2026-07-30
Притяжение и отталкивание зарядов и токов как две проекции операторной корреляции
Электрическое и магнитное взаимодействия как две проекции операторной корреляции
Почему одинаковые заряды отталкиваются, противоположные притягиваются, а для параллельных токов действует обратное правило: сонаправленные токи притягиваются, противоположно направленные — отталкиваются? В этой статье мы не будем начинать с готовых законов Кулона и Ампера. Сначала попробуем найти внутри оператора частицы такую величину, которая сама способна различать одинаковые и противоположные направления движения.
Главный вопрос здесь очень простой: что именно необходимо сравнить у двух частиц, чтобы определить знак их взаимодействия? Разность состояний для этого не подходит. Если состояния двух одинаковых зарядов полностью совпадают, их разность равна нулю, но электрическое взаимодействие не исчезает. Следовательно, нужна величина, которая при совпадении направлений остаётся ненулевой и положительной, а при обращении одного из направлений меняет знак.
Такой величиной является произведение направленных компонентов движения. Ниже мы покажем, что оно не вводится в модель искусственно, а точно выделяется из двух естественных произведений операторов: \(J_1\overline J_2\) и \(J_1J_2\).
Расстояние между взаимодействующими объектами везде обозначается через \(\ell\), а не через \(r\). Это сделано для того, чтобы не путать расстояние с радиусом частицы, внутреннего движения или орбиты.
1. Какие части движения содержит оператор
Состояние каждой частицы задаётся оператором
\[
\tag{1}
J_k
=
\j^{a_k}(-\j)^{b_k}
=
\ep e^{i\pi b_k}
+
\em e^{i\pi a_k}.
\]
Параметр \(a_k\) описывает внутреннее состояние частицы, а параметр \(b_k\) — её внешнее движение. Для внешнего параметра принимается
\[
\tag{2}
b_k
=
\frac{\arcsin\beta_k}{\pi},
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c}.
\]
Поэтому синус внешней фазы непосредственно равен направленной скорости в единицах \(c\):
\[
\tag{3}
\sin(\pi b_k)
=
\beta_k.
\]
Мнимая часть оператора содержит синусные компоненты обеих фаз:
\[
\tag{4}
\operatorname{Im}J_k
=
\ep\beta_k
+
\em\sin(\pi a_k).
\]
Именно эти компоненты меняют знак при обращении направления движения. Внешняя компонента \(\beta_k\) меняет знак при замене \(v_k\) на \(-v_k\). Внутренняя компонента \(\sin(\pi a_k)\) меняет знак при обращении внутренней ориентации. Поэтому для определения взаимной направленности двух состояний естественно сравнивать их мнимые части.
2. Почему нужна не разность, а произведение
Обозначим направленные внутренние компоненты двух частиц через \(\eta_1\) и \(\eta_2\). Если направления совпадают, то их разность исчезает:
\[
\tag{5}
\eta_1=\eta_2
\quad\Longrightarrow\quad
\eta_1-\eta_2=0.
\]
Но нулевая разность не означает отсутствия взаимодействия. Два одинаковых заряда как раз должны отталкиваться. Следовательно, разность показывает только степень различия состояний, но не может служить мерой знака взаимодействия.
Произведение ведёт себя иначе:
\[
\tag{6}
\begin{aligned}
\eta_1\eta_2\gt0
&\quad\text{при одинаковых направлениях},
\\
\eta_1\eta_2\lt0
&\quad\text{при противоположных направлениях}.
\end{aligned}
\]
При полном совпадении состояний произведение не исчезает. При обращении одного из направлений оно меняет знак. Это именно то свойство, которое требуется от знаковой характеристики парного взаимодействия.
Поэтому мы ищем не расстояние между двумя операторными состояниями, а корреляцию их направленных компонентов.
3. Почему выбрана именно эта корреляция
Рассмотрим сначала обычное тригонометрическое тождество:
\[
\tag{7}
\cos(x-y)-\cos(x+y)
=
2\sin x\sin y.
\]
Его смысл здесь особенно важен. Косинус разности фаз содержит сумму двух частей: произведение косинусов и произведение синусов. Косинус суммы содержит те же произведения, но синусная часть входит с противоположным знаком. Поэтому вычитание сокращает косинусные компоненты и оставляет только произведение синусов, то есть произведение направленных движений.
В операторной форме разность фаз находится в произведении с сопряжением:
\[
\tag{8}
J_1\overline J_2
=
\ep e^{i\pi(b_1-b_2)}
+
\em e^{i\pi(a_1-a_2)}.
\]
Сумма фаз находится в прямом произведении:
\[
\tag{9}
J_1J_2
=
\ep e^{i\pi(b_1+b_2)}
+
\em e^{i\pi(a_1+a_2)}.
\]
Вычтем вещественную часть второго произведения из вещественной части первого. По тождеству (7) косинусные компоненты сократятся, и останутся только произведения синусов. Так возникает корреляция
\[
\tag{10}
\boxed{
\begin{aligned}
\mathcal C_{12}
&=
\frac12\operatorname{Re}
\left(
J_1\overline J_2-J_1J_2
\right)
\\
&=
\operatorname{Im}J_1
\operatorname{Im}J_2.
\end{aligned}
}
\]
Таким образом, эта корреляция не подбирается специально под законы Кулона и Ампера. Она является простейшей комбинацией двух естественных произведений операторов, которая удаляет компоненты положения и оставляет произведение направленных компонентов движения.
Иначе говоря, \(J_1\overline J_2\) сообщает о разности фаз, \(J_1J_2\) — об их сумме, а разность этих двух величин выделяет то, как направления движений соотносятся друг с другом.
4. Автоматическое разделение двух взаимодействий
Подставим в корреляцию мнимые части операторов из формулы (4). Из-за ортогональности идемпотентов \(\ep\em=0\) смешанные произведения исчезают:
\[
\tag{11}
\mathcal C_{12}
=
\ep\beta_1\beta_2
+
\em
\sin(\pi a_1)
\sin(\pi a_2).
\]
Одна формула сама распадается на две независимые части:
\[
\tag{12}
\begin{aligned}
\mathcal C_{12}^{\mathrm{ext}}
&=
\ep\beta_1\beta_2,
\\
\mathcal C_{12}^{\mathrm{int}}
&=
\em
\sin(\pi a_1)
\sin(\pi a_2).
\end{aligned}
\]
Внешняя проекция сравнивает направления поступательного движения. Внутренняя проекция сравнивает направления внутреннего движения. Они не смешиваются и поэтому могут отвечать за два разных физических проявления одного операторного закона.
5. Статические заряды и соответствие закону Кулона
Для неподвижных частиц внешние скорости равны нулю. Тогда остаётся только внутренняя корреляция. В модели принимается физическая гипотеза: две устойчивые противоположные ориентации внутреннего движения соответствуют двум знакам электрического заряда.
Для периодического движения удобно использовать нормированную корреляцию
\[
\tag{13}
\sigma_{12}
=
2
\left\langle
\sin(\pi a_1)
\sin(\pi a_2)
\right\rangle.
\]
Если внутренние движения когерентны и одинаково направлены, то \(\sigma_{12}=+1\). Это соответствует одинаковым знакам зарядов. Если одно внутреннее движение обращено относительно другого, то \(\sigma_{12}=-1\), что соответствует противоположным зарядам.
Пространственное ядро пока не выводится из оператора, а берётся из известного закона Кулона. При соглашении, что положительная радиальная сила увеличивает расстояние \(\ell\), получаем
\[
\tag{14}
F_{E,\ell}
=
\frac{e^2\sigma_{12}}
{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
\]
Здесь правило читается прямо из знака формулы:
\[
\tag{15}
\begin{aligned}
\sigma_{12}\gt0
&\quad\Longrightarrow\quad
F_{E,\ell}\gt0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание},
\\
\sigma_{12}\lt0
&\quad\Longrightarrow\quad
F_{E,\ell}\lt0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение}.
\end{aligned}
\]
Таким образом, внутренняя корреляция даёт требуемый знак \(q_1q_2\). Но множители \(1/(4\pi\varepsilon_0)\) и \(1/\ell^2\) здесь ещё не выведены из оператора. Они показывают соответствие найденного знака уже известному кулоновскому закону.
6. Движущиеся заряды, ток и соответствие закону Ампера
Во внешней проекции корреляции находится произведение безразмерных скоростей \(\beta_1\beta_2\). Для двух проводников ток каждого из них определяется не только скоростью носителей, но и их линейной плотностью заряда:
\[
\tag{16}
I_k
=
\Lambda_kv_k
=
\Lambda_kc\beta_k.
\]
Поэтому
\[
\tag{17}
I_1I_2
=
\Lambda_1\Lambda_2c^2
\beta_1\beta_2.
\]
Именно произведение токов, а не одно только произведение скоростей носителей, определяет физическое направление взаимодействия проводников. Это особенно важно для отрицательных носителей, у которых направление условного тока противоположно направлению движения частиц.
Для двух параллельных проводников известный закон Ампера записывается через расстояние \(\ell\) так:
\[
\tag{18}
\frac{F_{A,\ell}}{L}
=
-\frac{\mu_0I_1I_2}
{2\pi\ell}.
\]
Минус перед произведением токов означает, что амперовское правило знака противоположно кулоновскому:
\[
\tag{19}
\begin{aligned}
I_1I_2\gt0
&\quad\Longrightarrow\quad
F_{A,\ell}\lt0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение},
\\
I_1I_2\lt0
&\quad\Longrightarrow\quad
F_{A,\ell}\gt0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание}.
\end{aligned}
\]
Следовательно, внешняя корреляция даёт именно ту знаковую переменную, которая после перехода к токам входит в закон Ампера. Как и в кулоновском случае, пространственный множитель \(1/(2\pi\ell)\) пока берётся из известной электродинамики.
7. Главное практическое правило
Теперь результат можно сформулировать без повторения всего вывода. Сначала вычисляется корреляция направленных компонентов. Затем выбирается её физическая проекция.
\[
\tag{20}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{статические заряды:}
&\quad
\operatorname{sign}F_{E,\ell}
=
\operatorname{sign}\sigma_{12},
\\
\text{параллельные токи:}
&\quad
\operatorname{sign}F_{A,\ell}
=
-\operatorname{sign}(I_1I_2).
\end{aligned}
}
\]
Во всех случаях \(F_\ell\gt0\) означает увеличение расстояния \(\ell\), то есть отталкивание. Значение \(F_\ell\lt0\) означает уменьшение расстояния, то есть притяжение.
Для статических зарядов одинаковое направление внутреннего движения даёт положительную корреляцию и отталкивание; противоположное направление — отрицательную корреляцию и притяжение. Для токов сонаправленность даёт положительное произведение \(I_1I_2\), но из-за минуса в законе Ампера сила направлена к уменьшению \(\ell\), то есть проводники притягиваются.
8. Что доказано, а что принято как гипотеза
Точно доказано математически: комбинация прямого и сопряжённого произведений операторов выделяет произведение их мнимых частей. Благодаря идемпотентному базису эта корреляция автоматически разделяется на внешнюю и внутреннюю проекции.
Физической гипотезой модели является: соответствие двух устойчивых ориентаций внутреннего движения двум знакам электрического заряда. Именно эта гипотеза позволяет связать внутреннюю корреляцию со знаком произведения \(q_1q_2\).
Проверочным соответствием является: правильное появление произведения \(\beta_1\beta_2\), которое после учёта плотностей носителей превращается в \(I_1I_2\), а также правильные правила притяжения и отталкивания при подстановке корреляций в известные законы Кулона и Ампера.
Пока не выведено: происхождение пространственных зависимостей \(1/\ell^2\) и \(1/\ell\), коэффициентов \(1/(4\pi\varepsilon_0)\) и \(\mu_0/(2\pi)\), а также абсолютного значения элементарного заряда. Для этого необходимо построить поле, порождаемое интегралом оператора \(J\).
Заключение
Выбор корреляции определяется не желанием заранее получить законы Кулона и Ампера, а внутренней логикой оператора. Для определения знака взаимодействия необходимо сравнивать направления движений. Разность состояний для этого непригодна, потому что исчезает при их совпадении. Произведение направленных компонентов сохраняет величину при совпадении и меняет знак при обращении одного из направлений.
Комбинация \(J_1\overline J_2-J_1J_2\) является естественным способом выделить это произведение: первое слагаемое содержит разности фаз, второе — суммы фаз, а их вычитание удаляет косинусные компоненты и оставляет произведения синусных компонентов.
\[
\tag{21}
\boxed{
\mathcal C_{12}
=
\ep\beta_1\beta_2
+
\em
\sin(\pi a_1)
\sin(\pi a_2)
}
\]
В результате электрическое и магнитное взаимодействия получают общий корреляционный источник, но остаются двумя различными физическими проекциями. Внутренняя проекция связывается со знаком заряда, внешняя — с направлением тока. Полный вывод законов Кулона и Ампера потребует следующего шага: построения пространственного поля из интегрального продолжения оператора.
Математическая основа оператора рассмотрена в статье «Формула Эйлера в сплит-геометрии».
Связь внутренней частоты с массой обсуждается в работе «Масса как геометрическая проекция»,
а другие приложения модели собраны в разделе «Волновое электричество».