2026-07-30
Притяжение и отталкивание зарядов и токов как две проекции операторной корреляции
Почему одинаковые электрические заряды отталкиваются, противоположные притягиваются, а для параллельных токов действует обратное правило: сонаправленные токи притягиваются, противоположно направленные — отталкиваются? Чтобы получить эти знаки из геометрии, недостаточно сравнить только положения или фазы двух частиц. Необходимо выделить направленные компоненты их состояний и построить корреляцию, которая сохраняется при совпадении направлений и меняет знак при обращении одного из них.
В действующей схеме модели внутреннюю фазовую динамику, двухлистное замыкание и заряд необходимо задавать раздельно. Динамический оператор \(J_\sigma(a,b)\) описывает внутреннее состояние и внешнее движение в одной из двух реализаций каналов, \(Q_\Gamma(a)\) задаёт двухлистное продолжение, а \(J_{q,\eta}\) — независимый зарядовый сектор. Здесь \(\sigma=1,2\) обозначает реализацию спиновых каналов, а \(\eta=\pm1\) — зарядовую метку. Такая запись согласована с концепцией, статьёй о спине и уточнённым описанием распространяющейся волны.
\[\tag{1}
\boxed{\begin{aligned}
\text{знак заряда}&\longleftarrow\text{зарядовый сектор }J_{q,\eta},\\
\text{двухлистное замыкание}&\longleftarrow Q_\Gamma(a),\\
\text{направление тока}&\longleftarrow\text{знак заряда}\times\text{направление переноса}.
\end{aligned}}
\]
1. Почему нужна корреляция, а не разность
Пусть \(\xi_1\) и \(\xi_2\) обозначают ненулевые действительные знаковые компоненты. Их простая разность непригодна как единственный критерий знака взаимодействия: при совпадении она равна нулю, хотя одинаковые заряды могут взаимодействовать. Это замечание не исключает других функций расстояния между состояниями, а мотивирует выбор билинейного критерия:
\[\tag{2}
\xi_1=\xi_2
\quad\Longrightarrow\quad
\xi_1-\xi_2=0.
\]
Произведение ведёт себя иначе. При одинаковых направлениях оно положительно, а при обращении одного направления меняет знак:
\[\tag{3}
\boxed{
\begin{aligned}
\xi_1\xi_2>0
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{одинаковые ориентации},\\
\xi_1\xi_2<0
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{противоположные ориентации}.
\end{aligned}
}
\]
Далее следует различать фазовую корреляцию внутренних ветвей и зарядовую корреляцию. Для неподвижных зарядов используются зарядовые метки, а для токов — дополнительно скорости переноса. Алгебраическое произведение знаков ещё не устанавливает, какой знак потенциальной энергии соответствует притяжению или отталкиванию.
2. Математическая основа второго уровня
Математическое построение второго уровня приведено в данной работе. Здесь используем его для описания замыкания и фазовых корреляций, не отождествляя этот уровень с электрическим зарядом.
Вторая независимая пара идемпотентов удовлетворяет условиям
\[\tag{4}
\pmp^2=\pmp,
\qquad
\pme^2=\pme,
\qquad
\pmp\pme=0,
\qquad
\pmp+\pme=1.
\]
Их разность образует вторую гиперболическую единицу:
\[\tag{5}
\boxed{
\jp=\pmp-\pme,
\qquad
\jp^2=1.
}
\]
Её непрерывная степень имеет вид
\[\tag{6}
\jp^y
=
\pmp+\pme e^{i\pi y}.
\]
Для двухпериодического частного случая выбирается показатель \(y=a/2\). Множитель замыкания имеет вид
\[\tag{7}
\boxed{Q_\Gamma(a)=\jp^{a/2}=\pmp+\pme e^{i\pi a/2}.}
\]
Сопряжённый множитель является обратным:
\[\tag{8}
\overline{Q_\Gamma(a)}=Q_\Gamma^{-1}(a)=\jp^{-a/2},\qquad Q_\Gamma(a)Q_\Gamma^{-1}(a)=1.
\]
Выполняется алгебраическая унитарность. Её следует отличать от скалярной нормы вектора состояния и от сохранения физической энергии. Переход к обратному множителю не является сам по себе зарядовым сопряжением:
\[\tag{9}
Q_\Gamma(a)\overline{Q_\Gamma(a)}=1.
\]
3. Геометрическое отображение двух глубоких каналов
Алгебра второго уровня создаёт два независимых дочерних канала. В физической модели им сопоставляются две близкие ветви одного замкнутого контура:
\[\tag{10}
\pmp\longmapsto C_+,
\qquad
\pme\longmapsto C_-.
\]
В радиальном представлении эти ветви можно записать как
\[\tag{11}
r_+=r_0+\frac{\Delta r}{2},
\qquad
r_-=r_0-\frac{\Delta r}{2},
\qquad
\Delta r=r_+-r_-.
\]
Это не две отдельные волны и не два состояния заряда. Одна волна последовательно проходит обе ветви и соединяющие их переходы. После первого пространственного оборота основная фаза уже повторилась, но глубокий лист изменился; полная конфигурация восстанавливается после второго оборота.
В выбранной фазовой конвенции глубокая фаза равна
\[\tag{12}
\chi(a)=\frac{\pi a}{2},
\]
Её скорость изменения определяется внутренней динамикой, а не зарядовой меткой:
\[\tag{13}
\boxed{\frac{d\chi}{dt}=\frac{\pi}{2}\frac{da}{dt}.}
\]
4. Полный оператор электрона и позитрона
Полный оператор частицы в рассматриваемом сокращённом описании представим независимыми динамическим, замыкающим и зарядовым факторами:
\[\tag{14}
\boxed{\mathcal J_{\sigma,\eta}(a,b)=J_\sigma(a,b)Q_\Gamma(a)J_{q,\eta},\qquad\sigma=1,2,\quad\eta=\pm1.}
\]
Здесь \(J_1(a,b)=J(a,b)\), \(J_2(a,b)=J(b,a)\); в обеих реализациях \(a\) сохраняет смысл внутренней фазы, а \(b\) — внешнего движения. Множитель \(Q_\Gamma\) задаёт двухлистное замыкание; \(J_{q,\eta}\) задаёт отдельный зарядовый сектор. Независимые факторы действуют на разных пространствах и перемножаются после расширения единичными операторами на остальные факторы. Состояния разных частиц объединяются тензорным произведением.
Электрон и позитрон могут иметь одну и ту же динамическую реализацию и один множитель замыкания, различаясь зарядовыми секторами:
\[\tag{15}
\boxed{\begin{aligned}
\mathcal J_{e^-,\sigma}(a,b)&=J_\sigma(a,b)Q_\Gamma(a)J_{q,+},\\
\mathcal J_{e^+,\sigma}(a,b)&=J_\sigma(a,b)Q_\Gamma(a)J_{q,-}.
\end{aligned}}
\]
Измеряемый заряд сопоставим метке \(\eta\) по соглашению, где \(e>0\):
\[\tag{16}
\boxed{
q_{\eta}=-e\eta.
}
\]
Метка \(\eta\) не обозначает spin-up или spin-down. Обе реализации \(\sigma=1,2\) допускаются как для электрона, так и для позитрона. Перестановка основных каналов не меняет заряд, а обращение \(Q_\Gamma\) не определяет автоматически переход между зарядовыми секторами. Возможная физическая связь знака заряда с ориентацией внутреннего контура требует отдельного закона; в данной статье она не выводится.
5. Фазовая корреляция замыкающих множителей
Сначала рассмотрим только замыкающие фазовые множители двух частиц:
\[\tag{17}
Q_{\Gamma,k}=\pmp+\pme e^{i\chi_k},\qquad\chi_k=\frac{\pi a_k}{2}.
\]
Произведение с сопряжением содержит разность глубоких фаз:
\[\tag{18}
Q_{\Gamma,1}\overline{Q_{\Gamma,2}}=\pmp+\pme e^{i(\chi_1-\chi_2)}.
\]
Прямое произведение содержит их сумму:
\[\tag{19}
Q_{\Gamma,1}Q_{\Gamma,2}=\pmp+\pme e^{i(\chi_1+\chi_2)}.
\]
Используем тождество
\[\tag{20}
\cos(x-y)-\cos(x+y)
=
2\sin x\sin y.
\]
Разность вещественных частей сопряжённого и прямого произведений выделяет произведение двух синусных компонент. Обозначим полученную величину как фазовую корреляцию замыкания:
\[\tag{21}
\boxed{\begin{aligned}
\mathcal C^{(\Gamma)}_{12}&=\frac12\operatorname{Re}\left(Q_{\Gamma,1}\overline{Q_{\Gamma,2}}-Q_{\Gamma,1}Q_{\Gamma,2}\right)\\
&=\pme\sin\chi_1\sin\chi_2.
\end{aligned}}
\]
Формула (21) является точным тригонометрическим результатом, но не определяет знак электрического заряда. При \(\chi_2=\chi_1+\delta\) равномерное усреднение за период даёт \(2\langle\sin\chi_1\sin\chi_2\rangle=\cos\delta\). Результат зависит от относительной фазы и может менять знак или обращаться в нуль. Поэтому без дополнительного физического ограничения эту корреляцию нельзя отождествлять с универсальным знаком электростатического взаимодействия.
6. Независимая зарядовая корреляция
Введём наблюдаемую зарядовую метку \(\widehat\eta\) с собственными значениями \(\pm1\) и зарядовый оператор \(\widehat q=-e\widehat\eta\). Для нормированных зарядовых состояний \(|\eta_k\rangle\) принимается \(\widehat\eta|\eta_k\rangle=\eta_k|\eta_k\rangle\). Это отдельное представление физического признака, а не вывод заряда из \(Q_\Gamma\). Для определённых зарядов нормированная зарядовая корреляция равна
\[\tag{22}
C_{q,12}=\frac{q_1q_2}{e^2}=\eta_1\eta_2,
\]
Для двух частиц с определёнными зарядами положим \(|\Psi_{12}^{(q)}\rangle=|\eta_1\rangle\otimes|\eta_2\rangle\). Тогда та же корреляция записывается через зарядовый сектор:
\[\tag{23}
\boxed{C_{q,12}=\langle\Psi_{12}^{(q)}|\widehat\eta\otimes\widehat\eta|\Psi_{12}^{(q)}\rangle=\eta_1\eta_2.}
\]
Одинаковые зарядовые метки дают положительную корреляцию, противоположные — отрицательную. После принятия закона связи корреляции с потенциальной энергией из раздела 7 это соответствует
\[\tag{24}
\boxed{
\begin{aligned}
\eta_1=\eta_2
&\quad\Longrightarrow\quad
C_{q,12}=+1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание},\\
\eta_1=-\eta_2
&\quad\Longrightarrow\quad
C_{q,12}=-1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение}.
\end{aligned}
}
\]
Поскольку \(q_k=-e\eta_k\), произведение зарядов имеет тот же относительный знак:
\[\tag{25}
q_1q_2
=
e^2\eta_1\eta_2,
\qquad
\boxed{
\operatorname{sgn}(q_1q_2)
=
\eta_1\eta_2.
}
\]
Относительный знак произведения зарядов не зависит от внутренних фаз или выбора начала их отсчёта. Назначение \(\eta=+1\) электрону с зарядом \(-e\), а \(\eta=-1\) позитрону с зарядом \(+e\) является конвенцией. Эта конвенция не заменяет физического закона, определяющего связь произведения зарядов с энергией взаимодействия.
7. Присоединение знака корреляции к геометрическому модулю силы
В отдельной статье разность проекций близких внутренних ветвей даёт в дальней области потенциальное ядро \(1/\ell\) после принятия энергетического отображения. Здесь рассматривается положительное ядро \(U_0\) и его градиент. Связь \(U_{12}=C_{q,12}U_0\) принимается как отдельное физическое правило взаимодействия; она пока не следует из одной идемпотентной алгебры.
\[\tag{26}
U_0(\ell)
\approx
E_*\frac{\Delta r}{\ell},
\qquad
F_0(\ell)
=
-\frac{dU_0}{d\ell}
\approx
E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}.
\]
При этом правиле потенциальная энергия пары и радиальная сила в дальней области имеют вид
\[\tag{27}
\boxed{
U_{12}(\ell)
\approx
\eta_1\eta_2
E_*\frac{\Delta r}{\ell},
}
\]
\[\tag{28}
\boxed{
F_{E,\ell}
=
-\frac{dU_{12}}{d\ell}
\approx
\eta_1\eta_2
E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}.
}
\]
Положительным выбрано направление увеличения расстояния \(\ell\). Поэтому \(F_{E,\ell}>0\) означает отталкивание, а \(F_{E,\ell}<0\) — притяжение.
Для электронной и позитронной реализации используются принятый энергетический масштаб и условие эффективного разделения ветвей:
\[\tag{29}
E_*=m_ec^2,
\qquad
\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e,
\qquad
m_ec^2r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}.
\]
В результате электрическая сила записывается как
\[\tag{30}
\boxed{
F_{E,\ell}
\approx
\eta_1\eta_2
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{\ell^2}
=
\eta_1\eta_2
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}
=
\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
}
\]
Таким образом, в дальней области выбранная геометрия и энергетическое отображение дают модуль силы, а отдельное правило \(U_{12}=C_{q,12}U_0\) связывает её знак с зарядовой корреляцией. Условие \(\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e\) обеспечивает кулоновскую нормировку и требует самостоятельного обоснования.
8. Движущийся заряд и направление тока
Скорости носителей далее относятся к одной выбранной системе отсчёта. В каждой реализации \(\sigma\) внешнее отображение считывает канал, содержащий \(b\), а не фиксированный идемпотент независимо от перестановки каналов.
Внешнее движение частицы задаётся параметром \(b_k\):
\[\tag{31}
b_k
=
\frac{\arcsin\beta_k}{\pi},
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c},
\qquad
\sin(\pi b_k)=\beta_k.
\]
Направление тока определяется не одной скоростью, а переносом заряда. Для элементарной частицы
\[\tag{32}
q_kv_k
=
-e\eta_kc\beta_k.
\]
Определим безразмерную величину переноса заряда. Это не ток в амперах, а нормированное произведение заряда и скорости:
\[\tag{33}
\boxed{
\iota_k
=
\frac{q_kv_k}{ec}
=
-\eta_k\beta_k.
}
\]
Для электрона \(\eta=+1\), поэтому направление переноса отрицательного заряда в конвенции обычного электрического тока противоположно скорости носителя. Для позитрона \(\eta=-1\), и эти направления совпадают. Одного произведения \(\beta_1\beta_2\) недостаточно, если потоки содержат носители разных знаков. Все скорости и знаковые токи сравниваются относительно согласованной ориентации продольных осей.
9. Поток носителей и макроскопический ток
Пусть \(n_k\) — линейная числовая плотность одинаковых носителей. Тогда знаковая линейная плотность заряда равна
\[\tag{34}
\Lambda_k
=
n_kq_k
=
-en_k\eta_k.
\]
Создаваемый ими ток имеет вид
\[\tag{35}
\boxed{
I_k
=
\Lambda_kv_k
=
-en_kc\eta_k\beta_k.
}
\]
Если ток создаётся несколькими видами носителей, их вклады складываются:
\[\tag{36}
\boxed{
I
=
\sum_s n_sq_sv_s.
}
\]
В электрически нейтральном проводнике статические вклады положительных и отрицательных зарядов в среднем компенсируются. Однако движущиеся носители создают ненулевой направленный ток, поэтому магнитное взаимодействие проводников сохраняется.
10. Корреляция токов и соответствие закону Ампера
Для двух потоков одинаковых по модулю элементарных носителей произведение токов равно
\[\tag{37}
I_1I_2
=
e^2n_1n_2c^2
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2.
\]
Токовая корреляция объединяет независимые зарядовые метки и скорости. Обозначим \(C_{v,12}=\beta_1\beta_2\) и определим
\[\tag{38}
\boxed{C_{I,12}=\iota_1\iota_2=\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2=C_{q,12}C_{v,12}.}
\]
Для длинных параллельных проводников с постоянными токами в вакууме, в магнитостатическом приближении и вдали от концов, стандартная магнитная сила на единицу длины имеет вид
\[\tag{39}
\boxed{
\frac{F_{A,\ell}}{L}
=
-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi\ell}.
}
\]
Знак минус следует из принятого магнитного силового закона и пространственной ориентации поля и силы, а не из произведения зарядовых меток самого по себе. В данной статье формула Ампера используется для согласования токовой корреляции со стандартным магнитным откликом:
\[\tag{40}
\boxed{
\begin{aligned}
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2>0
&\quad\Longrightarrow\quad
I_1I_2>0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение},\\
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2<0
&\quad\Longrightarrow\quad
I_1I_2<0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание}.
\end{aligned}
}
\]
У электронных и позитронных потоков, движущихся в одном направлении, \(\beta_1\beta_2>0\), но \(\eta_1\eta_2=-1\), поэтому знаковые токи противоположны. При противоположных направлениях движения токи сонаправлены. Это пример правила знака магнитной составляющей для параллельных потоков; он не определяет суммарную силу между отдельными заряженными частицами, которая включает также электрическое взаимодействие.
Формулы (39)–(40) описывают магнитную составляющую взаимодействия длинных параллельных токов. Для нейтральных проводников нужно суммировать все зарядовые и токовые вклады. В общем случае суммарная сила может включать электрические поля, краевые эффекты и другие воздействия.
11. Две корреляции полного многоуровневого состояния
Зарядовую корреляцию и скорость переноса нельзя извлекать из одного знака глубокой фазы. В принятой схеме заряд относится к \(J_{q,\eta}\), замыкание — к \(Q_\Gamma\), а внешняя скорость — к параметру \(b\) динамического оператора:
\[\tag{41}
\boxed{\begin{aligned}
J_{q,\eta}&\longrightarrow\text{зарядовая метка }\eta,\\
Q_\Gamma(a)&\longrightarrow\text{двухлистное замыкание},\\
b&\longrightarrow\beta=\sin(\pi b),\\
(q,\beta)&\longrightarrow\iota=(q/e)\beta.
\end{aligned}}
\]
Главное практическое правило имеет вид
\[\tag{42}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{неподвижные заряды:}
&\qquad
\operatorname{sgn}F_{E,\ell}
=
\operatorname{sgn}(\eta_1\eta_2),\\
\text{параллельные токи:}
&\qquad
\operatorname{sgn}F_{A,\ell}
=
-\operatorname{sgn}
\left(
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2
\right).
\end{aligned}
}
\]
В первом случае используются определённые зарядовые метки и принятое электрическое энергетическое правило. Во втором — знаковые токи и принятый магнитный силовой закон. Никакая синхронизация внутренних фаз носителей для этих правил не требуется.
12. Что следует из математики и что остаётся физическим отображением
Из математики второго уровня следуют: форма \(Q_\Gamma\), его обратимость и алгебраическая унитарность; глубокая фаза \(\pi a/2\); периодичность по \(a\); тождество (21) для фазовой корреляции. Эти свойства не определяют знак электрического заряда и не доказывают знак силы.
После задания независимого зарядового сектора получаются: \(q_\eta=-e\eta\); корреляция определённых зарядов \(C_{q,12}=\eta_1\eta_2\); нормированный перенос \(\iota_k=-\eta_k\beta_k\); токовая корреляция \(C_{I,12}=\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2\). Они независимы от фазы \(Q_\Gamma\).
Дополнительными физическими условиями остаются: отображение глубоких каналов на пространственные ветви; их эффективное разделение \(\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e\); конкретная структура зарядового сектора; энергетическое правило \(U_{12}=C_{q,12}U_0\); полный вывод магнитного поля и силового отклика из единой динамики. Здесь знак магнитной силы согласован со стандартным законом Ампера, а не независимо получен из фазовой корреляции.
Зависимость электрической силы \(1/\ell^2\) здесь не выводится повторно. Она восстанавливается в дальней области из градиента выбранной энергетической проекции в отдельной работе. Настоящая статья задаёт независимую зарядовую корреляцию и явно отделяет её от фазовой корреляции замыкания и от физического закона взаимодействия.
Заключение
Многоуровневое описание позволяет разделить динамический оператор, двухлистное замыкание и зарядовый сектор. Электрон и позитрон могут иметь одинаковые \(J_\sigma(a,b)\) и \(Q_\Gamma(a)\), различаясь \(J_{q,+}\) и \(J_{q,-}\). Ни спиновая реализация, ни начальная внутренняя фаза не заменяют зарядовой метки.
Прямое и сопряжённое произведения замыкающих множителей дают фазовую корреляцию (21). Электрический знак определяется другим объектом — корреляцией независимых зарядовых секторов:
\[\tag{43}
\boxed{
C_{q,12}
=
\eta_1\eta_2.
}
\]
После принятия энергетического правила эта величина умножает геометрический модуль силы в дальней области:
\[\tag{44}
\boxed{
F_{E,\ell}
\approx
\eta_1\eta_2
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{\ell^2}
=
\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
}
\]
Для движущегося заряда к зарядовой метке добавляется скорость переноса. Токовая корреляция содержит произведение \(\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2\). В указанном магнитостатическом режиме стандартный магнитный закон даёт
\[\tag{45}
\boxed{
\frac{F_{A,\ell}}{L}
=
-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi\ell}.
}
\]
Зарядовая корреляция, фазовая корреляция замыкания и токовая корреляция имеют разные определения. Их разделение согласует статью с независимыми секторами заряда и замыкания. Притяжение и отталкивание воспроизводятся после задания электрического энергетического правила и магнитного силового закона; вывод этих правил из общей динамики модели остаётся следующей задачей.