В этом приложении к работе о построении проекций глобального вектора на наш 4D мир, мы ответим на вопросы о том, почему же скорость света во всех системах отсчёта постоянна, и почему она не может превышать определённое значение. В традиционной физике подобные вопросы обычно не рассматриваются, а принимаются как данность, и просто постулируются.

Сразу же оговоримся, что все доказательства будут касаться математической точки в пространстве, двигающейся со скоростью \(v\), причём, в общем случае, она может зависеть от времени \(t\): \[ v = v(t) \tag{1}\] То есть, это доказательство не ограничивает других возможных объектов, которые могут иметь сверхсветовую скорость.

Ответ на поставленные вопросы может даёт наша гипотеза о единичном пространстве и векторная алгебра. Сначала мы математически докажем ограничение световой скорости в любой системе отсчёта, из чего станет ясен геометрический смысл, а в конце работы — представим энергетический смысл такого ограничения.

Предположим, что точка движется со скоростью \(v_1\) образуя следующий глобальный вектор скорости, который мы далее будем сокращённо обозначать так — GVV: \[ \mathbf{V}_1 = \frac{c}{\gamma_1} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta_1^n \tag{2}\] Здесь \[ \beta_1 = {v_1 \over c}, \quad \gamma_1 = {1 \over \sqrt{1 - \beta_1^2}}, \quad n=0,1,2,3,\ldots \tag{3}\] где: \(\gamma\) - Лоренц-фактор, \(c\) — скорость света, \(\mathbf{j_n}\) — единичные вектора координат многомерного пространства (в неподвижной системе координат).

Также, в этой же системе координат движется вторая точка со скоростью, образующая свой GVV: \[ \mathbf{V}_2 = \frac{c}{\gamma_2} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta_2^n \tag{4}\] \[ \beta_2 = {v_2 \over c}, \quad \gamma_2 = {1 \over \sqrt{1 - \beta_2^2}} \tag{5}\] Такое расположение векторов схематично представлено на рисунке 1a. Здесь нужно понимать, что на самом деле координат бесконечно много, отражены лишь первые три из них. Они образованы единичными векторами: \(\mathbf{j_0}, \mathbf{j_1}, \mathbf{j_2}\)

Тогда, с помощью правил векторной алгебры, можно найти косинус угла между этими GVV [1]: \[ \cos(\alpha) = { \mathbf{V}_1 \mathbf{V}_2 \over |\mathbf{V}_1| |\mathbf{V}_2| } \tag{6}\] где \(|\mathbf{V}|\) — модуль вектора (его длина), которая, согласно законам глобального вектора, равна скорости света: \[ |\mathbf{V}| = c \]

Тогда, подставляя эти модули, и скалярно перемножая слагаемые двух сумм из (2) и (4), мы получим: \[ \cos(\alpha) = { 1 \over \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) } \tag{7}\] Этот угол останется неизменным и в другой системе декартовых координат.

Осталось найти более удобную для нас систему координат, в которой направление вектора \(\mathbf{V}_2\) совпадало бы с направлением базового единичного вектора новой системы координат (рис. 1b): \[ \mathbf{V}_2 \uparrow \mathbf{i_0} \tag{8}\] Такая новая система координат образована единичными векторами: \(\mathbf{i_0}, \mathbf{i_1}, \mathbf{i_2}, \ldots\) в подвижной системе координат. В ней мы так же можем описать глобальный вектор \(\mathbf{V}_1\), но уже относительно \(\mathbf{V}_2\): \[ \mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{i_n} \beta^n \tag{9}\] \[ \beta = {v \over c}, \quad \gamma = {1 \over \sqrt{1 - \beta^2}} \tag{10}\] Здесь \(v\) — скорость \(v_1\) относительно \(v_2\).

По известному правилу векторной алгебры, который мы уже применяли в (6), найдём тот же косинус угла, но уже между \(\mathbf{i_0}\) и \(\mathbf{V}\): \[ \cos(\alpha) = { \mathbf{i_0} \mathbf{V} \over |\mathbf{i_0}| |\mathbf{V}| } = { 1 \over \gamma } \tag{11}\] Приравняем выражения (7) и (11): \[ \gamma = \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) \tag{12}\] Откуда найдём сумму (разность) скоростей: \[ \beta = { \beta_2 - \beta_1 \over 1 - \beta_2 \beta_1} \tag{13}\] Но если скорость \(v_2\) имеет противоположное от \(v_1\) направление, то это выражение можно записать так: \[ \beta = { \beta_2 + \beta_1 \over 1 + \beta_2 \beta_1} \tag{14}\] К слову, эту формулу выводят в СТО, но делают это через производные, без ясного геометрического объяснения. Формула (14) очень важна, на ней будет строиться наше доказательство.

С формулой (14) легко доказать абсолютность скорости света в любой системе отсчёта. Допустим, что \(v_1\) достигла световой скорости, а значит \(\beta_1=1\), тогда: \[ \beta = { \beta_2 + 1 \over 1 + \beta_2 \cdot 1} = 1 \tag{15}\] А это, в свою очередь означает, что \(v_2 = c\). То есть, если скорость первой точки равна скорости света относительно неподвижной систему координат, то эта скорость будет сохраняться относительно любой другой движущейся или покоящейся точки. Исключение составляют две точки, движущиеся с одинаковой скоростью, в одном и том же направлении (13). В этом случае, очевидно, скорость между ними будет нулевая, так как, по сути, это будет одна точка.

В единичном пространстве можно получить разные варианты геометрии скоростей. Давайте рассмотрим ещё один, когда \(\mathbf{V}_1\) и \(\mathbf{V}_2\) находятся в разных системы координат, в которых направляющие единичные векторы перпендикулярны друг другу, и единственное, что их объединяет, — общая координата времени (базовый единичный вектор), то есть: \[ \left\{\begin{matrix} \mathbf{j_n} \cdot \mathbf{i_n} = 1, & \text{if} & n=0 \\ \mathbf{j_n} \cdot \mathbf{i_n} = 0, & \text{if} & n > 0 \end{matrix}\right. \tag{16}\] Далее, мы проделываем те же опрерации, что и раньше (6-12) и сначала находим косинус угла между такими векторами из неподвижной системы координат: \[ \cos(\alpha) = { \mathbf{V}_1 \mathbf{V}_2 \over |\mathbf{V}_1| |\mathbf{V}_2| } = { 1 \over \gamma_1 \gamma_2 } \tag{17}\] А потом находим новую систему координат, в которой базовый единичный вектор будет совпадать с направлением базового единичного вектора новой системы координат. Из неё найдём косинус нужного угла: \[ \cos(\alpha) = { \mathbf{i_0} \mathbf{V} \over |\mathbf{i_0}| |\mathbf{V}| } = { 1 \over \gamma } \tag{18}\] После приравнивания (17) и (18), выведедем скорость \(v\), которая покажет нам скорость \(v_1\) относительно движущейся системы координат \(v_2\): \[ \beta = \sqrt{\beta_1^2 + \beta_2^2 - \beta_1^2 \beta_2^2 } \tag{19}\] В отличие от формулы (14) здесь появляется квадратный корень. Это и понятно, так как все направляющие векторы (кроме базового) перпендикулярны друг другу. Формула (19) выводится и в теории СТО для взаимно перпендикулярных скоростей, но её геометрический смысл там не всегда очевиден.

Используя формулу (19) представим, что \(v_1\) достигла световой скорости, а значит \(\beta_1=1\), тогда: \[ \beta = \sqrt{1 + \beta_2^2 - \beta_2^2 \cdot 1 } = 1 \tag{20}\] Это значит, что при такой постановке задачи, скорость в движущейся системе отсчёта будет равняться скорости света и совпадать со скоростью в неподвижной системе. То есть, и в этом случае скорость света не зависит от системы отсчёта.

Если ввести понятие удельной энергии математической точки как квадрата скорости без учета массы, то становится очевидным, что её скорость в нашем 4D мире — это лишь отражение (проекция) некой более глобальной скорости. Сама же глобальная скорость точки по модулю всегда равна скорости света, что позволяет ей соблюдать такой же глобальный закон сохранения энергии. Мы можем изменить лишь направление её движения!