В предшествующих разделах данного исследования были выведены формулы для разнообразных комбинаций векторного синуса и косинуса. Основываясь на этой методологии, мы переходим к рассмотрению аналогичных комбинаций, но уже в контексте гиперболических функций [1].

Рассмотрим более детально векторные гиперболические функции косинуса и синуса, используя преобразование \[ \ch\v \to \Ch\v \\ \sh\v \to \Sh\v, \tag{1}\] представленное в данном источнике. Запишем соответствующие формулы в следующем виде: \[ \Ch\v = \j_0 + \sumn{1} \j_n \sqrt{ {1 + (-1)^n \over 4} {\a^{n} \over n!} } \\ \Sh\v = \sumn{1} \j_n \sqrt{ {1 + (-1)^n \over 4} {\a^{n} \over n!} } \tag{2}\] \[ \v = {\a \over 2} \tag{3}\] где \(\v\) — угол, взятый для удобства отображения, как половина от \(\a\).

Исходя из главного свойства преобразования скаляра в вектор обозначим, что: \[ [\Ch\v]^2 = \ch^2 \v \\ [\Sh\v]^2 = \sh^2 \v \tag{4}\] Отсюда, используя свойства понижения степени гиперболических функций [1], сразу можно вывести формулу суммы квадратов: \[ [\Ch\v]^2 + [\Sh\v]^2 = \ch\a \tag{5}\] Для последующих действий нам понадобится произведение гиперболического косинуса и синуса \[ \Ch\v \cdot \Sh\v = \sumn{1} {1 + (-1)^n \over 4} {\a^{n} \over n!} = \frac12 \sumn{0} {\a^{2n} \over (2n)!} - \frac12, \tag{6}\] откуда, применяя сумму ряда Маклорена [2], получим: \[ \Ch\v \cdot \Sh\v = {\ch\a - 1 \over 2} = \sh^2 \v \tag{7}\] Теперь довольно просто найти квадрат суммы гиперболического косинуса и синуса \[ [\Ch\v + \Sh\v]^2 = 2\, \ch\a - 1 = 1 + 4\, \sh^2 \v, \tag{8}\] и квадрат разности \[ [\Ch\v - \Sh\v]^2 = 1 \tag{9}\] А вот разность гиперболического косинуса и синуса окажется равной нулевому по счёту единчиному вектору: \[ \Ch\v - \Sh\v = \pm \mathbf{j_0} \tag{10}\] Это соотношение прямо следует из формулы (2).

Определённый интерес могут представлять произведения векторных гиперболических функций с двумя углами: \[ \v_1 = {\a_1 \over 2}, \quad \v_2 = {\a_2 \over 2} \tag{11}\] Применяя преобразование (2) можно найти произведение двух гиперболических синусов с разными углами \[ \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 = \sumn{1} {1 + (-1)^n \over 4} {\sqrt{\mathstrut \a_1^{n} \a_2^{n}} \over n!} = \frac12 \sumn{1} {(\a_1 \a_2)^{n} \over (2n)!} \tag{12}\] Очевидно, что сумма ряда равна скалярному гипер косинусу без единицы, что следует из рядов Маклорена [2], если принять что \[ \sqrt{\a_1 \a_2} = x \] Тогда \[ \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 = \frac12 \sumn{0} {x^{2n} \over (2n)!} - \frac12 = { \ch x - 1 \over 2} = \sh^2 {x \over 2} \tag{13}\] Подставляя вместо \(x\) начальные углы получим: \[ \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 = \sh^2 \vvq \tag{14}\] Аналогично доказывается и произведение двух векторных гипер косинусов с разными углами: \[ \Ch\v_1 \cdot \Ch\v_2 = \ch^2 \vvq \tag{15}\] Для векторных гиперболических функций также можно построить красивое и совершенно неочевидное выражение, проистекащее из наших выкладок: \[ \Ch\v_1 \cdot \Ch\v_2 - \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 = 1 \tag{16}\] Сравните его с формулой (10) из предшествующего раздела.

Сведём полученные формулы из этой части работы в одну таблицу.

№	Действие	Результат
1	\( \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 \)	\( \sh^2 \vvq \)
2	\( \Ch\v_1 \cdot \Ch\v_2 \)	\( \ch^2 \vvq \)
3	\( \Ch\v_1 \cdot \Ch\v_2 - \Sh\v_1 \cdot \Sh\v_2 = 1 \)
4	\( \Ch\v_1 \cdot \Sh\v_2 \)	\( \sh^2 \vvq \)
5	\( \left[ \Ch\v + \Sh\v \right]^2 \)	\( 1 + 4\, \sh^2\v \)
6	\( \left[ \Ch\v - \Sh\v \right]^2 \)	\( 1 \)
7	\( \Ch\v - \Sh\v \)	\( \pm \mathbf{j_0} \)
8	\( |\Ch\v| \)	\( \ch\v \)
9	\( |\Sh\v| \)	\( \pm\, \sh\v \)
10	\( |\Ch\v + \Sh\v|^2 = [\Ch\v]^2 + [\Sh\v]^2 = \ch\a \)

Этот угол можно довольно просто вывести из полученных ранее формул: \[ \cos \theta = {\Ch\v \cdot \Sh\v \over |\Ch\v| |\Sh\v| } = \pm \mathbb{th}\, \v \tag{17}\] Таким образом, косинус угла между векторами гиперболического синуса и косинуса равен гиперболическому тангенсу, откуда можно найти сам угол. Можно показать, что если \(\v\) стремится к большому значению, угол между векторам стремится к нулю.

Основные результаты работы:

• Установлено, что векторные гиперболические функции сохраняют связь с классическими скалярными.
• Выведены свойства их квадратов, суммы и разности.
• Показано, что произведения и комбинации этих функций образуют строгие закономерности, аналогичные известным тождествам для обычных гиперболических функций.
• Найдены нетривиальные результаты для функций с разными углами, которые приводят к неожиданно простым и красивым соотношениям.
• Все полученные выводы сведены в таблицу для удобства использования.

В целом, работа расширяет классическую теорию гиперболических функций на векторный случай, сохраняя её внутреннюю логику и выявляя новые симметричные закономерности.