2017-03-03
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Совмещение двух частот в параллельно-последовательном колебательном контуре
В некоторых устройствах требуется совмещение двух резонансных частот в системе двух контуров. Для таких систем не требуется совмещение с частотами стоячих волн, хотя они и будут находиться достаточно близко. Преимущество таких устройств — относительная простота в их реализации и настройки.
На рисунке 3.1 изображёны два контура — L1C1 и L2C, которые в наиболее общем виде называются «связанные». В них C1 и C — собственные ёмкости соответствующих им катушек — L1 и L2. Но для наших целей мы можем сделать допущение, что катушка L2 имеет сосредоточенные параметры и нулевую собственную ёмкость, поэтому на рисунке 3.1 ёмкость C изображена пунктирной линией. Она далее не будет учитываться в расчётах.
Таким образом, мы получаем два контура: параллельный L1C1 и последовательный L2C2. Полагаем, что первый — L1C1 имеет распределённые параметры, а второй L2C2 — сосредоточенные. При помощи схемы в катушке L1 нам необходимо создать два режима работы.
1. Полуволновой. При этом, частота задаваемая генератором E1 должна быть в два раза выше собственной частоты контура L1C1. Цепочка L2C2, при этом, должна оказывать минимальное сопротивление и по сути - замыкать собой L1, т.е. в идеале — равняться нулю на этой частоте.
2. Четвертьволновой. Этот режим устанавливается генератором E2, при этом в параллельно-последовательном контуре L1C1L2C2 должен наступить резонанс, причём максимум напряжения должен приходиться на катушку L1.
Наша задача — найти оптимальные соотношения параметров этих контуров для достижения в них двух заданных резонансов. Потери пока не учитываем.
Совмещение двух частот в параллельно-последовательном контуре
Из теории электрических цепей [1] можно получить нижеследующее соотношение. Оно расчитывает резонанс в контуре L1C1L2C2 при частоте второго генератора E2 — \(\omega_2\): \[\left[\left(\frac{\omega_2}{w_1}\right)^2 - 1\right] \left[\left(\frac{\omega_2}{w_2}\right)^2 - 1\right] = \left(\frac{\omega_2}{w_2}\right)^2 \frac{L_1}{L_2} \qquad (3.1)\] \[w_1 = 1/(L_1 C_1)^{0.5}, \quad w_2 = 1/(L_2 C_2)^{0.5} \] где \(w_1\) и \(w_2\) — собственные частоты контуров L1C1 и L2C2 соответственно. Из условий задачи нам известно, что частота первого генератора \(\omega_1\) должна быть в два раза больше собственной частоты параллельного контура L1C1, а последовательный контур L2C2 для этой частоты должен оказывать минимальное сопротивление. Следовательно: \[\frac{\omega_1}{w_1} = 2, \quad \frac{\omega_1}{w_2} = 1 \qquad (3.2)\] Тогда, введя следующие обозначения: \[k = \frac{L_1}{L_2}, \quad f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2},\] и проведя некоторые преобразования, получим такую зависимость: \[f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2} = {2\sqrt{2} \over \sqrt{{5+k} - \sqrt{\left({5+k}\right)^2 - 16}}} \qquad (3.3)\] На графиках она видна более наглядно. Левый — захватывает весь диапазон \(k\), а правый — только небольшую рабочую область:
График зависимости соотношения частот от соотношения индуктивностей
Методика расчёта
Предполагается, что катушка L1 уже намотана и значения \(L_1, C_1\) нам известны. Это можно сделать в калькуляторе. Не забываем, что в ёмкость C1 входит собственная ёмкость катушки и ёмкость заземления. Из формулы (3.2) можно найти значение первой частоты: \(\omega_1 = 2/(L_1 C_1)^2\). Но поскольку это круговая частота, то в обычную она пересчитывается делением на \(2\pi\), т.е. \(f_1 = \omega_1 / (2\pi)\). Далее, выбираем значение \(k\), например, равное трём, затем на графике находим его \(f(k) = 2.73\) — это отношение частот генераторов. Следовательно, частота второго генератора будет такая: \(\omega_2 = \omega_1 / 2.73\). С помощью выбранного \(k\) находится и индуктивность второй катушки: \(L_2 = L_1 / k = L_1 / 3\). Последнее неизвестное — ёмкость второго контура — находим из условий (3.2): \(C_2 = 1/(\omega_1^2 L_2)\).
Пример
В калькуляторе выбираем нашу катушку L1, например такую. По вышеприведенной методике находим все параметры.
Катушка L1:
  • диаметр каркаса катушки, мм — 80
  • диаметр провода (с изоляцией), мм — 0.65
  • шаг намотки, мм — 0.69
  • число витков — 481
  • индуктивность катушки, мГн — 4
Остальные параметры:
  • частота первого генератора, МГц — 1.76
  • коэффициент \(k\) — 3
  • частота второго генератора, МГц — 0.64
  • индуктивность катушки L2, мГн — 1.33
  • ёмкость конденсатора C2, пФ — 6.2
Схемные решения
Примеры схемных решений представлены на рисунках 3.2 и 3.3. Они отличаются способом включения катушки L2, но методика их расчёта одна и та же. Преимущество схемы 3.3 заключается в более высоком напряжении на верхнем по схеме конце катушки L1. Недостаток — более высокие требования к развязке с индуктором Li1 и меньшем диапазоне в выборе коэффициента \(k\). В этом случае он должен быть — чем больше, тем лучше, но не менее 2-х. Этим обеспечивается меньшая индуктивность L2 и, как следствие, — лучшая связь катушки L1 с заземлением.
Индуктивность катушки L2 носит сосредоточенный характер и поэтому — должна иметь как можно меньшие габариты. Это можно сделать, если использовать в ней ферромагнитный сердечник. Таким образом, катушка L2 преобразуется в обычный трансформатор на ферритовом сердечнике.
Более сложным схемным решением может быть такое, при котором два генератора (VS1, VS2) объединены в один, а на его выходе вырабатывается сложный сигнал: сумма или произведение синусоид двух частот. Преимущество такого решения — единый индуктор Li1.
Более общий случай
В катушке L1 мы можем разместить не только половину волны, задаваемые генератором VS1, но и любое число таких полуволн. Из этих исследований мы знаем, что резонансная частота катушки, в зависимости от номера гармоники \(i\) находится так: \[\omega_i = \left({i + 2 \over 2} \right)w_1, \quad i \in 2, 4, 6, ... \] Если перевести номер гармоники в зависимость от кратности длины волны \(\lambda\), то начальные условия формулы (3.2) в более общем случае станут такими: \[\frac{\omega_1}{w_1} = 2\lambda + 1, \quad \lambda \in \frac12, \frac22, \frac32..., \quad \frac{\omega_1}{w_2} = 1 \qquad (3.4)\] а формула (3.3) преобразится так: \[f(k) = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \sqrt{2}{2\lambda + 1 \over \sqrt{{1+(2\lambda + 1)^2+k} - \sqrt{\left[{1+(2\lambda + 1)^2+k}\right]^2 - 16}}} \qquad (3.5)\] На следующем графике показана зависимость \(f(k)\) от коэффициента \(k\) при разных \(\lambda\):
График зависимости отношения частот от коэффициента k и от кратности волны
По итогам этой работы, для расчёта параметров таких схем, был разработан специализированный онлайн калькулятор.
Используемые материалы

Горчилин Вячеслав, 2017 г.
* Использование материалов сайта возможно с условием установки соответствующих ссылок и соблюдения авторских прав

2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin