В теории единичного пространства появилась потребность в особой алгебре [1], чтобы правильно описать все его свойства. Это связано с тем, что все действия там, по сути, происходят под квадратным корнем, возникающим автоматически после преобразования скалярной функции в её векторный аналог. Применение данного метода не позволяет использовать действия с классической мнимой единицей [2], и делает их неподходящими для наших целей.

Например, если задана функция \[ f(x) = \sqrt{ -\sin(x) } \tag{1}\] то в классической алгебре её можно было бы записать так: \[ f(x) = i\, \sqrt{ \sin(x) } \tag{2}\] Это приведёт к тому, что при появлении отрицательных значений \(x\) мы получим \[ f(x) = i\, \sqrt{ \sin(-x) } = i\, \sqrt{- \sin(x) } = i^2 \sqrt{\sin(x) } = - \sqrt{ \sin(x) } \tag{3}\] где: \(i\) — мнимая единица, квадрат которой равен минус один [2].

Но на самом деле нам нужно получить \[ f(x) = \sqrt{ -\sin(-x) } = \sqrt{ --\sin(x) } = \sqrt{ \sin(x) } \tag{4}\] что вполне логично, так как нас никто не заставлял выносить минус за знак корня :)

Как мы видим, между (3) и (4) есть существенное отличие в знаке перед корнем. Эта же проблема автоматически возникает в случае преобразования скалярных функций в векторные согласно следующей теореме. Проблема полностью разрешается, если, наряду с векторами, ввести гиперболические числа [3].

Эти числа имею также и другие названия: паракомплексные, split-complex, «числа Плюккера» и даже дуальные или расщеплённые. Нам их будет удобно применять именно для случая (4), когда действия с минусом не выносятся за подкоренное выражение. Немного поговорим о правилах такой алгебры.

Определение
Число имеет вид \[ z = a + \i b, \quad a,b \in \mathbb{R}, \quad \i^2 = 1 \tag{5}\] Здесь мы вводим символ «\(\i\)» — гиперболическую единицу, чтобы различать его с классической мнимой единицей — \(i\), которая также может быть задействована в этой алгебре, в общем случае.

Основные правила

1. Сложение \[ (a + \i b) + (c + \i d) = (a + c) + \i (b + d) \]
2. Умножение \[ (a + \i b) (c + \i d) = (ac + bd) + \i (ad + bc) \]
3. Сопряжение \[ \overline{a + \i b} = a - \i b \]
4. «Норма» (по аналогии с комплексными) \[ z \cdot \overline{z} = (a + \i b) (a - \i b) = a^2 - b^2 \] Норма — не всегда положительное число, и может равняться нулю, даже при \(z \ne 0\).
5. Некоторые полезные действия с гиперболической единицей \[ \i = -\oi \] \[ \oi\kern1pt^n = (-1)^n \i^n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ \i^n \cdot \oi\kern1pt^n = (-1)^n \]

Давайте сравним эти две алгебры в виде следующей таблицы.

Разницу между этими двумя алгебрами также можно посмотреть на следующем примере. Два корня из отрицательной единицы можно перемножить, в общем случае, двумя способами: \[ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2 = -1 \tag{6}\] и \[ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = 1 \tag{7}\] Очевидно, что гиперболическая алгебра использует вторую возможность, и её поэтому можно назвать «подкоренной», так как все умножения производятся здесь под квадратным корнем. К слову, этот момент имеет большое философское значение.

Задача этой работы — соединить векторную алгебру с алгеброй гиперболических чисел. Вместе — они дадут нам инструмент, хорошо описывающий формализм единичного пространства, который можно назвать «гиперболическая векторная алгебра».

В этой алгебре, скалярное произведение двух векторов, содержащие \(\i\), будет немного отличаться от классического: \[ \A \cdot \B = \sum_n \overline{a}_n\, b_n \tag{8}\] Это так называемое эрмитово скалярное умножение, где \(\sum \overline{a}_n b_n\) — обычная сумма произведений координат, но \(\overline{a}_n\) — должно быть при этом комплексно сопряжённым. То есть, если \[ a_n = c_n + \i\kern1pt d_n \tag{9}\] то комплексно сопряжённая величина будет такой: \[ \overline{a}_n = c_n - \i\kern1pt d_n \tag{10}\] Отсюда следует некоммутативность такой алгебры \[ \A \cdot \B \ne \B \cdot \A \tag{11}\] что приводит к некоторым ограничениям, но только в случаях с участием в преобразованиях гиперболической единицы (пример). А вот гиберболическим функциям [4] в векторном пространстве — гиперболическая единица не требуется, как бы это странно ни звучало! Там свойство коммутативности вполне себе работает \[ \A \cdot \B = \B \cdot \A, \tag{12}\] а скалярное умножение производится классическим способом. То есть, гиперболическая векторная алгебра может адаптироваться под конкретную задачу. Её применение можно посмотреть в этой работе.

Воспользуемся готовым преобразованием скалярного косинуса в векторный, который мы запишем в таком виде: \[ \cos(x/2) \to \j_0 + \summa \j_{2n} (\i)^n X_{2n} \tag{13}\] В формуле (13) справа мы получили векторный косинус, в котором \[ X_{2n} = \sqrt{ \frac12 {x^{2n} \over (2n)!} } \tag{14}\] Здесь: \(\j_n\) — единичные вектора, \(n\) — целые числа.

Теперь попробуем умножить векторный косинус сам на себя по правилам гиперболической векторной алгебры: \[ \left( \j_0 + \summa \j_n (\i)^n X_n \right) \cdot \left( \j_0 + \summa \j_n (\oi)^n X_n \right) = 1 + \summa (\i)^n (\oi)^n X_n^2 = \\ = 1 + \summa (-1)^n X_n^2 = {1 + \cos(x) \over 2} = \cos^2(x/2) \tag{15}\] Это и требовалось получить. Умножение гиперболической единицы на сопряжённую к ней, в степени \(n\), можно подсмотреть в Основных правилах, представленных чуть ранее. Сумму ряда мы берём из стандартного разложения в ряд Маклорена [5].

В данной работе был предложен формализм, объединяющий векторную алгебру, и алгебру гиперболических чисел, что обеспечивает строгий математический аппарат для описания теории единичного пространства. Введение гиперболической единицы устраняет неоднозначности при операциях с выражениями под квадратным корнем и позволяет естественным образом интерпретировать гиперболическую геометрию и релятивистские преобразования. Построенная алгебра обладает расширенными свойствами по сравнению с классической комплексной, включая возможность описания неклассических метрик и выявление некоммутативности ряда операций. Представленный подход формирует основу для дальнейшего исследования аналитических свойств векторных функций и развития геометрических моделей в рамках теории единичного пространства.