В этой статье привычные синус и косинус предстают в неожиданной роли — как векторные сущности в многомерном пространстве. Это становится возможным благодаря единичному пространству и его необычным свойствам, в котором даже привычный (скалярный) синус и косинус могут стать векторными величинами. Для правильного функционирования операций умножения и сложения векторов здесь применяется особая математика — гиперболическая векторная алгебра. Работа представляет новый подход к тригонометрическим функциям через их векторное обобщение, что расширяет классическую тригонометрию и открывает новые возможности её применения.

Давайте преобразуем привычные всем скалярные функции в вектор согласно этой теореме, но сделаем это отдельно для её косинусной, и отдельно для её синусной части. Для краткости последующих формул, будем это преобразование далее обозначать так \[ \cos\v \to \Cos\v \\ \sin\v \to \Sin\v \tag{1}\] где: \(\Cos\v, \Sin\v\) — векторный косинус и синус соответственно.

Распишем первые несколько членов ряда такого преобразования: \[ \Cos\v = \j_0 + {1 \over \sqrt{2}} \left( \j_2 {\ik \a \over \sqrt{2!}} + \j_4 {\a^2 \over \sqrt{4!}} + \j_6 {\ik \a^3 \over \sqrt{6!}} + \ldots \right) \\ \Sin\v = {1 \over \sqrt{2}} \left( \j_2 {\a \over \sqrt{2!}} + \j_4 {\ik \a^2 \over \sqrt{4!}} + \j_6 {\a^3 \over \sqrt{6!}} + \ldots \right) \tag{2}\] Здесь: \(\mathbf{j_n}\) — единичные векторы, \(n\) — целые положительные числа, \(\i\) — гиперболическая единица, квадрат которой равен плюс один, \(\v\) — угол, взятый для удобства отображения, как половина от \(\a\): \[\v = {\a \over 2} \] В самом общем случае, рядом с каждым слагаемым ряда (2) добавляется равновероятный знак плюс или минус (\(\pm\)). Для краткости мы не будем это записывать, а просто подразумевать, так как для парных операций эти знаки будут попарно одинаковые и на результат не повлияют.

Напомним также, что при преобразовании скаляра в вектор, и наоборот, соблюдается равенство квадратов скалярной и векторной функции: \[ \Cos\v \cdot \Cos\v = \cos^2 \!\v \tag{3}\] \[ \Sin\v \cdot \Sin\v = \sin^2 \!\v \tag{4}\] Необходимо заметить, что при скалярном умножении двух векторных функций с расширением гиперболических чисел, в общем случае должно применяться эрмитово скалярное умножение.

Представим векторный косинус и синус в более простой, и в то же время — наиболее общей форме, воспользовавшись следующим преобразованием. Но запишем эти формулы в таком виде: \[ \S = \sumn{1} \j_{2n}\, (\i)^n \sqrt{ \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} } \\ \S^{*} = \sumn{1} \j_{2n}\, (\oi)^n \sqrt{ \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} } \tag{5}\] \[ \Cos\v = \j_0 + \S \tag{6}\] \[ \Sin\v = \ik \S \tag{7}\] Для последующего изложения нам понадобятся некоторые соотношения, вытекающие из правил умножения гиперболических векторных функций, и рядов Маклорена [1]. Они в будущем сильно сократят наши выкладки. \[ \S^{*} \cdot \S = \sumn{1} (\oi)^n (\i)^n \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} \tag{8}\] Здесь \(\oi\) — комплексно-сопряженная гиперболическая единица.

Так как в гиперболической алгебре \[ \oi\kern1pt^n \cdot \i^n = (-1)^n \] то \[ \S^{*} \cdot \S = \sumn{1} (-1)^n \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} = {\cos(\a) - 1 \over 2} = -\sin^2\v \tag{9}\] Также очевидно, что \[ \S \cdot \j_0 = \S^{*} \cdot \j_0 = 0 \tag{10}\] Тогда из выражения (9) автоматически выводится квадрат векторного синуса \[ \Sin\v \cdot \Sin\v = \oi\S^{*} \cdot \ik\S = \oi\ik\, \S^{*} \cdot \S = \sin^2\v \tag{11}\] который был представлен в свойстве (4). Аналогично можно получить и свойство (3).

Давайте попробуем соединить векторные синус и косинус разными способами. Для начала посмотрим на сумму их квадратов: \[ \Cos\v^2 + \Sin\v^2 = 1 \tag{12}\] Это свойство выводится из формул (3-4) и правил тригонометрии. Необходимо заметить, что аналогичным свойством обладает и сумма квадратов скалярного синуса и косинуса.

Необычным может показаться следующее произведение векторного косинуса и синуса. Если следовать соотношениям (9-10) получим \[ \Cos\v \cdot \Sin\v = (\j_0 + \S^{*}) \ik\S = -\ik\sin^2\v \tag{13}\] Перемножение векторного синуса и косинуса даст то же значение, но с противополжным знаком: \[ \Sin\v \cdot \Cos\v = \ik\sin^2\v \tag{14}\]

Теперь можно найти квадрат суммы векторного синуса и косинуса: \[ \left[ \Cos\v + \Sin\v \right]^2 = \Cos\v^2 + \Sin\v^2 + \Cos\v \cdot \Sin\v + \Sin\v \cdot \Cos\v = 1 \tag{15}\] Таким же образом найдём и квадрат разности \[ \left[ \Cos\v - \Sin\v \right]^2 = 1 \tag{16}\] который так же окажется равен единице. Это удивительной свойство принципиально отличает гиперболическую векторную алгебру от классической векторной. Можно показать, что квадраты модулей разности и суммы векторного косинуса и синуса тоже будут равны единице.

А вот такая разность векторов может натолкнуть нас на некоторые размышления: \[ \Cos\v - \ik\Sin\v = \j_0 \tag{17}\] Соответственно модуль этого выражения также окажется равным единице: \[ |\Cos\v - \ik\Sin\v| = 1 \tag{18}\]

В данной заметке представлено новое понимание привычных функций синуса и косинуса — как векторных объектов в многомерном пространстве. Благодаря использованию гиперболической векторной алгебры эти функции приобретают необычные свойства, при этом сохраняют важные тригонометрические соотношения, например, равенство суммы их квадратов единице. Показаны примеры преобразования скалярных функций в векторные ряды и доказаны ключевые тождества, подтверждающие согласованность такой системы. Новая форма записи раскрывает дополнительные симметрии и особенности, отсутствующие в классической алгебре векторов.

В следующей статье будут рассмотрены произведения векторных синусов и косинусов при различных углах. Это позволит выявить новые закономерности их взаимодействия и расширит понимание тригонометрических функций в многомерной векторной форме.