В науке эта тема почему-то слабо освещена, ей посвящено всего несколько работ, но и в них нет прямых указаний для подсчёта этого параметра. Уединённая ёмкость нашей планеты \(C_E\) если и указывается в учебниках, то находится по классической формуле для ёмкости сферы [1]: \[C_E = 4\pi\, \varepsilon_0 \varepsilon\, R = 7\cdot 10^{-4}\, [F] \qquad (1)\] где: \(\varepsilon_0\) — абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума [2], \(\varepsilon\) — относительная диэлектрическая проницаемость (ОДП), которая почему-то принимается за единицу, \(R\) — радиус Земли. В этом случае, уединённая ёмкость планеты получается порядка 700 тысяч микрофарад. Запомним эту цифру, чтобы затем сравнить её с полученной — в конце этой работы.

Уже отсюда видно, что такой подход не выдерживает никакой критики. Во-первых, электрические заряды располагаются не только на поверхности планеты, но и внутри неё, следовательно, формула для сферы не подходит. Во-вторых, состав Земли представляет собой, в основном, смесь из окислов, каждый из которых имеет свою относительную диэлектрическую проницаемость, значительно превышающую единицу. А это значит, что и средняя \(\varepsilon\) планеты будет более 1. Основываясь на этих вводных, мы последовательно найдём недостающие части, после чего сложим их вместе, и получим ответ о более точном значении уединённой ёмкости нашей планеты.

На данном этапе определим ёмкость без относительной диэлектрической проницаемости, которой займёмся позже. Заметим только, что Землю мы будем представлять, как шар. Для определения его ёмкости воспользуемся двумя работами, проделанными автором несколько лет назад. Первая работа предлагает распределение электрического заряда в Земле так, чтобы суммарный её потенциал для других планет и звёзд был бы нейтральным. Это возможно, если распределение заряда вдоль радиуса шара будет таким: \[\rho(r) = \rho_0 \left(1 - \frac43 \frac{r}{R} \right) \qquad (2)\] где: \(\rho_0\) — средняя объёмная плотность заряда, а \(r\) — текущий радиус, который меняется от нуля (центра Земли), до \(R\) — её поверхности. Когда эта плотность имеет положительные значения, что возможно при \(r = 0 \ldots \frac{3}{4}R\), то в этом слое находятся положительные заряды (предположительно — ионы), когда же она отрицательная, что возможно при \(r = \frac{3}{4}R \ldots R\), то это означает присутствие в этом слое отрицательных зарядов (электронов). Такое распределение зарядов отражено на рисунке 1a.

Рис.1. Распределение зарядов в Земле (a); исследуем только часть мантии, где расположены отрицательные заряды (b)

Расчёт уединённой ёмкости шара с распределённым в ней зарядом не рассматривается в научной литературе, поэтому мы посвятили этому отдельную работу. Из неё следует формула для нахождения такой ёмкости: \[C = 4\pi \int \limits_0^R {\rho (r) r^2 \over \varphi (r)} \Bbb{d} r \qquad (3)\] Но в нашем случае распределение заряда в шаре имеет разные знаки в разных его частях, поэтому далее мы будем искать две ёмкости: для его положительной и отрицательной части по-отдельности.

1. Отрицательно заряженная часть шара
Наше условие схематично изображено на рисунке 1b. Мы мысленно убираем положительный заряд в той части шара, где радиус принимает значения от нуля до ¾R, и оставляем отрицательный заряд той части шара, где радиус принимает значения от ¾R до R. Ещё, для упрощения записи, мы введём такое обозначение: \[ x = {r \over R} \qquad (4) \] Тогда формула (3) запишется так: \[C^{-} = 4\pi R^3 \int \limits_{3/4}^1 {\rho(x) x^2 \over \varphi (x)} \Bbb{d} x \qquad (5)\] Распределение заряда нам уже известно из формулы (2), а распределение потенциала \(\varphi(r)\), с учётом (4), мы найдём из этой работы: \[\varphi(x) = {R^2 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{x} \int \limits_{3/4}^x x^2 \rho(x)\, \Bbb{d} x + \int \limits_x^1 x\, \rho(x)\, \Bbb{d} x \right) \qquad (6)\] Земетим, что в этом выражении, в расчёт принимается только абсолютная проницаемость \(\varepsilon_0\), но для полной ёмкости это значение нужно ещё умножить на относительную проницаемость \(\varepsilon\), которую мы найдём в следующей части этой работы. Подставим формулу (2) в (6), и вычислим распределение потенциала шара на выбранном участке: \[\varphi(x) = {R^2 \over \varepsilon_0} \left( {1 \over 18} - {9 \over 256 x} - {x^2 \over 6} + {x^3 \over 9} \right) \qquad (7)\] Это выражение необходимо подставить в (5), вычислить этот интеграл, и окончательно найти ёмкость отрицательно заряженной части шара: \[C^{-} = 11.997\, \varepsilon_m \varepsilon_0 R \qquad (8)\] Здесь: \(\varepsilon_m\) — относительная диэлектрическая проницаемость мантии Земли.

2. Положительно заряженная часть шара
Здесь мы возьмём только ту часть шара, в которой находятся положительные заряды (рис. 2), при этом радиус может принимать значения от нуля до ¾R. Далее поступим так же, как и в предыдущем случае. Сначала запишем общую формулу для ёмкости: \[C^{+} = 4\pi R^3 \int \limits_0^{3/4} {\rho(x) x^2 \over \varphi (x)} \Bbb{d} x \qquad (9)\] Найдём распределение потенциала в выбранной части шара: \[\varphi(x) = {R^2 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{x} \int \limits_0^{x} x^2 \rho(x)\, \Bbb{d} x + \int \limits_x^{3/4} x\, \rho(x)\, \Bbb{d} x \right) \qquad (10)\] Взяв этот интеграл получим: \[\varphi(x) = {R^2 \over \varepsilon_0} \left( {(4x - 3)^2 (8x + 3) \over 288} - {(x - 1) x^2 \over 3} \right) \qquad (11)\] Пожставляя полученный результат в (5), окончательно получим ёмкость положительно заряженной части шара: \[C^{+} = 6.521\, \varepsilon\varepsilon_0 R \qquad (12)\] На самом деле, эта ёмкость должна складываться из двух составляющих. Ведь от ¾R до примерно 0.547R продолжается мантия Земли со своей проницаемостью \(\varepsilon_m\), а от 0.547R — до центра Земли располагается её ядро [3-4], у которого наблюдается своя проницаемость \(\varepsilon_c\). Такое распределение предcтавлено на следующем рисунке.

Рис.2. Положительно заряженная часть Земли, состоящая из ядра 0-0.547R, и части мантии 0.547R-¾R

Наш читатель, пользуясь формулами (9-11), может самостоятельно пересчитать эти две ёмкости, а мы — сразу же запишем ответ: \[C_m^{+} = 2.35\, \varepsilon_m \varepsilon_0 R \qquad (13)\] \[C_c^{+} = 4.171\, \varepsilon_c \varepsilon_0 R \qquad (14)\] В сумме они дают ёмкость из выражения (12).

Формулы (8) и (12-14) определяют ёмкости отрицательно и положительно заряженной части нашей планеты. Но для окончательного решения необходимо найти ОДП мантии и ядра планеты.

Относительная диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, зависит от частоты. Но здесь мы делаем предположение, что длина волны поля значительно больше характерных размеров системы и процессы поляризации успевают за его изменением.

Известно, что для статистической смеси многокомпонентной среды можно применить обобщённую формулу из [5]: \[\varepsilon^s = \sum v_i\, \varepsilon_i^s \qquad (15)\] где: \(\varepsilon\) — средняя ОДП для смеси, состоящей из \(i\) компонент, \(v_i\) — весовая часть i-той компоненты, \(\varepsilon_i\) — ОДП i-той компоненты. При этом, сумма всех \(v_i\) равна единице. Ландау и Лифшицем был предложен коэффициент \(s\) равный 1/3, применение которого даёт хорошую точность для этой формулы.

Найдём ОДП мантии Земли используя данные из этой таблицы и выражения (15): \[\varepsilon_m \approx 6.5 \qquad (16)\] что хорошо согласуется с данными по керамике подобного состава [6].

Состав ядра, в основном, состоит из железа, с небольшими включениями никеля и серы [7]. Применяя тот же принцип, и исходя из того, что ОДП железа и никеля равно около 2.6, а серы — порядка 3, мы можем найти среднюю ОДП ядра Земли: \[\varepsilon_c \approx 2.7 \qquad (17)\]

Соединяя вместе все полученные формулы и данные этой работы, мы можем найти уединённую ёмкость нашей планеты. Она будет состоять из двух компонент: ёмкости отрицательно заряженной части Земли \[C^{-} = 11.997\, \varepsilon_m \varepsilon_0 R \approx 4.4\cdot 10^{-3}\, (F) \qquad (18)\] и ёмкости положительно заряженной части Земли \[C^{+} = (2.35\, \varepsilon_m + 4.171\, \varepsilon_s) \varepsilon_0 R \approx 1.5\cdot 10^{-3}\, (F) \qquad (19)\] Итак, для отрицательно заряженной части нашей планеты, её уединённая ёмкость составляет примерно 4400 микрофарад, а для положительно заряженной — 1500 микрофарад. Можно ли складывать эти ёмкости вместе — большой вопрос, и скорее всего, для расчётов их необходимо использовать по-отдельности.

Как мы видим, полученные результаты количественно и качественно отличаются от озвученных в начале этой работы. Конечно же, они могут уточняться по мере появления новых данных от геофизической науки о Земле. Но эту же методику можно применять и для вычисления уединённой ёмкости любой другой планеты, если известны её параметры: радиус, глубина залегания слоёв и их химический состав.