2026-08-01
Геометрическое происхождение электрической силы
В основе волнового электричества лежит предположение, что наблюдаемые свойства частиц и законы их движения должны проистекать из единого геометрического построения.
В этой концепции масса, энергия, внешнее движение и внутреннее состояние рассматриваются не как независимые величины, а как различные проекции одной общей геометрической структуры.
Основные положения и уже полученные результаты модели собраны в обзорной работе «Введение в волновое электричество».
Но если геометрия действительно лежит в основе физической реальности, из неё должны следовать не только свойства отдельной частицы, но и законы взаимодействия между частицами. Одной из важнейших проверок этой идеи является закон Кулона. Поэтому задача настоящей статьи состоит в том, чтобы сначала получить из геометрии сам принцип возникновения взаимодействия, зависимости энергии от расстояния и закона обратных квадратов — и лишь затем показать, при каких условиях этот общий результат принимает форму кулоновского закона.
Геометрический принцип притяжения: две проекции одной внутренней энергии.
В предыдущих работах внутренняя частота частицы была связана с её наблюдаемой энергией покоя. Теперь рассмотрим следующий шаг: может ли одна и та же внутренняя энергия создавать зависимость от расстояния между двумя объектами — ещё до введения заряда, диэлектрической проницаемости и закона Кулона?
Основная идея состоит в том, что внешний объект видит не всю внутреннюю геометрию частицы сразу. Две близкие внутренние ветви наблюдаются под немного различными углами. Их проекции почти компенсируются, но между ними остаётся малая разность. Именно эта разность и создаёт зависящую от расстояния часть энергии.
\[
\tag{1}
\boxed{
\text{две близкие ветви}
\;\longrightarrow\;
\text{разность проекций}
\;\longrightarrow\;
\text{энергия взаимодействия}
\;\longrightarrow\;
\text{сила}
}
\]
Сначала выведем общий принцип притяжения без зарядов. Только после этого сравним полученный коэффициент с известным электростатическим коэффициентом.
1. Две близкие внутренние ветви
Предпосылка такой конструкции была рассмотрена ранее в работе о двух уровнях замкнутого движения электрона и параметрах атома Бора.
В ней единое состояние электрона представлено как сочетание внутреннего и внешнего взаимно ортогональных вращений, а наблюдаемые параметры возникают как проекции этого составного движения.
Здесь мы развиваем ту же идею в пространственной форме: рассматриваем не два независимых электрона, а две близкие ветви одного внутреннего состояния и исследуем малую разность их проекций на внешний объект.
Пусть внутреннее состояние объекта содержит две близкие пространственные ветви с характерными радиусами \(r_+\) и \(r_-\). Удобно представить их симметрично относительно среднего радиуса \(r_0\):
\[
\tag{2}
\begin{aligned}
r_+&=r_0+\frac{\Delta r}{2},
\\
r_-&=r_0-\frac{\Delta r}{2}.
\end{aligned}
\]
Расстояние между ветвями равно
\[
\tag{3}
\Delta r=r_+-r_-,
\qquad
\Delta r\ll r_0.
\]
Здесь речь идёт не о двух положениях внешней частицы, а о двух составляющих одного внутреннего состояния. В более общей геометрии \(\Delta r\) следует понимать как эффективное разделение ветвей в направлении проекции. Поэтому ветви могут иметь не только разные радиусы: они могут быть немного смещены, наклонены или находиться в разных внутренних плоскостях.
2. Один внешний объект — два угла проекции
Расположим второй объект на расстоянии \(\ell\) от центра первого. Для двух внутренних ветвей возникают два немного различающихся угла \(\theta_+\) и \(\theta_-\). Их геометрические коэффициенты проекции равны
\[
\tag{4}
P_+(\ell)
=
\sin\theta_+
=
\frac{r_+}{\sqrt{\ell^2+r_+^2}},
\]
\[
\tag{5}
P_-(\ell)
=
\sin\theta_-
=
\frac{r_-}{\sqrt{\ell^2+r_-^2}}.
\]
Каждая проекция по отдельности велика по сравнению с их различием. Для внешнего взаимодействия существенен нескомпенсированный остаток:
\[
\tag{6}
\boxed{
\Delta P(\ell)
=
P_+(\ell)-P_-(\ell)
}
\]
\[
\tag{7}
\Delta P(\ell)
=
\frac{r_+}{\sqrt{\ell^2+r_+^2}}
-
\frac{r_-}{\sqrt{\ell^2+r_-^2}}.
\]
Формула (7) получена только из геометрии. В неё пока не входят ни энергия, ни сила, ни заряд. Внешний объект также не «получает» внутренний радиус частицы: он лишь различает две внутренние ветви под немного разными углами.
3. Что именно можно проецировать в энергии
Энергия как число является скаляром, поэтому буквально проецировать сам скаляр нельзя. В модели проецируется направленное внутреннее энергетическое состояние, а энергия является его модулем.
Пусть внутренней частоте соответствует полный энергетический масштаб
\[
\tag{8}
E_0=h\nu_{\mathrm{int}}
=
\hbar\omega_{\mathrm{int}},
\qquad
\omega_{\mathrm{int}}=2\pi\nu_{\mathrm{int}}.
\]
Если \(\widehat{\mathbf u}_\pm\) — направления двух внутренних ветвей, то направленные энергетические состояния можно записать в виде
\[
\tag{9}
\boldsymbol{\mathcal E}_\pm
=
E_*\widehat{\mathbf u}_\pm,
\]
где \(E_*\) — энергетический масштаб, уже доступный внешнему пространству. Его происхождение будет уточнено в следующем разделе.
Пусть \(\widehat{\mathbf n}_{\pm}(\ell)\) задают направления от внешнего объекта к соответствующим внутренним ветвям.
Эти направления немного различаются, поэтому одно и то же внутреннее энергетическое состояние получает два близких коэффициента поперечной проекции.
\[
\tag{10}
E_+^{\mathrm{proj}}
=
\boldsymbol{\mathcal E}_+
\cdot
\widehat{\mathbf n}_+(\ell)
=
E_*\sin\theta_+
=
E_*P_+(\ell).
\]
\[
\tag{11}
E_-^{\mathrm{proj}}
=
\boldsymbol{\mathcal E}_-
\cdot
\widehat{\mathbf n}_-(\ell)
=
E_*\sin\theta_-
=
E_*P_-(\ell).
\]
Это не две независимые полные энергии \(E_*\). Это две геометрические компоненты одного внутреннего энергетического масштаба. Поэтому внешне проявляется их разность:
\[
\tag{12}
\boxed{
\Delta E_{\mathrm{proj}}(\ell)
=
E_*\Delta P(\ell)
}
\]
\[
\tag{13}
\Delta E_{\mathrm{proj}}(\ell)
=
E_*
\left[
\frac{r_+}{\sqrt{\ell^2+r_+^2}}
-
\frac{r_-}{\sqrt{\ell^2+r_-^2}}
\right].
\]
Таким образом, переход от геометрии к энергии не требует вводить произвольную размерную константу: безразмерный коэффициент \(\Delta P\) проецирует уже существующий внутренний энергетический масштаб.
При этом связь направленного состояния с энергией, выраженная формулами (9)–(12), является физическим принципом модели. Геометрия однозначно даёт \(\Delta P(\ell)\), но сама по себе тригонометрия ещё не доказывает, что именно эта проекция должна наблюдаться как энергия взаимодействия.
4. Две последовательные проекции
В статье о массе внутренняя энергия \(E_0\) уже не отождествлялась непосредственно с энергией покоя. Сначала она проходит поперечно-доплеровскую проекцию с коэффициентом \(\alpha_{\mathrm{fs}}\):
\[
\tag{14}
E_*
=
\alpha_{\mathrm{fs}}E_0
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar\omega_{\mathrm{int}}
=
m_ec^2.
\]
Именно наблюдаемая энергия \(E_*=m_ec^2\), а не исходная энергия \(E_0\), затем участвует во внешней пространственной проекции. Получается единая последовательность:
\[
\tag{15}
\boxed{
\begin{gathered}
E_0=\hbar\omega_{\mathrm{int}}
\\
\downarrow\quad \alpha_{\mathrm{fs}}
\\
E_*=m_ec^2
\\
\downarrow\quad \Delta P(\ell)
\\
\Delta E_{\mathrm{proj}}(\ell)
=
m_ec^2\Delta P(\ell).
\end{gathered}
}
\]
Первая проекция переводит внутреннюю частоту в наблюдаемую энергию покоя. Вторая выделяет ту малую часть этой энергии, которая зависит от взаимного расположения двух объектов.
Подробное происхождение первого перехода рассмотрено в статье «Масса как поперечно-доплеровская проекция внутренней частоты».
5. Потенциальная энергия согласованного состояния
Разность энергетических проекций \(\Delta E_{\mathrm{proj}}\) является положительной величиной. Чтобы получить притягивающее состояние, необходимо определить, как эта величина входит в баланс внутренней и внешней энергии.
Будем называть согласованным такое взаимное состояние двух объектов, при котором увеличение проекционного согласования уменьшает потенциальную часть энергии системы. Тогда
\[
\tag{16}
\boxed{
U_{\mathrm{att}}(\ell)
=
-\Delta E_{\mathrm{proj}}(\ell)
=
-E_*\Delta P(\ell)
}
\]
Знак минус здесь ещё не является знаком заряда. Он обозначает только выбранную ветвь взаимного согласования: при уменьшении потенциальной энергии высвобождённая часть внутренней энергии может переходить во внешнее движение.
Точная потенциальная энергия такого состояния равна
\[
\tag{17}
U_{\mathrm{att}}(\ell)
=
-E_*
\left[
\frac{r_+}{\sqrt{\ell^2+r_+^2}}
-
\frac{r_-}{\sqrt{\ell^2+r_-^2}}
\right].
\]
Формула (16) является вторым физическим принципом данного построения. В дальнейшем желательно получить её знак непосредственно из структуры \(J\), взаимной ориентации идемпотентных ветвей или минимума меры рассогласования глобальных векторов. В настоящем выводе мы сначала исследуем все следствия этого принципа.
6. Дальняя область и закон \(1/\ell\)
Если расстояние между объектами значительно превосходит внутренние радиусы,
\[
\tag{18}
\ell\gg r_+,r_-,
\]
то коэффициенты проекции принимают простой вид:
\[
\tag{19}
P_\pm(\ell)
\approx
\frac{r_\pm}{\ell}.
\]
Их разность равна
\[
\tag{20}
\Delta P(\ell)
\approx
\frac{r_+-r_-}{\ell}
=
\frac{\Delta r}{\ell}.
\]
Поэтому потенциальная энергия согласованного состояния становится
\[
\tag{21}
\boxed{
U_{\mathrm{att}}(\ell)
\approx
-E_*\frac{\Delta r}{\ell}
}
\]
Зависимость \(1/\ell\) здесь не вводится как заранее известный потенциал. Она возникает из разности угловых проекций двух близких внутренних ветвей. Величины \(\Delta r\) и \(\ell\) выполняют разные роли: внутреннее разделение задаёт амплитуду взаимодействия, а внешнее расстояние — его пространственное ослабление.
7. От перераспределения энергии к силе
Используем основной постулат модели о неизменности общей энергии:
\[
\tag{22}
E_{\mathrm{ext}}
+
E_{\mathrm{int}}
=
\operatorname{const}.
\]
Зависящая от расстояния часть внутренней энергии представлена величиной \(U_{\mathrm{att}}(\ell)\). Поэтому
\[
\tag{23}
dE_{\mathrm{ext}}
=
-dU_{\mathrm{att}}.
\]
Выберем положительным направление, в котором расстояние \(\ell\) увеличивается. Работа радиальной силы равна
\[
\tag{24}
dE_{\mathrm{ext}}
=
F_\ell\,d\ell.
\]
Следовательно,
\[
\tag{25}
\boxed{
F_\ell
=
-\frac{dU_{\mathrm{att}}}{d\ell}
}
\]
Для дальней области подставляем формулу (21):
\[
\tag{26}
\boxed{
F_\ell
\approx
-E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}
}
\]
Поскольку \(E_*>0\), \(\Delta r>0\) и \(\ell>0\), получаем \(F_\ell<0\). При принятом выборе направления это означает уменьшение расстояния между объектами, то есть притяжение.
Таким образом, общий закон обратных квадратов получен без введения заряда:
\[
\tag{27}
\boxed{
|F_\ell|
\approx
E_*\frac{\Delta r}{\ell^2}
}
\]
8. Два различных градиента
В этом механизме важно не смешивать внутреннюю конечную разность и внешний пространственный градиент. Внутренняя величина
\[
\tag{28}
G_{\mathrm{int}}(\ell)
=
\frac{E_+^{\mathrm{proj}}-E_-^{\mathrm{proj}}}
{r_+-r_-}
=
\frac{\Delta E_{\mathrm{proj}}}{\Delta r}
\]
характеризует различие двух близких ветвей. Она задаёт амплитуду нескомпенсированной энергетической проекции. Внешняя сила определяется другой операцией:
\[
\tag{29}
F_\ell
=
-\frac{dU_{\mathrm{att}}}{d\ell}.
\]
Поэтому две внутренние ветви не являются двумя внешними точками, между которыми непосредственно действует сила. Они создают зависящую от \(\ell\) разность энергетических проекций, а уже внешний градиент этой энергии создаёт движение.
\[
\tag{30}
\boxed{
\Delta r
\;\longrightarrow\;
\Delta P(\ell)
\;\longrightarrow\;
\Delta E_{\mathrm{proj}}(\ell)
\;\longrightarrow\;
U_{\mathrm{att}}(\ell)
\;\longrightarrow\;
F_\ell
}
\]
9. Точная формула и граница дальней области
Если не использовать приближение \(\ell\gg r_\pm\), дифференцирование формулы (17) даёт
\[
\tag{31}
F_\ell
=
-E_*\ell
\left[
\frac{r_+}{\left(\ell^2+r_+^2\right)^{3/2}}
-
\frac{r_-}{\left(\ell^2+r_-^2\right)^{3/2}}
\right].
\]
При больших расстояниях выражение в квадратных скобках положительно, и формула (31) переходит в закон притяжения (26). Однако в непосредственной близости от внутренних радиусов поведение точной формулы сложнее.
Для двух очень близких ветвей можно разложить разность по малому параметру \(\Delta r\):
\[
\tag{32}
\Delta P(\ell)
\approx
\frac{\partial}{\partial r}
\left(
\frac{r}{\sqrt{\ell^2+r^2}}
\right)_{r=r_0}
\Delta r
=
\frac{\ell^2\Delta r}
{\left(\ell^2+r_0^2\right)^{3/2}}.
\]
Тогда энергия и сила принимают вид
\[
\tag{33}
U_{\mathrm{att}}(\ell)
\approx
-E_*
\frac{\ell^2\Delta r}
{\left(\ell^2+r_0^2\right)^{3/2}},
\]
\[
\tag{34}
F_\ell
\approx
-E_*\Delta r\,
\frac{\ell\left(\ell^2-2r_0^2\right)}
{\left(\ell^2+r_0^2\right)^{5/2}}.
\]
Из формулы (34) видно, что простая двухветвевая геометрия предсказывает нулевую силу вблизи
\[
\tag{35}
\ell_0\approx\sqrt{2}\,r_0.
\]
При \(\ell>\ell_0\) сила имеет знак притяжения, а при \(\ell<\ell_0\) эта простая формула меняет знак. Это нельзя считать установленным физическим эффектом. Возможны два толкования: либо модель предсказывает короткодействующий отталкивающий участок, либо пространственная проекция (7) применима только в дальней области и на малых расстояниях должна быть дополнена полной геометрией \(J\). Для вывода закона обратных квадратов используется только надёжная область \(\ell\gg r_0\).
10. Насколько близки внутренние ветви
Для электрона естественным средним внутренним масштабом является приведённая комптоновская длина
\[
\tag{36}
r_0
=
\bar\lambda_C
=
\frac{\hbar}{m_ec}
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}}.
\]
Если эффективное разделение ветвей равно классическому радиусу электрона,
\[
\tag{37}
\Delta r=r_e,
\]
то их относительное расстояние оказывается малым:
\[
\tag{38}
\boxed{
\frac{\Delta r}{r_0}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\approx
0.007297
}
\]
Иными словами, расстояние между ветвями составляет около \(0.73\%\) их среднего радиуса, а каждая ветвь отклонена от среднего значения примерно на \(0.365\%\). Поэтому условие \(\Delta r=r_e\) не противоречит предположению о двух почти совпадающих внутренних траекториях.
\[
\tag{39}
\begin{aligned}
r_0&\approx3.86159\cdot10^{-13}\ {\rm m},
\\
r_+&\approx3.87568\cdot10^{-13}\ {\rm m},
\\
r_-&\approx3.84750\cdot10^{-13}\ {\rm m}.
\end{aligned}
\]
Здесь важно использовать стандартное название: \(r_e/\alpha_{\mathrm{fs}}\) — приведённая комптоновская длина электрона. Боровский радиус имеет другой масштаб:
\[
\tag{40}
a_0
=
\frac{r_e}{\alpha_{\mathrm{fs}}^2}.
\]
Связь этих радиусов подробно рассмотрена в статье «Параметры модели атома Бора».
11. Численная нормировка без введения заряда
В дальней области коэффициент общего закона притяжения равен
\[
\tag{41}
K_{\mathrm{geom}}
=
E_*\Delta r.
\]
Для электрона \(E_*=m_ec^2\). Если геометрия внутренних ветвей даёт \(\Delta r=r_e\), то
\[
\tag{42}
K_{\mathrm{geom}}
=
m_ec^2r_e.
\]
Используя известное соотношение
\[
\tag{43}
r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}
\frac{\hbar}{m_ec},
\]
получаем
\[
\tag{44}
\boxed{
K_{\mathrm{geom}}
=
m_ec^2r_e
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c
}
\]
\[
\tag{45}
K_{\mathrm{geom}}
\approx
2.30708\cdot10^{-28}\ {\rm J\,m}.
\]
До этого места заряд по-прежнему не вводился. Мы получили энергетически-пространственный коэффициент только из энергии покоя и эффективного расстояния между внутренними ветвями.
12. Сравнение с электростатикой
Теперь, после завершения геометрического вывода, можно сравнить результат с известной электростатикой. Для двух элементарных зарядов кулоновский коэффициент равен
\[
\tag{46}
K_{\mathrm C}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}
=
\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c.
\]
Следовательно, при условии \(\Delta r=r_e\)
\[
\tag{47}
\boxed{
K_{\mathrm{geom}}
=
K_{\mathrm C}
}
\]
и общий закон притяжения в дальней области численно совпадает по модулю с кулоновским взаимодействием двух элементарных зарядов:
\[
\tag{48}
|F_\ell|
\approx
\frac{\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c}{\ell^2}
=
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}.
\]
Это совпадение не следует автоматически только из существования двух ветвей. В общем случае
\[
\tag{49}
\frac{K_{\mathrm{geom}}}{K_{\mathrm C}}
=
\frac{\Delta r}{r_e}.
\]
Поэтому сравнение с электростатикой указывает на конкретное требование к внутренней геометрии:
\[
\tag{50}
\boxed{
\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e
}
\]
Здесь \(\Delta r_{\mathrm{eff}}\) может быть не буквальной разностью двух радиусов, а эффективным разделением идемпотентных ветвей в направлении внешней проекции.
13. Что уже получено, а что ещё предстоит вывести
Предложенный механизм устанавливает последовательную связь между внутренней геометрией и внешней силой. Из двух близких ветвей точно получается разность геометрических проекций. После переноса того же коэффициента на направленное энергетическое состояние возникает зависящая от расстояния энергия. В дальней области она имеет вид \(1/\ell\), а её внешний градиент — вид \(1/\ell^2\).
Однако для строгости необходимо разделять результаты и постулаты.
Из геометрии непосредственно следует формула \(\Delta P(\ell)\). Из закона сохранения энергии следует переход \(F_\ell=-dU/d\ell\). Но отождествление направленного энергетического состояния с величиной \(E_*\widehat{\mathbf u}\), а также выбор согласованной ветви \(U_{\mathrm{att}}=-E_*\Delta P\), пока являются физическими принципами модели.
Кроме того, численное совпадение с кулоновским коэффициентом требует условия \(\Delta r_{\mathrm{eff}}=r_e\). Следующая задача состоит в том, чтобы получить и знак энергии, и это разделение непосредственно из структуры глобального вектора
\[
\tag{51}
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b,
\]
его идемпотентных ветвей и правила сопряжения. Тогда знак минус в формуле притяжения перестанет быть выбранным состоянием, а классический радиус электрона станет не условием нормировки, а геометрическим следствием модели.
Вывод
Две почти совпадающие внутренние ветви создают малую разность внешних проекций. По тому же безразмерному коэффициенту проецируется наблюдаемая энергия покоя \(m_ec^2\). Для согласованного состояния эта разность уменьшает потенциальную энергию системы:
\[
\tag{52}
U_{\mathrm{att}}(\ell)
=
-m_ec^2\Delta P(\ell).
\]
В дальней области получаем
\[
\tag{53}
\boxed{
U_{\mathrm{att}}(\ell)
\approx
-m_ec^2\frac{\Delta r}{\ell},
\qquad
F_\ell
\approx
-m_ec^2\frac{\Delta r}{\ell^2}
}
\]
Если эффективное разделение внутренних ветвей равно \(r_e\), то оно составляет лишь долю \(\alpha_{\mathrm{fs}}\) от их среднего комптоновского радиуса, а коэффициент силы становится равным \(\alpha_{\mathrm{fs}}\hbar c\). Так геометрия двух близких ветвей приводит к правильной зависимости от расстояния и одновременно указывает, какое внутреннее разделение необходимо получить из алгебры \(J\).
Таким образом, путь к закону Кулона начинается не с силы и даже не с заряда, а с геометрии.
Внутренняя энергия частицы сначала проявляется как наблюдаемая энергия покоя, а затем проецируется на направление между двумя объектами.
Из-за небольшого различия двух внутренних ветвей их проекции не полностью компенсируют друг друга.
На больших расстояниях оставшаяся часть энергии убывает как \(1/\ell\), образуя кулоновский по форме потенциал.
Сила появляется как пространственный градиент этой энергии: чем быстрее потенциальная энергия изменяется с расстоянием, тем больше сила взаимодействия.
Производная от зависимости \(1/\ell\) даёт закон \(1/\ell^2\).
А когда эффективное расстояние между внутренними ветвями равно классическому радиусу электрона \(r_e\), коэффициент перед этой зависимостью становится равным \(e^2/(4\pi\varepsilon_0)\).
Так последовательность двух проекций и градиента энергии приводит к притягивающей ветви кулоновского закона и воспроизводит по модулю его коэффициент.