В этой работе мы постараемся привлечь внимание искателей свободной энергии к параметрическим цепям. Эта малоизведанная часть радиоэлектроники пока остаётся непопулярной и даже закрытой темой. А между тем, при определённых условиях, такие цепи могут открыть новые возможности для поиска новых источников энергии и увеличения КПД второго рода.

Здесь мы будем рассматривать цепи первого порядка, т.е. включающие в себя RC или RL элементы. Отличием от классического подхода будет являться то, что ёмкость или индуктивность будут вести себя нелинейно, а точнее — параметрически зависеть от тока или напряжения. Цель этой заметки: при помощи классической физики и математики найти условия, при которых такие цепи могут давать энергетический выигрыш, а также вывести формулы для подсчёта свободной энергии в таких цепях (впервые!).

Для этого в начале определимся с терминологией; она облегчит дальнейшее восприятие информации и сократит текст. Согласно классификации здесь будут рассматриваться генераторы первого рода и первого порядка. В частичном цикле (PCC) энергия в реактивных элементах может присутствовать, как в начале, так и в конце измерений, поэтому введём ещё два подраздела частичного цикла: PCCIE и PCCFE соответственно. PCCIE отличается ещё тем, что к моменту начала работы этого цикла, источник питания отключается, т.е. \(U(t)=0\).

Для упрощения формул и рассуждений примем значение сопротивления \(R\) равным единице. Поскольку это константа, то сделать её отличной от этого значения мы сможем в любой момент. Тогда общее дифференциальное уравнение для цепей первого порядка будет таким [1]: \[Z(Y)\,\dot Y_t + Y = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (4.1)\] где: \(Z(Y)\) — реактивное сопротивление параметрически зависящее от \(Y\). Само сопротивление может быть ёмкостью или индуктивностью в зависимости от вида цепи — RC или RL соответственно. \(Y\) может выступать напряжением, если это RC-цепь и током, если это RL-цепь. Также, нам необходимо вспомнить, как математически преобразовать ток в напряжение (и наоборот) в реактивных элементах: \[\Phi(t) = Z(Y)\,\dot Y_t \qquad (4.2)\] где \(\Phi\) — это ток в RC-цепи или напряжение в RL-цепи. Теперь подставляя (4.2) в (4.1) получим характеристическое уравнение: \[\Phi(t) + Y = U(t) \qquad (4.3)\]

Домножим каждый его член на \(\Phi\) и проинтегрируем обе части: \[\int_0^T \Phi(t)^2\, dt + \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T U(t)\,\Phi(t)\, dt \qquad (4.4)\] Введём название для каждого из членов этого уравнения: \[W_R + W_F = W_E \qquad (4.5)\] Если смотреть на уравнение слева направо, то его члены представляют собой: активную энергию рассеивания на сопротивлении \(R\), потенциальную — на реактивном элементе, а справа от знака равенства располагается энергия, которую затрачивает источник питания на весь процесс.

Давайте отдельно рассмотрим \(W_F\). Это очень важный элемент полностью определяющий свободную энергию в такой системе. Сделаем туда подстановку из формулы (4.2) \[W_F = \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T Z(Y)\,Y\,\dot Y_t\, dt \qquad (4.6)\] и после некоторых преобразований найдём его общий вид: \[W_F = \int_{Y(0)}^{Y(T)} Z(Y)\,Y\, dY \qquad (4.7)\] Обратите внимание на эту формулу — при определённых условиях она в себе и содержит потенциально достижимую свободную энергию в параметрических реактивностях. Одна из интересных её особенностей — формула не зависит от временно́й координаты \(t\). Чуть позже мы к ней вернёмся, а пока покажем, что для RL-цепи доказательство выводится аналогично.

Поменяем местами первый и второй члены характеристического уравнения (4.3), домножим каждый член на \(Y\), после чего проинтегрируем обе части: \[\int_0^T Y^2\, dt + \int_0^T Y\,\Phi(t)\, dt = \int_0^T U(t)\,Y\, dt \qquad (4.8)\] Как и в случае с RC-цепью здесь мы видим всё те же слагаемые: \[W_R + W_F = W_E\] а потенциальная энергия реактивного элемента \(W_F\) находится точно так же (см формулу 4.7).

Если понятен предыдущий материал, то доказательство для FCC выводится очень просто: для этого достаточно оценить энергию \(W_F\). Из определения известно, что в начале и конце полного цикла энергия в реактивном элементе отсутствует, а это значит, что пределы интегрирования \(Y(0)\) и \(Y(T)\) в (4.7) равны нулю. Следовательно, \(W_F\) также равна нулю, а оставшиеся два члена уравнения (4.5) равны между собой: \[W_R = W_E \qquad (4.9)\]

В цепях первого порядка, в полном цикле, невозможно получить прибавку энергии даже, если реактивный элемент — параметрический. Это не зависит ни от характера параметрической зависимости, ни от выбранного интервала по времени.

Интуитивно это понятно: даже если дополнительная энергия появляется в нарастающем цикле, то она компенсируется на спадающем, или наоборот. Частный случай FCC с ёмкостной цепью рассматривается более подробно здесь.

Поскольку в случае с PCCIE питание отсутствует и \(U(t)=0\), то в уравнении (4.5) энергия \(W_E\) будет равна нулю и \[W_R = -W_F \qquad (4.10)\] а накопленная до начала этого цикла энергия в реактивном элементе будет выражаться, очевидно, так: \[W_0 = \frac{Z_0\, Y_0^2}{2} \qquad (4.11)\] где \(Z_0\) и \(Y_0\) — значения ёмкости-индуктвности и напряжения-тока в начальный момент цикла. Таким образом, коэффициент приращения энергии будет находиться, как отношение \(W_R\) — энергии рассеяния на сопротивлении, к \(W_0\) — начальной энергии: \[K_{\eta 2} = \frac{W_R}{W_0} = -\frac{W_F}{W_0} \qquad (4.12)\] Возвращаясь к формуле (4.7) нужно для начала определить границы интегрирования. \(Y(0)\) — это и будет \(Y_0\), а \(Y(T)\), по определению PCCIE, равно нулю. Подставляя полученные данные, получаем окончательную формулу для свободной энергии в PCCIE: \[K_{\eta 2} = { 2 \over Z_0\, Y_0^2} \int_{0}^{Y_0} Z(Y)\,Y\, dY \qquad (4.13)\] Из формулы сразу же видно, что если параметрическая зависимость отсутствует и \(Z(Y)=Z_0\), то никакого приращения энергии нет и \(K_{\eta 2}=1\).

Выше был рассмотрен общий подход к задаче. Для частного случая PCCIE с индуктивной цепью читайте отдельную работу с вычислениями и специализированным калькулятором.

Из определения PCCFE следует, что уравнение (4.5) остаётся в прежнем виде, а вот нижняя граница интеграла (4.7) станет равна нулю — \(Z(0)=0\). Перепишем это уравнение так: \[W_R = W_E - W_F \qquad (4.14)\] Очевидно, что для получения энергетического выигрыша энергия, выделенная на сопротивлении должна быть больше затраченной источником питания, а это означает, что слагаемое \(W_F\) должно быть меньше нуля: \[W_F \lt 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{Y(T)} Z(Y)\,Y\, dY \lt 0 \qquad (4.15)\] Такая постановка вопроса может показаться довольно сложной для отображения в реальном мире. Но на самом деле физический смысл всего этого — возможная постоянная составляющая, возникающая в переменных полях. Например, если поле высоковольтное и высокочастотное, то постоянная составляющая может проявиться в виде электростатики оседающей на окружающих устройство предметах.

Смысл отрицательной \(W_F\) с точки зрения радиоэлектроники — наличие обязательного участка ВАХ с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Также можно предложить экзотический вариант, когда сдвиг между напряжением и током достигает 180 градусов (при возрастании напряжения на катушке индуктивности, ток через неё уменьшается).

Математический же смысл заключается в нахождении оптимальной кривой или же — коэффициентов при степенном ряде, пример которого мы дальше и рассмотрим. Пусть параметрическая зависимость описывается степенным рядом из трёх членов: \[Z(Y) = 1 + k_1 |Y| + k_2 Y^2 \qquad (4.16)\] Такой ряд, например, может описывать изменение проницаемости феррита в зависимости от напряжённости магнитного поля (график). Возьмём от него интеграл и сравним с нулём по формуле (4.15): \[\frac12 Y_T^2 + \frac{k_1}{3}Y_T^2 |Y_T| + \frac{k_2}{4}Y_T^4 \lt 0, \quad Y_T=Y(T) \qquad (4.17)\] Таким образом, задача поиска условий проявления свободной энергии для PCCFE, в такой параметрической зависимости, сводится к нахождению диапазона коэффициентов в неравенстве, при известном \(Y_T\), или же наоборот — поиск оптимального \(Y_T\) при известных коэффициентах: \[1 + \frac{2\,k_1}{3}|Y_T| + \frac{k_2}{2}Y_T^2 \lt 0 \qquad (4.18)\] Более подробно этот пример разбирается здесь.

Как найти изменение КПД в этом случае? Достаточно сравнить энергию рассеяния на сопротивлении с затраченной источником питания: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} = {W_E - W_F \over W_E} = 1 - {W_F \over W_E} \qquad (4.19)\] Отсюда сразу видно, что если будет соблюдено условие (4.15), то \(K_{\eta 2}\) будет больше единицы. Более полная формула для КПД при PCCFE будет такой: \[K_{\eta 2} = 1 - {1 \over W_E} \int_{0}^{Y(T)} Z(Y)\,Y\, dY \qquad (4.20)\]

В этой работе мы доказали, что невозможно получить прибавку энергии в параметрических цепях первого порядка в полном цикле (FCC), т.к. энергия, рассеиваемая на сопротивлении всегда будет равна энергии, затрачиваемой источником питания — формула (4.9). Но если цикл будет неполный, то получение прибавки становится вполне достижимой задачей. Если реактивный элемент содержит в себе потенциальную энергию в начале цикла (PCCIE), то прибавку можно найти по формуле (4.13). Если же в реактивном элементе энергия остаётся на момент окончания цикла, то условия для получения прибавки мы можем найти по формуле (4.15), а приращение КПД — по (4.20).

Нужно понимать, что в этой заметке математически строго доказаны потенциально достижимые значения приращения энергии, часть которой, в реальных реактивностях, может расходоваться неэффективно, например, на нагрев. Тем не менее, на основании доказательства о приращении энергии в частичных циклах, можно получить частные случаи для инженерных расчётов, которые, в свою очередь, позволят строить реальные устройства с высоким КПД.