Известно, что математическое моделирование и анализ RLC-цепей дают очень точное совпадение с практикой. В этой работе мы используем это достижение цивилизации, и на примере двух разных цепей постараемся опровергнуть или доказать некоторые гипотезы получения дополнительной энергии при помощи параметрического изменения сопротивления, ёмкости или индуктивности.

Здесь мы рассмотрим один из подходов к решению задачи поиска прибавки энергии в RC или RL-цепях, где сопротивление \(R\) может зависеть от напряжения или тока в цепи, или от времени. Этот подход является более общим, чем тот, который здесь рассматривался ранее. Для начала, обобщим параметрическую зависимость, и представим её как: \(R=R(t)\). В таком виде она включает в себя все другие возможные зависимости, т.к. в конечном счёте весь процесс протекает во времени \(t\).

Наша электрическая цепь будет состоять из источника напряжения \(U\) (с источником тока всё можно доказать точно так же), параметрического сопротивления \(R\) и характеристического — \(Z\), которое в реальности может быть постоянной ёмкостью или индуктивностью. Считаем, что в первый момент времени в конденсаторе (в индуктивности) энергия отсутствует.

Запишем дифференциальное уравнение для этой цепи [1]: \[Z\,R(t)\,\dot Y_t + Y = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (1.1)\] где: \(Y\) — напряжение, а \(Z\) — ёмкость. Нам также известен закон, по которому меняется ток в ёмкости. Напомним его: \[\Phi(t) = Z\,\dot Y_t \qquad (1.2)\] где: \(\Phi\) — ток. Подставим формулу (1.2) в (1.1) получим характеристическое уравнение: \[R(t)\,\Phi(t) + Y = U(t) \qquad (1.3)\] Теперь домножим правую и левую его части на \(\Phi\) и проинтегрируем их: \[\int_{0}^{T} R(t)\,\Phi(t)^2\, dt + \int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,\Phi(t)\, dt \qquad (1.4)\] где: \(T\) — время исследуемого процесса. В формуле (1.4) первое слагаемое не что иное, как энергия, рассеиваемая на сопротивлении \(R\), второе — потенциальная энергия в конденсаторе, а справа от знака равенства располагается энергия, которую затрачивает источник питания на весь процесс.

Если с первым и третьим слагаемым всё ясно, то второе — нужно прояснить. Подставляя туда формулу (1.2) получаем такой интеграл: \[\int_{0}^{T} Y\,Z\,\dot Y_t\, dt = Z \int_{0}^{T} Y\, dY = \frac{Z}{2} Y^2\, \bigg |_{0}^{T} \qquad (1.5)\] Но \(Y(0)\) — это напряжение на ёмкости в первый момент, которое может быть равно только нулю, а значит искомое второе слагаемое будет таким: \[\int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.6)\] Заметим, что это слагаемое может быть только положительным. Перенесём его в правую часть (1.4) и получим наше доказательство: \[\int_{0}^{T} R(t)\,\Phi(t)^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,\Phi(t)\, dt - \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.7)\] Теперь слева — энергия, которую мы получаем на сопротивлении, а справа — затрачиваемая источником питания, минус остаточная — на ёмкости. Очевидно, что получаемая энергия может быть только меньше, либо равна энергии источника питания.

Доказательство для индуктивной цепи проводится похожим образом. Дифференциальное уравнение будет таким: \[R(t)\,Y + Z\,\dot Y_t = U(t), \quad Y=Y(t) \qquad (1.8)\] где: \(Y\) — ток в цепи, а \(Z\) — индуктивность. Зависимость напряжения от тока по форме записи такая же: \[\Phi(t) = Z\,\dot Y_t \qquad (1.9)\] только здесь \(\Phi\) — напряжение на индуктивности. Характеристическое уравнение в этом случае выглядит так: \[R(t)\,Y + \Phi(t) = U(t) \qquad (1.10)\] Домножая все его члены на \(Y\) и интегрируя получим: \[\int_{0}^{T} R(t)\,Y^2\, dt + \int_{0}^{T} Y\,\Phi(t)\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,Y\, dt \qquad (1.11)\] Со вторым членом уравнения поступаем точно так же, как и в ёмкостной цепи, что приводит нас к конечному уравнению: \[\int_{0}^{T} R(t)\,Y^2\, dt = \int_{0}^{T} U(t)\,Y\, dt - \frac{Z}{2} Y(T)^2 \qquad (1.12)\] Вывод из него аналогичен предыдущему случаю: получаемая на сопротивлении энергия может быть только меньше, либо равна энергии источника питания.

Приведенное доказательство показывает, что в RC или в RL-цепи, где ёмкость и индуктивность постоянны, а сопротивление параметрическое, прибавки энергии быть не может. Причём, это не зависит ни от характера параметрической зависимости, ни от выбранного временного диапазона.

Далее мы опишем куда более сложный процесс с параметрической ёмкостью и найдём одно условие для получения прибавки энергии в такой цепи.