В этой работе мы рассмотрим электрическую цепь, содержащую нелинейные реактивные элементы: конденсатор и индуктивность. Их нелинейность определяется параметрической зависимостью: ёмкости — от напряжения на ней, а индуктивности — от тока, текущего через неё. Активное сопротивление здесь постоянное, но даже если бы его значение менялось, например, от времени, на доказательство это не повлияло бы. Согласно классификации здесь будут рассматриваться генераторы первого рода и второго порядка. В реальных устройствах параметрическая зависимость может быть только у одного элемента: ёмкости или индуктивности, но здесь мы покажем общий случай, и докажем, что эти элементы будут независимо друг от друга влиять на изменения КПД второго рода.

Приводимое здесь доказательство является более общим по сравнению с аналогичным для цепей первого порядка. А рассматривать мы его будем для последовательной RLC-цепи; для параллельной — это доказательство выводится точно так же.

По закону Кирхгофа, сумма напряжений на каждом элементе последовательной цепи будет равно напряжению источника питания \(U(t)\): \[U_C + U_L + U_R = U(t) \qquad (5.1)\] Для доказательства нам также понадобятся следующие известные формулы, пересчитывающие ток и напряжение между собой через активное и реактивное сопротивления: \[U_R = R\,I, \quad U_L = L(I)\,\dot I_t \qquad (5.2)\] Подставляя (5.2) в (5.1) получаем характеристическое уравнение \[U_C + L(I)\,\dot I_t + R\,I = U(t) \qquad (5.3)\] домножая все члены которого на ток \(I\) получим: \[U_C\, I + L(I)\, I\,\dot I_t + R\,I^2 = U(t)\, I \qquad (5.4)\] Вспоминая, что ток в конденсаторе можно найти через производную от напряжения \(I = C(U_C)\,\dot U_{Ct}\), получаем уравнение мгновенных мощностей в цепи: \[C(U_C)\,U_C\,\dot U_{Ct} + L(I)\, I\,\dot I_t + R\,I^2 = U(t)\,I \qquad (5.5)\] интегрируя которое мы получим необходимое для доказательства уравнение баланса энергий: \[\int_{U_C(0)}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{I(0)}^{I(T)} L(I)\,I\ dI + R \int_{0}^{T} I^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,I\, dt \qquad (5.6)\] Обратите внимание на первые два слагаемых — при определённых условиях это и есть выражения для свободной энергии в параметрической цепи. Интересным свойством этих двух интегралов является их полная независимость от временно́й координаты \(t\). Несмотря на кажущуюся сложность уравнения (5.6) можно заметить, что оно состоит из простой суммы кинетических и потенциальных энергий: \[W_{FC} + W_{FL} + W_R = W_E \qquad (5.7)\] При этом, \(W_E\) — энергия затрачиваемая источником питания является известной величиной, \(W_R\) — энергия рассеивания на активном сопротивлении, которая нам пока неизвестна, а \(W_{FC}\), \(W_{FL}\) — потенциальные энергии в ёмкости и индуктивности, которые мы можем найти через интегралы в (5.6).

Напомним, что в этом случае в реактивных элементах энергия отсутствует в начале и в конце цикла. Поэтому границы у интегралов \(W_{FC}\), \(W_{FL}\) будут одинаковые, следовательно: \[W_{FC} = 0, \quad W_{FL} = 0 \quad \Rightarrow \quad W_R = W_E \qquad (5.8)\]

В цепях второго порядка, в полном цикле, невозможно получить прибавку энергии даже, если реактивные элементы — параметрические. Это не зависит ни от характера параметрической зависимости, ни от выбранного интервала по времени.

Частичный цикл отличается от FCC наличием энергии в реактивных элементах либо в его начале (PCCIE), либо в конце (PCCFE). Ещё одной особенностью PCCIE является отсутствие внешнего источника питания, а начальная энергия берётся из ёмкости или индуктивности, которые накапливали её до момента начала исследуемого цикла.

Напомним, что в случае PCCIE мы не расматриваем, каким образом ёмкость или индуктивность накопили эту энергию, наша задача — насколько эффективно эта энергия будет рассеяна на активном сопротивлении.

Таким образом, уравнение (5.7) в этом случае выглядит так: \[ W_R = - W_{FC} - W_{FL} \qquad (5.9)\] а накопленная до начала этого цикла энергия в реактивном элементе будет выражаться, очевидно, так: \[W_0 = \frac{C_0\, U_{C0}^2}{2} + \frac{L_0\, I_0^2}{2} \qquad (5.10)\] где \(C_0, L_0, U_{C0}, I_0\) — параметры цепи на момент начала цикла. Следовательно, коэффициент приращения энергии будет находиться, как отношение энергии, рассеяной на сопротивлении, к начальной энергии \(W_0\): \[K_{\eta 2} = \frac{W_R}{W_0} = -\frac{W_{FC} + W_{FL}}{W_0} \qquad (5.11)\] Верхние границы интегрирования для двух первых интегралов в (5.6), очевидно, будут равны нулю, а нижние — обозначим так: \(U_C(0)=U_{C0}\) и \(I(0)=I_0\). Тогда, меняя местами верхнюю и нижнюю границы, найдём приращение энергии в PCCIE: \[K_{\eta 2} = 2 { \int_\limits{0}^{U_{C0}} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_\limits{0}^{I_0} L(I)\,I\ dI \over C_0\, U_{C0}^2 + L_0\, I_0^2} \qquad (5.12)\] Из уравнения сразу же видно, что если ёмкость и индуктивность непараметрические, то приращения энергии нет и \(K_{\eta 2} = 1\).

Из определения PCCFE следует, что уравнение (5.7) остаётся в прежнем виде, а вот нижние границы двух первых интегралов (5.6) равны нулю. Перепишем это уравнение так: \[W_R = W_E - W_{FC} - W_{FL} \qquad (5.13)\] Очевидно, что для получения энергетического выигрыша энергия, выделенная на сопротивлении должна быть больше затраченной источником питания, а это означает, что сумма слагаемых \(W_{FC}, W_{FL}\) должна быть меньше нуля: \[W_{FC} + W_{FL} \lt 0 \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{0}^{I(T)} L(I)\,I\ dI \lt 0 \qquad (5.14)\] Возможный физический и математический смысл этого неравенства описан здесь, а как найти приращение КПД, мы покажем далее. Для этого сравним энергию рассеивания на активном сопротивлении с затраченной источником питания: \[K_{\eta 2} = {W_R \over W_E} = {W_E - W_{FC} - W_{FL} \over W_E} = 1 - {W_{FC} + W_{FL} \over W_E} \qquad (5.15)\] Отсюда сразу видно, что если будет соблюдено условие (5.14), то \(K_{\eta 2}\) будет больше единицы. Более полная формула для КПД при PCCFE будет такой: \[K_{\eta 2} = 1 - {1 \over W_E} \left( \int_{0}^{U_C(T)} C(U_C)\,U_C\, dU_C + \int_{0}^{I(T)} L(I)\,I\ dI \right) \qquad (5.16)\]

Выводы по цепям второго порядка аналогичны тем, которые делались по цепям первого порядка. Тем не менее, повторим их.

В этой работе мы доказали, что невозможно получить прибавку энергии в параметрических цепях второго порядка в полном цикле (FCC), т.к. энергия, рассеиваемая на сопротивлении всегда будет равна энергии, затрачиваемой источником питания — формула (5.8). Но если цикл неполный, то получение прибавки становится вполне достижимой задачей. Если реактивные элементы содержат в себе потенциальную энергию в начале цикла (PCCIE), то прибавку можно найти по формуле (5.12). Если же энергия в реактивных элементах остаётся на момент окончания цикла, то условия для получения прибавки мы можем найти по формуле (5.14), а приращение КПД — по (5.16).

Нужно понимать, что здесь математически строго доказаны потенциально достижимые значения приращения энергии, часть которой, в реальных реактивностях, может расходоваться неэффективно, например, на нагрев. Тем не менее, на основании доказательства о приращении энергии в частичных циклах, можно получить частные случаи для инженерных расчётов, которые, в свою очередь, позволят строить реальные устройства с высоким КПД.

Дополнительные материалы и некоторые частные случаи с примерами из реальных радиокомпонентов вы можете посмотреть здесь.

Перейти в следующий раздел, где рассказывается о параметрических цепях второго рода можно здесь.