополнительных идемпотента:
\[\tag{5}
\ep^2=\ep,
\qquad
\em^2=\em,
\qquad
\ep\em=0,
\qquad
\ep+\em=1.
\]
Оператор состояния имеет вид
\[\tag{6}
\boxed{
J(a,b)=\j^a(-\j)^b
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Здесь параметры имеют разные физические роли:
\[\tag{7}
a=\varpi t,
\qquad
\pi\varpi=\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
b=\frac{\arcsin\beta}{\pi},
\qquad
\beta=\frac{v}{c}.
\]
Параметр \(a\) описывает внутреннюю фазу, а \(b\) — внешнее движение центра. В примере равномерного внутреннего цикла \(t\) — время системы покоя центра, а частота определена относительно этого времени. Равенство \(J\overline J=1\) выражает алгебраическую унитарность; его следует отличать от гильбертовой нормы состояния, энергии и вероятности.
3. Двухлистное продолжение внутреннего контура
Конечный оператор \(J(a,b)\) задаёт состояние на уровне двух основных идемпотентных каналов. Для описания двухлистного замыкания требуется более глубокое расщепление внутреннего канала. Введём дополнительную гиперболическую единицу и её идемпотенты:
\[\tag{8}
\j_{\!p}=\pmp-\pme,
\qquad
\pmp^2=\pmp,
\qquad
\pme^2=\pme,
\qquad
\pmp\pme=0,
\qquad
\pmp+\pme=1.
\]
Минимальный внутренний множитель, различающий два последовательных листа, обозначим через \(Q_\Gamma\):
\[\tag{9}
Q_\Gamma(a)=\left(\pmp-\pme\right)^{a/2}
=\pmp+\pme e^{i\pi a/2}.
\]
Индекс \(\Gamma\) указывает на внутреннее двухлистное продолжение. Соответствие этого фазового множителя физическому пространственному замыканию требует геометрического отображения. Он не выбирает спиновую реализацию и не определяет заряд. Для одной реализации в системе покоя расширенный динамико-замыкающий оператор имеет вид; зарядовый сектор пока опущен и будет добавлен в разделе 11:
\[\tag{10}
\mathcal J_{\Gamma}(a)=J(a,0)Q_\Gamma(a).
\]
Сдвиг \(a\to a+2\) возвращает конечную часть \(J(a,0)\) к тому же значению, но переводит глубокую компоненту на другой представитель. Только сдвиг \(a\to a+4\) восстанавливает весь расширенный оператор:
\[\tag{11}
J(a+2,0)=J(a,0),
\qquad
\mathcal J_{\Gamma}(a+2)\ne\mathcal J_{\Gamma}(a),
\qquad
\mathcal J_{\Gamma}(a+4)=\mathcal J_{\Gamma}(a).
\]
Два листа относятся к более глубокому внутреннему продолжению одной волны. Они не являются двумя электронами, двумя одновременно существующими орбитами или состояниями «спин вверх» и «спин вниз».
4. Геометрическое отображение двух листов
В физическом отображении два глубоких канала могут быть представлены двумя близкими ветвями одного замкнутого контура:
\[\tag{12}
\pmp\longleftrightarrow C_+,
\qquad
\pme\longleftrightarrow C_-,
\qquad
R_\pm=R\pm\frac{\Delta R}{2},
\qquad
\Delta R\ll R.
\]
Ветви могут лежать в одной физической плоскости и различаться небольшим радиальным смещением. Их не требуется помещать во взаимно перпендикулярные пространственные или фазовые плоскости. Одна и та же волна проходит их последовательно:
\[\tag{13}
C_+\xrightarrow{\;2\pi\;}C_-
\xrightarrow{\;2\pi\;}C_+.
\]
В ведущем приближении длины ветвей равны
\[\tag{14}
L_+=2\pi R_+,
\qquad
L_-=2\pi R_-,
\qquad
L_++L_-=4\pi R.
\]
В приближении двух круговых обходов коэффициент \(1/2\) возникает из общей длины пути и выбора фундаментальной моды. Радиальное разделение \(\Delta R\) и соединяющие переходы задают отдельные поправки. Полученный половинный угол является внутренним геометрическим углом; его связь с физическими вращениями частицы ещё требуется установить.
5. Полный цикл и половинный внутренний угол
Фундаментальный режим на полном контуре должен накопить фазу \(2\pi\) на длине \(L_J=4\pi R\). Поэтому его внутреннее волновое число равно
\[\tag{15}
k_J=\frac{2\pi}{L_J}=\frac{1}{2R}.
\]
Если \(s\) — пройденная длина, а \(\theta_{\mathrm{int}}=s/R\) — внутренний геометрический угол, то
\[\tag{16}
\chi(s)=k_Js=\frac{s}{2R}=\frac{\theta_{\mathrm{int}}}{2}.
\]
После изменения внутреннего параметра на два конечный оператор возвращается, но в \(Q_\Gamma\) знак меняет только вторая компонента. Это не изменение общего знака всего оператора:
\[\tag{17}
\boxed{\begin{aligned}
Q_\Gamma(a+2)&=\pmp-\pme e^{i\pi a/2}\ne-Q_\Gamma(a),\\
Q_\Gamma(a+4)&=Q_\Gamma(a).
\end{aligned}}
\]
Скалярный фазовый коэффициент \(e^{i\chi}\) действительно меняет знак при увеличении \(\theta_{\mathrm{int}}\) на \(2\pi\). Однако этот коэффициент не является автоматически полным состоянием электрона. Общий спинорный знак из (4) требует отдельного закона физического вращения; его нельзя вывести только из периодичности (11) или (17). Такое разделение согласовано со статьёй о глубоком расщеплении.
6. Перестановка каналов и гипотеза спинового отображения
Перестановка основных идемпотентных каналов задаёт две реализации динамического оператора. Обозначим эту операцию через \(\mathsf S_\Pi\):
\[\tag{18}
\mathsf S_\Pi:\quad
\ep\longleftrightarrow\em,
\qquad
\mathsf S_\Pi^2=I.
\]
Тогда две возможные реализации конечного оператора имеют вид
\[\tag{19}
\boxed{
\begin{aligned}
J_1(a,b)&=J(a,b)
=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a},\\
J_2(a,b)&=\mathsf S_\Pi J_1(a,b)
=J(b,a)
=\ep e^{i\pi a}+\em e^{i\pi b}.
\end{aligned}
}
\]
Во второй записи переставляются каналы, а не физические роли параметров: \(a\) остаётся внутренним, \(b\) — внешним. Сама перестановка не доказывает ортогональность спиновых состояний. Например, при \(a=b\) оба оператора совпадают. Их соответствие двум различимым спиновым состояниям требует дополнительных данных полного состояния и явного отображения.
В системе покоя \(b=0\) реализации записываются как
\[\tag{20}
J_1(a,0)=J(a,0),
\qquad
J_2(a,0)=J(0,a).
\]
Запись \(J(a,0\mid0,a)\) означает альтернативу двух реализаций, а не их арифметическую сумму и не существование двух независимых электронных волн. Каждая реализация включает весь двухлистный контур \(C_+\cup C_-\) и один и тот же множитель \(Q_\Gamma(a)\):
\[\tag{21}
\mathcal J_{e,1}(a,b)
=J_1(a,b)Q_\Gamma(a),
\qquad
\mathcal J_{e,2}(a,b)
=J_2(a,b)Q_\Gamma(a).
\]
Листы и спиновые состояния выполняют разные функции. \(Q_\Gamma\) задаёт внутреннюю двухлистную периодичность, а \(J_1,J_2\) служат метками динамических реализаций. Для спинового описания дополнительно вводятся нормированные ортогональные состояния \(|+\rangle,|-\rangle\) с \(\langle+|-\rangle=0\). Они не отождествляются с коэффициентными векторами \(J_1,J_2\) без отдельного отображения.
Примем спиновое отображение, связывающее полные внутренние реализации с состояниями \(|+\rangle,|-\rangle\). Вращение вокруг выбранной физической оси опишем углом \(\Theta\), отличным от внутреннего \(\theta_{\mathrm{int}}\). В этом представлении:
\[\tag{22}
\Psi_1(\Theta)=e^{-i\Theta/2}|+\rangle,\qquad\Psi_2(\Theta)=e^{i\Theta/2}|-\rangle,
\]
Для генератора поворота
\[\tag{23}
\widehat S_{\mathbf n}=i\hbar\frac{\partial}{\partial\Theta},
\]
получаются собственные значения проекции спина
\[\tag{24}
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_1
=+\frac{\hbar}{2}\Psi_1,
\qquad
\widehat S_{\mathbf n}\Psi_2
=-\frac{\hbar}{2}\Psi_2.
\]
Формула (24) следует из принятого закона вращения (22) и определения генератора (23). Она не является выводом этого закона из \(Q_\Gamma\). Масштаб \(\hbar\) и физическое соответствие генератора измеряемому угловому моменту заданы отдельно. Двухлистная геометрия остаётся возможной внутренней основой, связь которой с полным спинорным представлением требует доказательства.
7. Спинорное представление
Далее вводится стандартное спиновое пространство \(\mathbb C^2\) и действие физических вращений. Это согласованное описание наблюдаемого спина, но не доказательство того, что оно однозначно следует из коммутативной алгебры \(J\) и \(Q_\Gamma\).
Выберем стандартное двумерное комплексное пространство спиновых состояний с ортонормированным базисом:
\[\tag{25}
|+\rangle=
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},
\qquad
|-\rangle=
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.
\]
При принятом представлении вращений состояние с положительной проекцией на ось \(\mathbf n\), имеющую полярный угол \(\theta\) и азимут \(\varphi\), записывается как
\[\tag{26}
|+\mathbf n\rangle
=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta/2)\\[1mm]
e^{i\varphi}\sin(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
Ортогональное состояние имеет вид
\[\tag{27}
|-\mathbf n\rangle
=
\begin{pmatrix}
-e^{-i\varphi}\sin(\theta/2)\\[1mm]
\cos(\theta/2)
\end{pmatrix}.
\]
Для физического поворота на угол \(\Theta\) вокруг оси \(\mathbf n\) и измерения проекции спина примем стандартные операторы:
\[\tag{28}
U_{\mathbf n}(\Theta)=\exp\left(-\frac{i\Theta}{2}\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n\right),\qquad
\widehat S_{\mathbf n}=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n.
\]
Здесь \(\boldsymbol\sigma\) — матрицы Паули; их следует отличать от индекса реализации \(\sigma=1,2\). Из алгебры принятого представления следуют \([\widehat S_i,\widehat S_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\widehat S_k\) и \(\widehat{\mathbf S}^{\,2}=3\hbar^2I/4\). Поэтому \(s=1/2\), проекции равны \(\pm\hbar/2\), а модуль квантового углового момента \(\sqrt{s(s+1)}\hbar=\sqrt3\hbar/2\). Закон (28) обеспечивает спинорную периодичность:
\[\tag{29}
U_{\mathbf n}(2\pi)=-I,
\qquad
U_{\mathbf n}(4\pi)=I.
\]
8. Изменение оси измерения
Пусть состояние подготовлено с положительной проекцией на исходную ось, а новая ось анализатора образует с ней угол \(\theta\). Из скалярных произведений спиноров (26)–(27) получаются модули амплитуд \(\cos(\theta/2)\) и \(\sin(\theta/2)\). После принятия правила Борна:
\[\tag{30}
\boxed{
P_{+\to+}(\theta)=\cos^2\frac{\theta}{2},
\qquad
P_{+\to-}(\theta)=\sin^2\frac{\theta}{2}.
}
\]
Сумма вероятностей равна единице, а средняя проекция на новую ось составляет
\[\tag{31}
P_{+\to+}+P_{+\to-}=1,
\qquad
\langle S_{\mathbf n}\rangle
=\frac{\hbar}{2}\cos\theta.
\]
Половинный угол в вероятностях здесь следует из выбранного спинорного представления и правила Борна. Его соответствие половинному внутреннему углу (16) не доказано одним совпадением коэффициента \(1/2\). Геометрия контура и статистика измерений должны быть связаны явным физическим отображением.
9. Внешнее движение не меняет смысл параметров
Для движущегося электрона параметр \(b\) сохраняет смысл внешнего движения в обеих ориентациях. Используя определения раздела 6, запишем это требование в компактной форме:
\[\tag{32}
J_1(a,b)=J(a,b),
\qquad
J_2(a,b)=J(b,a).
\]
Во второй записи меняется расположение параметров по каналам, но их физические метки не переставляются. Внешний функционал должен считывать канал, содержащий \(b\), с учётом реализации. Тогда обе реализации задают одинаковую скорость:
\[\tag{33}
\mathcal P_{\mathrm{ext}}^{(1)}[J_1]=\mathcal P_{\mathrm{ext}}^{(2)}[J_2]=\sin(\pi b)=\beta,\qquad\mathbf v=c\beta\widehat{\boldsymbol\tau}.
\]
Ось спина и касательная \(\widehat{\boldsymbol\tau}\) к движению центра — независимые геометрические направления. Их совпадение возможно только как частный режим и не должно встраиваться в определение спина.
10. Что измеряет опыт Штерна—Герлаха
Идеализированный спиновый анализатор в неоднородном магнитном поле связывает проекции магнитного момента с пространственными каналами. Ниже записана магнитная градиентная составляющая энергии и силы; приближение предполагает выделенную ось \(z\):
\[\tag{34}
U=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf B,
\qquad
F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}
\simeq\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}.
\]
Для электрона связь магнитного момента со спином записывается как
\[\tag{35}
\boldsymbol{\mu}_e
=-g\frac{e}{2m_e}\mathbf S.
\]
Если перед анализатором состояние содержит две амплитуды, взаимодействие с полем коррелирует их с двумя расходящимися волновыми пакетами:
\[\tag{36}
\left(A_+|+\mathbf n\rangle+A_-|-\mathbf n\rangle\right)\Phi_0
\longrightarrow
A_+|+\mathbf n\rangle\Phi_+
+A_-|-\mathbf n\rangle\Phi_-.
\]
При многократном повторении отношение интенсивностей каналов определяется квадратами модулей амплитуд:
\[\tag{37}
I_+:I_-=|A_+|^2:|A_-|^2.
\]
Пространственные каналы анализатора не являются изображением внутренних листов. Соотношение (37) следует из принятого правила регистрации амплитуд. Для свободного заряженного электрона полный анализ должен учитывать также электрическую и магнитную силы Лоренца и геометрию установки; (34) не является полной силой во всяком режиме. Динамика единичной регистрации и происхождение \(g\)-фактора остаются отдельными задачами.
11. Спин и заряд относятся к разным уровням
Направление внутреннего обхода нельзя одновременно использовать как определение знака спина и электрического заряда. В принятой архитектуре \(J_1,J_2\) обозначают динамические реализации, общий \(Q_\Gamma\) — двухлистное продолжение, а \(J_{q,\eta}\) — зарядовый сектор. Спиновое состояние получается только после дополнительного отображения полного состояния:
\[\tag{38}
\boxed{\mathcal J_{\mathrm{particle}}^{(\sigma,\eta)}=J_\sigma(a,b)Q_\Gamma(a)J_{q,\eta}\cdots,\qquad\sigma=1,2,\quad\eta=\pm1.}
\]
Индекс \(\sigma\) выбирает расположение внутреннего состояния по основным каналам, а \(\eta\) — зарядовый сектор. Поэтому перестановка \(J_1\leftrightarrow J_2\) не превращает электрон в позитрон, а зарядовое сопряжение \(J_{q,-}\leftrightarrow J_{q,+}\) не обязано менять ориентацию спина или двухлистный цикл.
12. Связь со спин-поляризационным переходом
Для выбранного синглетного двухфотонного канала аннигиляции электрон-позитронной пары совместная спиновая информация локализованных состояний может отображаться в совместное поляризационное состояние двух распространяющихся фотонов:
\[\tag{39}
|S=0\rangle_{e^-e^+}
\longrightarrow
|\Psi_{\mathrm{pol}}\rangle_{\gamma_1\gamma_2}.
\]
При этом один внутренний лист не превращается в один фотон, а второй лист — в другой. Преобразованию подлежит полное совместное состояние пары. Этот вопрос отдельно рассматривается в статье «Переход спина электрона и позитрона в поляризацию фотонов».
13. Граница результата
Из принятой геометрии и выбора фундаментальной моды следуют \(L_J\simeq4\pi R\), \(k_J\simeq1/(2R)\) и внутренняя фаза \(\chi\simeq\theta_{\mathrm{int}}/2\) в приближении без длин переходов. Из алгебры \(Q_\Gamma\) следует периодичность (11) и (17). Спинорный общий знак, некоммутативные вращения вокруг разных осей, проекции \(\pm\hbar/2\) и угловые вероятности следуют из дополнительно принятого спинового представления и правила регистрации, а не непосредственно из длины контура.
В статье о внутреннем движении и магнитном моменте основной масштаб \(\mu_B\) воспроизводится после принятия зарядового контура, эффективного тока и магнитного отображения. Его сопоставление с проекцией \(\hbar/2\) даёт \(g_0=2\). Добавочная длина \(2\Delta r\) при \(\Delta r=r_e\) имеет относительный масштаб \(\alpha_{\mathrm{fs}}/(2\pi)\). Но переход от этой добавки к положительной аномалии магнитного момента требует отдельной частотной связи с внешним полем, как указано в статье об аномалии. Совпадение масштаба поправки не является полным динамическим выводом \(a_e\).
Необходимо дополнительно построить отображение полных внутренних состояний на ортогональные спиноры, обосновать действие физических вращений, связь с магнитным полем и правило регистрации. Отдельными задачами остаются динамика одного результата, согласованный вывод основного и аномального магнитных моментов, а также высшие поправки.
Двухлистная геометрия даёт внутренний фазовый масштаб и периодичность. Стандартное спиновое пространство, вращения, вероятности и магнитное отображение вводятся отдельно. Полноценный вывод спина из внутренней геометрии должен связать эти уровни без подстановки требуемого закона вращения в качестве уже доказанного результата.
Близкая концептуальная идея исследуется в работе C. A. M. dos Santos и M. J. J. Fleury «An electromagnetic model of the electron» [1], где рассматривается тороидальное электромагнитное волновое состояние. Это самостоятельная модель, а не независимая проверка предложенного здесь двухлистного механизма. Соответствие между двумя конструкциями требует отдельного анализа.
Заключение
В рассматриваемой геометрической гипотезе два последовательных листа одного внутреннего контура могут отображаться на близкие радиальные ветви \(R_+,R_-\). В приближении без длины соединяющих переходов фундаментальная внутренняя мода имеет половинную фазу:
\[\tag{40}
\boxed{\begin{gathered}
C_+\to C_-\to C_+\quad\Longrightarrow\quad L_J\simeq4\pi R\quad\Longrightarrow\quad\chi\simeq\theta_{\mathrm{int}}/2,\\
\text{отдельное спинорное отображение:}\quad U_{\mathbf n}(2\pi)=-I,\qquad U_{\mathbf n}(4\pi)=I.
\end{gathered}}
\]
Двухлистный внутренний цикл и спинорный закон физических вращений имеют разные определения. Две динамические реализации могут служить метками спиновых состояний лишь после обоснования соответствующего отображения. В выбранном стандартном спинорном представлении получаются проекции \(\pm\hbar/2\), периодичность \(4\pi\) и, после принятия правила Борна, угловые вероятности. Внешнее движение и электрический заряд сохраняют независимые роли. Связь всей этой структуры с внутренней геометрией остаётся центральной задачей дальнейшего вывода.
Используемые материалы
- C. A. M. dos Santos, M. J. J. Fleury, An electromagnetic model of the electron, arXiv:2510.22384, 2025.