2026-07-30
Притяжение и отталкивание зарядов и токов как две проекции операторной корреляции
Почему одинаковые электрические заряды отталкиваются, противоположные притягиваются, а для параллельных токов действует обратное правило: сонаправленные токи притягиваются, противоположно направленные — отталкиваются? Чтобы получить эти знаки из геометрии, недостаточно сравнить только положения или фазы двух частиц. Необходимо выделить направленные компоненты их состояний и построить корреляцию, которая сохраняется при совпадении направлений и меняет знак при обращении одного из них.
В прежней версии этой работы знак заряда связывался с обращением основной внутренней фазы оператора \(J(a,b)=\j^a(-\j)^b\). После введения многоуровневого идемпотентного расщепления это предположение можно уточнить. Основной множитель \(\j^a\) остаётся одинаковым у электрона и позитрона, а противоположность зарядов переносится на независимый двухлистный множитель \(\jp^{\pm a/2}\). В результате электрическая и токовая корреляции получают разные, но согласованные источники внутри полного оператора частицы.
\[\tag{1}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{знак заряда}
&\longleftarrow
\text{ориентация глубокого двухлистного обхода},\\
\text{направление тока}
&\longleftarrow
\text{знак заряда}\times\text{направление переноса}.
\end{aligned}
}
\]
1. Почему нужна корреляция, а не разность
Пусть \(\xi_1\) и \(\xi_2\) обозначают две направленные компоненты. Их разность непригодна для определения знака взаимодействия: при полном совпадении состояний она равна нулю, хотя взаимодействие одинаковых зарядов не исчезает.
\[\tag{2}
\xi_1=\xi_2
\quad\Longrightarrow\quad
\xi_1-\xi_2=0.
\]
Произведение ведёт себя иначе. При одинаковых направлениях оно положительно, а при обращении одного направления меняет знак:
\[\tag{3}
\boxed{
\begin{aligned}
\xi_1\xi_2>0
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{одинаковые ориентации},\\
\xi_1\xi_2<0
&\quad\Longrightarrow\quad
\text{противоположные ориентации}.
\end{aligned}
}
\]
Поэтому далее используется не расстояние между операторными состояниями, а произведение их направленных составляющих. Для неподвижных зарядов сравниваются ориентации глубокого обхода, а для токов — ещё и направления внешнего движения.
2. Математическая основа второго уровня
Математическое построение второго уровня подробно приведено в данной работе.
Здесь используем только необходимые для физического вывода результаты.
Вторая независимая пара идемпотентов удовлетворяет условиям
\[\tag{4}
\pmp^2=\pmp,
\qquad
\pme^2=\pme,
\qquad
\pmp\pme=0,
\qquad
\pmp+\pme=1.
\]
Их разность образует вторую гиперболическую единицу:
\[\tag{5}
\boxed{
\jp=\pmp-\pme,
\qquad
\jp^2=1.
}
\]
Её непрерывная степень имеет вид
\[\tag{6}
\jp^y
=
\pmp+\pme e^{i\pi y}.
\]
Для двухпериодического частного случая выбирается показатель \(y=\eta a/2\), где \(\eta=\pm1\) задаёт ориентацию накопления глубокой фазы:
\[\tag{7}
\boxed{
Q_{\eta}(a)
=
\jp^{\eta a/2}
=
\pmp+\pme e^{i\eta\pi a/2},
\qquad
\eta=\pm1.
}
\]
Две ориентации являются взаимно сопряжёнными и обратными:
\[\tag{8}
Q_{-\eta}(a)
=
\overline{Q_{\eta}(a)}
=
Q_{\eta}^{-1}(a),
\qquad
Q_{\eta}(a)Q_{-\eta}(a)=1.
\]
Обе имеют единичную норму. Поэтому обращение глубокой ориентации не меняет полную норму и не означает отрицательной энергии:
\[\tag{9}
Q_{\eta}(a)\overline{Q_{\eta}(a)}=1.
\]
3. Геометрическое отображение двух глубоких каналов
Алгебра второго уровня создаёт два независимых дочерних канала. В физической модели им сопоставляются две близкие ветви одного замкнутого контура:
\[\tag{10}
\pmp\longmapsto C_+,
\qquad
\pme\longmapsto C_-.
\]
В радиальном представлении эти ветви можно записать как
\[\tag{11}
r_+=r_0+\frac{\Delta r}{2},
\qquad
r_-=r_0-\frac{\Delta r}{2},
\qquad
\Delta r=r_+-r_-.
\]
Это не две отдельные волны и не два состояния заряда. Одна волна последовательно проходит обе ветви и соединяющие их переходы. После первого пространственного оборота основная фаза уже повторилась, но глубокий лист изменился; полная конфигурация восстанавливается после второго оборота.
Знак \(\eta\) определяет не начальную ветвь, которую можно изменить сдвигом нуля фазы, а ориентацию всего глубокого цикла. Если
\[\tag{12}
\chi_{\eta}(a)
=
\eta\frac{\pi a}{2},
\]
то инвариантным признаком ориентации является
\[\tag{13}
\boxed{
\eta
=
\operatorname{sgn}
\left(
\frac{d\chi_{\eta}}{dt}
\right).
}
\]
4. Полный оператор электрона и позитрона
Полный многоуровневый оператор частицы представим произведением трёх независимых множителей:
\[\tag{14}
\boxed{
J_{\eta}(a,b)
=
\j^a(-\j)^b\jp^{\eta a/2}.
}
\]
Множитель \(\j^a\) описывает общую внутреннюю волновую динамику, \((-\j)^b\) — внешнее движение центра частицы, а \(\jp^{\eta a/2}\) — ориентацию дополнительного двухлистного замыкания.
Выберем следующее соответствие электрона и позитрона:
\[\tag{15}
\boxed{
\begin{aligned}
J_{e^-}(a,b)
&=
\j^a(-\j)^b\jp^{a/2},\\
J_{e^+}(a,b)
&=
\j^a(-\j)^b\jp^{-a/2}.
\end{aligned}
}
\]
Обычный знак электрического заряда связывается с ориентацией согласно соглашению
\[\tag{16}
\boxed{
q_{\eta}=-e\eta.
}
\]
Ориентацию \(\eta\) не следует отождествлять с наблюдаемыми состояниями spin-up и spin-down. Заряд и спин являются независимыми признаками. Оба спиновых состояния должны существовать как у электрона, так и у позитрона; они задаются распределением полного внутреннего состояния между режимами \(J(a,0)\) и \(J(0,a)\), тогда как \(\eta\) различает зарядово-сопряжённые обходы второго уровня.
5. Зарядовая корреляция глубоких операторов
Рассмотрим глубокие операторы двух частиц:
\[\tag{17}
Q_k
=
\pmp+\pme e^{i\chi_k},
\qquad
\chi_k
=
\eta_k\frac{\pi a_k}{2}.
\]
Произведение с сопряжением содержит разность глубоких фаз:
\[\tag{18}
Q_1\overline{Q_2}
=
\pmp+\pme e^{i(\chi_1-\chi_2)}.
\]
Прямое произведение содержит их сумму:
\[\tag{19}
Q_1Q_2
=
\pmp+\pme e^{i(\chi_1+\chi_2)}.
\]
Используем тождество
\[\tag{20}
\cos(x-y)-\cos(x+y)
=
2\sin x\sin y.
\]
Разность вещественных частей прямого и сопряжённого произведений удаляет компоненты положения и оставляет произведение направленных глубоких составляющих:
\[\tag{21}
\boxed{
\begin{aligned}
\mathcal C^{(q)}_{12}
&=
\frac12\operatorname{Re}
\left(
Q_1\overline{Q_2}-Q_1Q_2
\right)\\
&=
\pme\sin\chi_1\sin\chi_2.
\end{aligned}
}
\]
Таким образом, зарядовая корреляция не вводится подбором знака. Она выделяется той же комбинацией прямого и сопряжённого произведений, которая в обычной тригонометрии выделяет произведение двух синусных компонентов.
6. Знак взаимодействия неподвижных зарядов
Для двух согласованных основных циклов примем \(a_1=a_2=a\). Тогда
\[\tag{22}
\mathcal C^{(q)}_{12}
=
\pme\eta_1\eta_2
\sin^2\left(\frac{\pi a}{2}\right).
\]
Нормированное среднее за полный двухоборотный цикл равно
\[\tag{23}
\boxed{
\sigma_{q,12}
=
2\left\langle
\sin\chi_1\sin\chi_2
\right\rangle
=
\eta_1\eta_2.
}
\]
При одинаковых ориентациях глубокого обхода корреляция положительна, а при противоположных — отрицательна:
\[\tag{24}
\boxed{
\begin{aligned}
\eta_1=\eta_2
&\quad\Longrightarrow\quad
\sigma_{q,12}=+1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание},\\
\eta_1=-\eta_2
&\quad\Longrightarrow\quad
\sigma_{q,12}=-1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение}.
\end{aligned}
}
\]
Поскольку \(q_k=-e\eta_k\), произведение зарядов имеет тот же относительный знак:
\[\tag{25}
q_1q_2
=
e^2\eta_1\eta_2,
\qquad
\boxed{
\operatorname{sgn}(q_1q_2)
=
\eta_1\eta_2.
}
\]
Тем самым геометрия определяет относительное правило взаимодействия. Выбор, какую из двух ориентаций назвать электроном с зарядом \(-e\), а какую — позитроном с зарядом \(+e\), остаётся соглашением и не влияет на наблюдаемое притяжение или отталкивание.
7. Присоединение знака корреляции к геометрическому модулю силы
Пространственная зависимость потенциальной энергии и силы уже получена в этой статье.
В ней разность проекций двух близких внутренних ветвей приводит в дальней области к потенциальному ядру \(1/\ell\), а его внешний градиент — к закону \(1/\ell^2\).
Здесь этот вывод не повторяется: к уже найденному положительному модулю присоединяется знак глубокой корреляции \(\sigma_{q,12}=\eta_1\eta_2\).
\[\tag{26}
U_0(\ell)
\approx
E_*\frac{\Delta r}{\ell},
\qquad
F_0(\ell)
=
-\frac{dU_0}{d\ell}
=
E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}.
\]
Полная потенциальная энергия пары и соответствующая радиальная сила имеют вид
\[\tag{27}
\boxed{
U_{12}(\ell)
\approx
\eta_1\eta_2
E_*\frac{\Delta r}{\ell},
}
\]
\[\tag{28}
\boxed{
F_{E,\ell}
=
-\frac{dU_{12}}{d\ell}
\approx
\eta_1\eta_2
E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}.
}
\]
Положительным выбрано направление увеличения расстояния \(\ell\). Поэтому \(F_{E,\ell}>0\) означает отталкивание, а \(F_{E,\ell}<0\) — притяжение.
Для элементарных частиц используются полученные ранее соотношения
\[\tag{29}
E_*=m_ec^2,
\qquad
\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e,
\qquad
m_ec^2r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}.
\]
В результате электрическая сила записывается как
\[\tag{30}
\boxed{
F_{E,\ell}
=
\eta_1\eta_2
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{\ell^2}
=
\eta_1\eta_2
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}
=
\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
}
\]
Таким образом, геометрия двух ветвей определяет модуль и пространственную зависимость силы, а корреляция двухлистных обходов определяет её знак.
8. Движущийся заряд и направление тока
Внешнее движение частицы задаётся параметром \(b_k\):
\[\tag{31}
b_k
=
\frac{\arcsin\beta_k}{\pi},
\qquad
\beta_k
=
\frac{v_k}{c},
\qquad
\sin(\pi b_k)=\beta_k.
\]
Направление тока определяется не одной скоростью, а переносом заряда. Для элементарной частицы
\[\tag{32}
q_kv_k
=
-e\eta_kc\beta_k.
\]
Определим безразмерную ориентацию условного тока:
\[\tag{33}
\boxed{
\iota_k
=
\frac{q_kv_k}{ec}
=
-\eta_k\beta_k.
}
\]
Для электрона \(\eta=+1\), поэтому условный ток направлен противоположно скорости электрона. Для позитрона \(\eta=-1\), и направление условного тока совпадает с направлением его движения. Следовательно, произведения \(\beta_1\beta_2\) недостаточно, если взаимодействующие потоки могут содержать носители разных знаков.
9. Поток носителей и макроскопический ток
Пусть \(n_k\) — линейная числовая плотность одинаковых носителей. Тогда знаковая линейная плотность заряда равна
\[\tag{34}
\Lambda_k
=
n_kq_k
=
-en_k\eta_k.
\]
Создаваемый ими ток имеет вид
\[\tag{35}
\boxed{
I_k
=
\Lambda_kv_k
=
-en_kc\eta_k\beta_k.
}
\]
Если ток создаётся несколькими видами носителей, их вклады складываются:
\[\tag{36}
\boxed{
I
=
\sum_s n_sq_sv_s.
}
\]
В электрически нейтральном проводнике статические вклады положительных и отрицательных зарядов в среднем компенсируются. Однако движущиеся носители создают ненулевой направленный ток, поэтому магнитное взаимодействие проводников сохраняется.
10. Корреляция токов и соответствие закону Ампера
Для двух потоков одинаковых по модулю элементарных носителей произведение токов равно
\[\tag{37}
I_1I_2
=
e^2n_1n_2c^2
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2.
\]
Поэтому направленная токовая корреляция объединяет два независимых признака: зарядовую ориентацию и направление внешнего движения.
\[\tag{38}
\boxed{
\sigma_{I,12}
\propto
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2
=
\sigma_{q,12}\sigma_{v,12}.
}
\]
Для двух параллельных проводников известная сила Ампера на единицу длины записывается как
\[\tag{39}
\boxed{
\frac{F_{A,\ell}}{L}
=
-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi\ell}.
}
\]
Минус перед произведением токов означает, что правило магнитного взаимодействия противоположно электростатическому:
\[\tag{40}
\boxed{
\begin{aligned}
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2>0
&\quad\Longrightarrow\quad
I_1I_2>0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{притяжение},\\
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2<0
&\quad\Longrightarrow\quad
I_1I_2<0
\quad\Longrightarrow\quad
\text{отталкивание}.
\end{aligned}
}
\]
Например, электрон и позитрон, движущиеся в одном пространственном направлении, имеют \(\beta_1\beta_2>0\), но \(\eta_1\eta_2=-1\). Их условные токи противоположны. Если же электрон и позитрон движутся в противоположных направлениях, то их условные токи сонаправлены.
11. Две корреляции полного многоуровневого состояния
Электрическое и магнитное взаимодействия больше не следует представлять как две составляющие только первого уровня \(J(a,b)\). Зарядовая корреляция находится на глубоком уровне, а направление переноса — во внешней фазе первого уровня:
\[\tag{41}
\boxed{
\begin{aligned}
\jp^{\eta a/2}
&\longrightarrow
\text{знак заряда},\\
(-\j)^b
&\longrightarrow
\text{направление движения},\\
\jp^{\eta a/2}(-\j)^b
&\longrightarrow
\text{направление тока}.
\end{aligned}
}
\]
Главное практическое правило имеет вид
\[\tag{42}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{неподвижные заряды:}
&\qquad
\operatorname{sgn}F_{E,\ell}
=
\operatorname{sgn}(\eta_1\eta_2),\\
\text{параллельные токи:}
&\qquad
\operatorname{sgn}F_{A,\ell}
=
-\operatorname{sgn}
\left(
\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2
\right).
\end{aligned}
}
\]
В первом случае сравниваются ориентации двухлистных зарядовых циклов. Во втором сравниваются направления переноса этих циклов во внешнем пространстве.
12. Что следует из математики и что остаётся физическим отображением
Из математики второго уровня следуют: существование пары независимых идемпотентов \(\pmp,\pme\); две сопряжённые степени \(\jp^{\pm a/2}\); их единичная норма и взаимная обратимость; глубокая фаза \(\pm\pi a/2\); различие состояния после первого оборота и его восстановление после второго; выделение произведения \(\sin\chi_1\sin\chi_2\) комбинацией прямого и сопряжённого произведений.
Внутри принятого физического отображения получаются: представление второго уровня двумя близкими ветвями; связь ориентации \(\eta\) со знаком заряда; относительное правило \(\sigma_{q,12}=\eta_1\eta_2\); объединение зарядовой ориентации с внешним движением в токовую корреляцию \(\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2\).
Дополнительными физическими условиями остаются: конкретная форма двух пространственных ветвей; величина их эффективного разделения \(\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e\); сопоставление выбранной ориентации электрону, а сопряжённой — позитрону; применение операторной корреляции к знаку потенциальной энергии; полный геометрический вывод магнитного пространственного ядра для произвольной конфигурации токов.
Зависимость электрической силы \(1/\ell^2\) здесь не заимствуется из закона Кулона и не выводится повторно. Она получена из градиента разности геометрических проекций в отдельной работе. Настоящая статья присоединяет к этому модулю знак, возникающий из корреляции глубоких обходов.
Заключение
Многоуровневое идемпотентное расщепление позволяет отделить основную внутреннюю динамику частицы от зарядовой ориентации. Электрон и позитрон сохраняют общий множитель \(\j^a\), но различаются сопряжёнными направлениями глубокого двухлистного цикла \(\jp^{\pm a/2}\).
Прямое и сопряжённое произведения глубоких операторов выделяют произведение направленных компонентов. После усреднения по полному циклу оно даёт корреляцию
\[\tag{43}
\boxed{
\sigma_{q,12}
=
\eta_1\eta_2.
}
\]
Эта величина присоединяется к ранее выведенному геометрическому модулю электрической силы:
\[\tag{44}
\boxed{
F_{E,\ell}
=
\eta_1\eta_2
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{\ell^2}
=
\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
}
\]
Для движущегося заряда к ориентации глубокого цикла добавляется направление внешнего движения. Поэтому токовая корреляция содержит произведение \(\eta_1\eta_2\beta_1\beta_2\), а сила между параллельными токами получает противоположное правило знака:
\[\tag{45}
\boxed{
\frac{F_{A,\ell}}{L}
=
-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi\ell}.
}
\]
Таким образом, неподвижный заряд характеризуется ориентацией двухлистного обхода, а ток — переносом этой ориентации во внешнем пространстве. Притяжение и отталкивание зарядов и токов становятся двумя согласованными проявлениями многоуровневой операторной корреляции.