В предыдущей работе был введён оператор, объединяющий внутреннее периодическое состояние объекта и его внешнее движение: \[ \tag{1} J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t}. \] Этот оператор можно рассматривать как произведение двух независимых составляющих. Первая определяет внешнее состояние объекта, а вторая — его внутреннюю периодическую динамику.

Такое разделение позволяет рассматривать движение, энергию и волновые свойства объекта не как независимые и противопоставленные явления, а как различные проявления одной геометрической структуры. В рамках предлагаемой модели волна и частица не являются двумя разными объектами. Они соответствуют различным предельным состояниям единого оператора.

Настоящий материал является приложением к работе

• Новый декартов базис с добавлением энергии и импульса;
• и развивает идеи, изложенные в статье: Единая геометрическая модель для волны и частицы.

Рассмотрим полный оператор \[ \tag{2} J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t}. \] Он состоит из двух множителей: \[ \tag{3} J_{\mathrm{ext}} = e^{i\theta}, \] \[ \tag{4} J_{\mathrm{int}}(t) = \j^{\varpi t}. \] Следовательно, \[ \tag{5} J(t) = J_{\mathrm{ext}} J_{\mathrm{int}}(t). \]

Оператор \[ J_{\mathrm{ext}} = e^{i\theta} \] будем называть внешним оператором. Он определяет ориентацию объекта относительно внешнего движения, а также соотношение между энергией покоя, импульсом и полной энергией.

Оператор \[ J_{\mathrm{int}}(t) = \j^{\varpi t} \] будем называть внутренним оператором. Он определяет собственное периодическое состояние объекта, его внутреннюю частоту и связанную с ней энергию.

Таким образом, полный оператор допускает естественное разделение: \[ \tag{6} \boxed{ J(t) = J_{\mathrm{ext}} J_{\mathrm{int}}(t) }. \] С каждым из этих операторов можно работать отдельно, не теряя общей структуры объекта.

Внутренний оператор записывается в виде \[ \tag{7} J_{\mathrm{int}}(t) = \j^{\varpi t}. \] Используя представление дробной степени гиперболической единицы, получаем \[ \tag{8} \j^{\varpi t} = \ep + \em e^{i\omega t}, \qquad \omega = \pi\varpi. \]

Следовательно, \[ \tag{9} J_{\mathrm{int}}(t) = \ep + \em\cos\omega t + i\em\sin\omega t. \] Первая компонента \(\ep\) остаётся постоянной, а вторая компонента вращается в комплексной плоскости \[ \left\{ \em, i\em \right\}. \]

Внутреннее состояние характеризуется собственной частотой \(\omega\), но не зависит непосредственно от угла внешнего движения \(\theta\). Поэтому внутреннюю динамику объекта можно исследовать отдельно, положив \[ \tag{10} \theta = 0. \] В этом случае полный оператор принимает вид \[ \tag{11} J(t) = \j^{\varpi t}. \]

Такое представление соответствует рассмотрению объекта в его собственной системе отсчёта, когда внешнее движение не учитывается, а анализируется только внутренний периодический процесс.

Если внутренней частоте соответствует собственная энергия объекта, то можно записать \[ \tag{12} E_0 = \hbar\omega. \] Для массивной частицы собственная энергия отождествляется с энергией покоя: \[ \tag{13} E_0 = mc^2. \] Следовательно, \[ \tag{14} \hbar\omega = mc^2. \]

Таким образом, внутренний оператор отвечает за собственное состояние объекта: \[ \tag{15} J_{\mathrm{int}}(t) \quad \longleftrightarrow \quad \omega, \; E_0, \; m. \]

Теперь временно исключим внутреннее вращение и рассмотрим только внешний оператор: \[ \tag{16} J_{\mathrm{ext}} = e^{i\theta}. \] Разложение комплексной экспоненты даёт \[ \tag{17} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \]

Угол \(\theta\) характеризует внешнее состояние объекта. В ранее предложенной геометрической модели он связан со скоростью соотношением \[ \tag{18} \sin\theta = \beta = \frac{v}{c}. \] Отсюда \[ \tag{19} \cos\theta = \sqrt{1-\beta^2} = \frac{1}{\gamma}, \] где \[ \tag{20} \gamma = \frac{1} {\sqrt{1-\beta^2}} \] — лоренц-фактор.

Полная энергия движущегося объекта равна \[ \tag{21} E = \gamma mc^2. \] С учётом выражения (19) получаем \[ \tag{22} E = \frac{mc^2} {\cos\theta}. \]

Импульс объекта определяется выражением \[ \tag{23} pc = \gamma mvc. \] Поскольку \[ \gamma\beta = \frac{\sin\theta} {\cos\theta} = \tan\theta, \] получаем \[ \tag{24} pc = mc^2\tan\theta. \]

Таким образом, внешний угол \(\theta\) определяет одновременно скорость, импульс и полную энергию: \[ \tag{25} \sin\theta = \frac{v}{c}, \qquad \cos\theta = \frac{mc^2}{E}, \qquad \tan\theta = \frac{pc}{mc^2}. \]

Из этих соотношений непосредственно следует релятивистская связь энергии и импульса: \[ \tag{26} E^2 = m^2c^4 + p^2c^2. \]

Следовательно, внешний оператор отвечает за кинематическое состояние объекта: \[ \tag{27} J_{\mathrm{ext}} \quad \longleftrightarrow \quad v, \; p, \; E. \]

Полный оператор \[ J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t} \] содержит две различные фазы:

1. внешнюю фазу \(\theta\), характеризующую движение объекта как целого;

2. внутреннюю фазу \(\omega t\), характеризующую собственное периодическое состояние объекта.

Если угол \(\theta\) остаётся постоянным, а время изменяется, то изменяется только внутреннее состояние: \[ \tag{28} J(t) = e^{i\theta_0} \j^{\varpi t}. \]

Если внутреннюю фазу зафиксировать в некоторый момент времени \(t_0\), а угол \(\theta\) изменять, то изменяется только внешнее состояние: \[ \tag{29} J(\theta) = e^{i\theta} \j^{\varpi t_0}. \]

В наиболее общем случае обе фазы могут изменяться: \[ \tag{30} J(t) = e^{i\theta(t)} \j^{\varpi t}. \] Тогда объект одновременно обладает внутренней периодической динамикой и внешним движением с переменной скоростью.

Это означает, что ускорение объекта не обязательно должно изменять его внутреннюю структуру. Внешняя энергия может изменяться за счёт угла \(\theta\), тогда как внутренняя частота \(\omega\) сохраняется.

И наоборот, изменение собственной частоты может происходить при неизменном внешнем состоянии. В этом случае меняется внутренний оператор, но угол \(\theta\) остаётся постоянным.

Важным свойством модели является неизменность модуля обоих множителей. Для внешнего оператора \[ \tag{31} \left| e^{i\theta} \right| = 1. \] Для внутреннего оператора также принимается \[ \tag{32} \left| \j^{\varpi t} \right| = 1. \]

Поэтому модуль полного оператора равен \[ \tag{33} \left| J(t) \right| = \left| e^{i\theta} \right| \left| \j^{\varpi t} \right| = 1. \]

Следовательно, переход от одного состояния к другому не изменяет полный модуль объекта: \[ \tag{34} \boxed{ \left| J(t) \right| = 1 }. \] Меняются только его геометрические проекции и ориентация относительно выбранных направлений базиса.

Именно сохранение модуля позволяет рассматривать волну и частицу как различные состояния одного объекта, а не как два самостоятельных физических образования.

Рассмотрим первое характерное значение: \[ \tag{35} \theta = 0. \] Тогда \[ \tag{36} e^{i\theta} = 1, \] и полный оператор принимает вид \[ \tag{37} J(t) = \j^{\varpi t}. \]

Из выражения \[ \sin\theta = \frac{v}{c} \] следует \[ \tag{38} v = 0. \] Также \[ \tag{39} p = 0, \qquad E = mc^2. \]

Это состояние соответствует массивному объекту в покое. Внешнее движение отсутствует, однако внутренний периодический процесс сохраняется.

Следовательно, отсутствие внешнего движения не означает отсутствия движения вообще. Объект может сохранять внутреннее вращение, собственную частоту и энергию покоя.

Для промежуточных значений угла \[ \tag{40} 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \] имеем \[ \tag{41} 0 < v < c. \]

Полный оператор имеет вид \[ \tag{42} J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t}. \] Внутреннее состояние объекта сохраняется, но появляется внешнее движение.

Энергия покоя и импульс являются ортогональными проекциями полной энергии: \[ \tag{43} mc^2 = E\cos\theta, \] \[ \tag{44} pc = E\sin\theta. \]

Поэтому \[ \tag{45} E^2 = \left( mc^2 \right)^2 + \left( pc \right)^2. \]

При малых значениях \(\theta\) преобладает проекция энергии покоя: \[ \tag{46} mc^2 \gg pc. \] Такой объект проявляет преимущественно корпускулярные свойства и может быть локализован в ограниченной области пространства.

По мере увеличения \(\theta\) возрастает импульсная составляющая, а относительная доля проекции энергии покоя уменьшается: \[ \tag{47} \frac{mc^2}{E} = \cos\theta. \]

Таким образом, движущаяся частица представляет собой промежуточное состояние между предельным состоянием покоя и предельным волновым состоянием.

Рассмотрим предел \[ \tag{48} \theta \rightarrow \frac{\pi}{2}. \] Тогда \[ \tag{49} \sin\theta \rightarrow 1, \qquad \cos\theta \rightarrow 0. \] Следовательно, \[ \tag{50} v \rightarrow c. \]

В этом пределе проекция полной энергии на направление энергии покоя стремится к нулю: \[ \tag{51} mc^2 = E\cos\theta \rightarrow 0. \] Одновременно импульсная составляющая становится равной полной энергии: \[ \tag{52} pc = E\sin\theta \rightarrow E. \]

Получаем характерное для безмассовой волны соотношение \[ \tag{53} E = pc. \]

Внешний оператор стремится к значению \[ \tag{54} e^{i\theta} \rightarrow i. \] Поэтому полный оператор в волновом пределе принимает вид \[ \tag{55} J_{\mathrm{wave}}(t) = i\j^{\varpi t}. \]

Следует подчеркнуть, что внутренний оператор \[ \j^{\varpi t} \] при этом не исчезает. Изменяется только его внешняя ориентация.

Таким образом, волновое состояние возникает не вследствие уничтожения внутренней структуры объекта, а вследствие предельного поворота внешнего оператора на угол \[ \frac{\pi}{2}. \]

Пусть в начальном состоянии объект покоится: \[ \tag{56} \theta = 0. \] Тогда \[ \tag{57} J_{\mathrm{particle}}(t) = \j^{\varpi t}. \]

При сообщении объекту внешней энергии угол \(\theta\) возрастает: \[ \tag{58} 0 \longrightarrow \theta \longrightarrow \frac{\pi}{2}. \] Внешний оператор изменяется непрерывно: \[ \tag{59} 1 \longrightarrow e^{i\theta} \longrightarrow i. \]

Соответственно, полный оператор проходит последовательность состояний \[ \tag{60} \j^{\varpi t} \longrightarrow e^{i\theta}\j^{\varpi t} \longrightarrow i\j^{\varpi t}. \]

При этом модуль оператора остаётся неизменным: \[ \tag{61} \left| \j^{\varpi t} \right| = \left| e^{i\theta}\j^{\varpi t} \right| = \left| i\j^{\varpi t} \right| = 1. \]

Следовательно, переход «частица — волна» можно интерпретировать как непрерывное изменение внешней ориентации одного и того же математического объекта.

Внутреннее состояние при таком переходе может сохраняться: \[ \tag{62} J_{\mathrm{int}}(t) = \j^{\varpi t} = \mathrm{const} \quad \text{по форме}. \] Изменяется только внешний множитель \[ e^{i\theta}. \]

Обратный переход соответствует уменьшению угла: \[ \tag{63} \frac{\pi}{2} \longrightarrow \theta \longrightarrow 0. \] Тогда внешний оператор изменяется по закону \[ \tag{64} i \longrightarrow e^{i\theta} \longrightarrow 1. \]

Полный оператор проходит обратную последовательность: \[ \tag{65} i\j^{\varpi t} \longrightarrow e^{i\theta}\j^{\varpi t} \longrightarrow \j^{\varpi t}. \]

При уменьшении \(\theta\) вновь появляется ненулевая проекция энергии покоя: \[ \tag{66} mc^2 = E\cos\theta. \] Одновременно уменьшается импульсная составляющая: \[ \tag{67} pc = E\sin\theta. \]

Таким образом, объект постепенно переходит из преимущественно волнового режима в преимущественно корпускулярный режим.

В рамках предлагаемой модели для такого перехода не требуется появление нового математического объекта. Волновое и корпускулярное состояния описываются одним оператором, различающимся только значением внешнего угла \(\theta\).

Рассмотренные режимы можно представить в виде единой схемы: \[ \tag{68} \begin{array}{c|c|c|c} \theta & v & J_{\mathrm{ext}} & \text{состояние} \\ \hline 0 & 0 & 1 & \text{частица в покое} \\ 0<\theta<\pi/2 & 0<v<c & e^{i\theta} & \text{движущаяся частица} \\ \theta\rightarrow\pi/2 & v\rightarrow c & i & \text{волновой предел} \end{array} \]

Из таблицы видно, что между частицей и волной нет резкой математической границы. Существует непрерывная последовательность промежуточных состояний, задаваемых углом \(\theta\).

При малых значениях \(\theta\) преобладает проекция энергии покоя, и объект проявляет преимущественно свойства частицы.

При значениях \(\theta\), близких к \(\pi/2\), преобладает импульсная составляющая, и объект проявляет преимущественно волновые свойства.

Поэтому вопрос «волна или частица?» в рамках этой модели заменяется другим вопросом:

Каково текущее значение внешнего угла \(\theta\) полного оператора?

Наблюдаемые свойства объекта определяются не только его полной внутренней структурой, но и тем, какая проекция полного оператора участвует во взаимодействии с измерительным устройством.

Если эксперимент преимущественно выделяет локализованную составляющую, объект регистрируется как частица.

Если эксперимент чувствителен к периодичности, фазе и распределению амплитуды, объект проявляет свойства волны.

Однако в обоих случаях полный математический объект остаётся тем же: \[ \tag{69} J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t}. \]

Различие возникает в способе его проекции и взаимодействия с внешней системой, а не обязательно в изменении фундаментальной природы самого объекта.

Это позволяет геометрически интерпретировать корпускулярно-волновой дуализм без введения двух противоположных сущностей.

Поскольку полный оператор является произведением независимых множителей, можно отдельно выполнять операции над его внутренней и внешней частями.

При исследовании внутренней динамики внешний угол фиксируется: \[ \tag{70} \theta = \theta_0, \] и рассматривается производная \[ \tag{71} \frac{dJ}{dt} = e^{i\theta_0} \frac{d}{dt} \j^{\varpi t}. \]

При исследовании внешнего ускорения внутренняя частота может считаться постоянной: \[ \tag{72} \omega = \omega_0, \] а изменение полного оператора определяется производной угла: \[ \tag{73} \frac{dJ}{dt} = i\frac{d\theta}{dt} e^{i\theta} \j^{\varpi t} + e^{i\theta} \frac{d}{dt} \j^{\varpi t}. \]

Первое слагаемое описывает изменение внешнего состояния: \[ \tag{74} \left( \frac{dJ}{dt} \right)_{\mathrm{ext}} = i\dot\theta e^{i\theta} \j^{\varpi t}. \]

Второе слагаемое описывает внутреннее движение: \[ \tag{75} \left( \frac{dJ}{dt} \right)_{\mathrm{int}} = e^{i\theta} \frac{d}{dt} \j^{\varpi t}. \]

Таким образом, \[ \tag{76} \frac{dJ}{dt} = \left( \frac{dJ}{dt} \right)_{\mathrm{ext}} + \left( \frac{dJ}{dt} \right)_{\mathrm{int}}. \]

Это разделение позволяет независимо исследовать ускорение объекта и его собственную внутреннюю динамику, сохраняя единое описание полного состояния.

В рамках полного оператора возможны три основных режима.

Первый режим — изменяется только внутренняя фаза: \[ \tag{77} J(t) = e^{i\theta_0} \j^{\varpi t}. \] Этот режим соответствует внутреннему периодическому процессу при постоянной внешней скорости.

Второй режим — изменяется только внешний угол: \[ \tag{78} J(t) = e^{i\theta(t)} \j^{\varpi t_0}. \] Он соответствует ускорению или замедлению объекта при зафиксированном внутреннем состоянии.

Третий режим — одновременно изменяются внешняя и внутренняя фазы: \[ \tag{79} J(t) = e^{i\theta(t)} \j^{\varpi(t)t}. \] Такой режим соответствует взаимодействию, при котором изменяется не только движение объекта, но и его собственная внутренняя энергия.

Следовательно, изменение полной энергии не всегда означает изменение внутренней энергии. Необходимо различать:

— изменение внешней энергии за счёт угла \(\theta\);

— изменение собственной энергии за счёт частоты \(\omega\);

— совместное изменение обеих составляющих.

Основной результат предлагаемого подхода состоит в том, что волна и частица описываются одним и тем же оператором: \[ \tag{80} \boxed{ J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t} }. \]

В нём внешний множитель \[ e^{i\theta} \] определяет скорость, импульс и отношение энергии покоя к полной энергии.

Внутренний множитель \[ \j^{\varpi t} \] определяет собственную частоту, внутреннюю энергию и периодическую структуру объекта.

Частица соответствует состоянию, в котором сохраняется значительная проекция полной энергии на направление энергии покоя: \[ \tag{81} mc^2 = E\cos\theta \neq 0. \]

Волна соответствует предельному состоянию: \[ \tag{82} \cos\theta \rightarrow 0, \qquad E \rightarrow pc. \]

При этом модуль полного оператора остаётся неизменным, а переход осуществляется за счёт поворота внешней составляющей.

Полный оператор \[ J(t) = e^{i\theta} \j^{\varpi t} \] естественным образом разделяется на внешний и внутренний операторы: \[ J_{\mathrm{ext}} = e^{i\theta}, \qquad J_{\mathrm{int}}(t) = \j^{\varpi t}. \]

Внутренний оператор описывает собственную периодическую динамику объекта, его частоту, энергию покоя и массу. Внешний оператор описывает скорость, импульс и полную энергию относительно внешней системы отсчёта.

Разделение операторов позволяет отдельно исследовать внутреннее состояние объекта и его внешнее движение. При этом полный оператор сохраняет единство обеих составляющих.

Угол \(\theta\) определяет характер внешнего состояния. При \[ \theta = 0 \] объект находится в состоянии покоя и проявляет преимущественно свойства частицы.

При \[ 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \] объект представляет собой движущуюся массивную частицу, содержащую одновременно энергию покоя и импульсную составляющую.

В пределе \[ \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \] проекция энергии покоя стремится к нулю, скорость стремится к скорости света и возникает волновое соотношение \[ E = pc. \]

Таким образом, переход от частицы к волне и обратно может быть представлен как непрерывное изменение внешнего угла \(\theta\), тогда как внутренний оператор сохраняет свою общую форму.

В рамках предлагаемой модели волна и частица являются не противоположными физическими сущностями, а различными геометрическими состояниями одного математического объекта.